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5.2.1基本初等函数的导数
A级 必备知识基础练
1.(多选题)(2026安徽阜阳高二月考)下列结论中正确的有(　　)
A.sin'=cos B.(2x)'=2xln 2
C.(log5x)'= D.()'=
2.函数f(x)=的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
3.直线l经过点A(0,b),且与直线y=2x平行,如果直线l与曲线y=x2相切,那么b等于(　　)
A.- B.-1
C.1 D.
4.设函数f0(x)=sin x,对任意的正整数n,定义函数列{fn(x)},且fn(x)=[fn-1(x)]'.已知[-f(x)]'=-f'(x),则f2 025(x)=(　　)
A.cos x B.sin x
C.-cos x D.-sin x
5.(2026辽宁大连高二模拟)若函数f(x)=cos x,则=(　　)
A.4sin 1 B.-4sin 1
C.sin 1 D.-sin 1
6.(多选题)已知函数f(x)=若f'(a)=12,则实数a的值可为(　　)
A.2 B.-2
C. D.4
7.(2026河北沧州高二期中)曲线f(x)=2x在点(0,f(0))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为log2m,则正实数m=　　　　　.
8.已知y=f(x),其中f(x)=x2,y=g(x),其中g(x)=ln x,若f'(x)+2xg'(x)=1,则x=　　　　　.
9.(2026浙江金华高二期末)若y=x+a是曲线y=的切线,则a=　　　　　.
10.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在x=2处的导数为,底数a的值是　　　　.
11.设b为实数,直线y=x+b能作为下列函数图象的切线吗 若能,求出切点坐标;若不能,简述理由.
(1)f(x)=;(2)f(x)=x4;(3)f(x)=ex.
12.已知曲线y=ex.
(1)求曲线在x=0处的切线方程;
(2)求过原点的切线方程.
B级 关键能力提升练
13.已知函数f(x)的导数为f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,则下列函数中没有“巧值点”的是(　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)=ln x D.f(x)=
14.若过点P(1,0)作曲线y=x3的切线,则这样的切线共有(　　)
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
15.(2026北京海淀高二期中)将函数f(x)=cos x的图象向左平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,则下列选项正确的是(　　)
A.g(x)是偶函数
B.g(x)=f'(x)
C.g'(x)是奇函数
D.g'(x)=f(x)
16.(2026上海浦东高二模拟)①y=cos x;②y=sin x.在这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中.已知直线l:y=-x+b,b∈[0,2π).
(1)证明:直线l不可能是曲线y=ln x的切线;
(2)若直线l与曲线　　　　　相切,求实数b的值.
17.(人教B版教材习题)已知函数f(x)=x2,而l是曲线y=f(x)的切线,且l经过点(3,8).
(1)判断(3,8)是否是曲线y=f(x)上的点;
(2)求l的方程.
C级 学科素养创新练
18.(多选题)设n∈N*,曲线y=xn+1在点(1,1)处切线的斜率为kn,与x轴的交点为(xn,0),与y轴的交点为(0,yn),则下列选项正确的是(　　)
A.kn+yn=-1
B.yn=-knxn
C.x1x2…xn=
D.k1k2…kn-1=(-1)n-1y1y2…yn
19.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一,其定理陈述如下:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且存在点x0∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f'(x0)(b-a),则称x0为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的中值点.若函数f(x)=sin x在区间[0,π]上的“中值点”的个数为m,函数g(x)=ex在区间[0,1]上的“中值点”的个数为n,则m+n=　　　　　.
题号 1 2 3 4 5 6 13 14 15 18
答案
参考答案
1.BC　sin'='=0,故A错误;(2x)'=2xln 2,故B正确;
(log5x)'=,故C正确;()'=,故D错误.故选BC.
2.D　因为f(x)=,则f'(x)=,显然,当x=0时,f'(x)=无意义,
即f(x)=在x=0处斜率不存在,所以倾斜角为.
3.B　设切点坐标为(m,m2),且y=x2的导数为y'=2x,因为直线l经过点A(0,b),且与直线y=2x平行,所以切线的斜率为2,即切线l的斜率k=2m=2,解得m=1,可得切点坐标为(1,1),由2=,解得b=-1.故选B.
4.A　由定义可得f1(x)=(sin x)'=cos x,f2(x)=(cos x)'=-sin x,f3(x)=(-sin x)'=-cos x,f4(x)=(-cos x)'=sin x=f0(x),
因此{fn(x)}是以4为周期的周期数列,故f2 025(x)=f1(x)=cos x.
5.B　由题意得,f'(x)=-sin x,
则
=
=4
=4f'(1)=-4sin 1.
故选B.
6.BC　f'(x)=当a<0时,f'(a)=3a2=12,解得a=-2或a=2(舍去);当07.　由题意知f(0)=20=1,f'(x)=2xln 2,f'(0)=ln 2,所以切线方程为y-1=xln 2,令x=0,得y=1,令y=0,得x=-,所以切线与坐标轴的交点为(0,1),-,0,所以切线与坐标轴围成的三角形面积为×1×-==log2m=,所以ln m=,所以m=.
8.-　由题知f'(x)=2x,g'(x)=,又f'(x)+2xg'(x)=1,所以2x+2x·=1,
即2x=-1,解得x=-.
9.　设直线y=x+a与曲线y=相切的切点为(x0,),由y=,求导得y'=,则=1,解得x0=,由切点在直线y=x+a上,得=x0+a,所以a=-x0=.
10.2　f'(x)=(logax)'=,由题得f'(2)=,所以ln a=ln 2,得a=2.
11.解 (1)不能.理由如下:
因为f(x)=,
所以f'(x)=-,
令f'(x)=-,无解,所以直线y=x+b不能作为函数图象的切线.
(2)能.理由如下:
因为f(x)=x4,所以f'(x)=4x3,令f'(x)=4x3=,解得x=,此时f(x)=,
所以切点坐标为,直线y=x+b能作为函数图象的切线.
(3)能.理由如下:
因为f(x)=ex,所以f'(x)=ex,令f'(x)=ex=,解得x=ln,此时f(x)=,
所以切点坐标为ln,直线y=x+b能作为函数图象的切线.
12.解(1)因为y=ex,则y'=ex,
若x=0,可得y=1,y'=1,可知切点坐标为(0,1),切线斜率为1,
所以曲线y=ex在x=0处的切线方程为y=x+1.
(2)设切点坐标为(x0,),切线斜率为k1,则切线斜率k1=,
可得曲线y=ex在x=x0处的切线方程为y-(x-x0),
因为切线过原点,即0-(0-x0),解得x0=1,
可得切线方程为y-e=e(x-1),即y=ex.
13.D　对于A,由f(x0)=f'(x0)得=2x0,x0=0或x0=2,
∴函数f(x)=x2有“巧值点”,故A错误;
对于B,由f(x0)=f'(x0)得=-,解得x0=-1,
∴函数f(x)=有“巧值点”,故B错误;
对于C,由f(x0)=f'(x0)得ln x0=,
易知函数y=ln x0与y=的图象在第一象限内有一个交点,
∴方程ln x0=有一个解,∴函数f(x)=ln x有“巧值点”,故C错误.
对于D,由f(x0)=f'(x0)得=-,方程无解,
∴函数f(x)=e-x无“巧值点”,故D正确.
14.C　设切点坐标为(x0,),由y=x3,所以y'=3x2,所以y'=3,所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2,因为切线过点P(1,0),所以0=3-2,解得x0=0或x0=,所以过点P(1,0)可以作2条曲线y=x3的切线.故选C.
15.B　函数f(x)=cos x的图象向左平移个单位长度后,
得到函数g(x)的图象,则g(x)=cosx+=-sin x,则g(x)是奇函数,故A错误;
f'(x)=-sin x=g(x),故B正确;g'(x)=-cos x为偶函数,故C错误;
g'(x)=-cos x≠f(x),故D错误.故选B.
16.(1)证明 令f(x)=ln x,则f'(x)=,
若切线的斜率为-1,则=-1,解得x=-1,与y=ln x的定义域{x|x>0}不符合,
所以直线l不可能是曲线y=ln x的切线.
(2)解 若选①,记m(x)=cos x,则m'(x)=-sin x,
令m'(x)=-sin x=-1,
解得x=2kπ+,k∈Z,所以切点的坐标为2kπ+,0,k∈Z,
代入直线y=-x+b,解得b=2kπ+,k∈Z.
又因为b∈[0,2π),故b=.
若选②,记g(x)=sin x,
则g'(x)=cos x,
令g'(x)=cos x=-1,
解得x=2kπ+π,k∈Z,所以切点的坐标为(2kπ+π,0),k∈Z,
代入直线y=-x+b,解得b=2kπ+π,k∈Z.
又因为b∈[0,2π),故b=π.
17.解 (1)因为f(3)=9≠8,
所以点(3,8)不是曲线y=f(x)上的点.
(2)设切点坐标为(x0,),切线斜率为k,则由f'(x)=2x,得切线斜率k=2x0.
又因为切线过点(3,8),
所以k==2x0,
解得x0=2或x0=4,
所以切点坐标为(2,4),切线斜率k=4或切点坐标为(4,16),切线斜率k=8,
所以l的方程为4x-y-4=0或8x-y-16=0.
18.BC　由于y'=(n+1)xn,所以kn=n+1,切线方程为y=(n+1)x-n,从而xn=,yn=-n,kn+yn=1,故A错误;yn=-knxn,故B正确;
x1x2…xn=×…×,故C正确;
k1k2…kn-1=2×3×…×n,y1y2…yn=(-1)n×1×2×…×n,故D错误.故选BC.
19.2　对于函数f(x)=sin x,
若x0∈(0,π),由f'(x)=cos x,得f'(x0)=cos x0,
若f(π)-f(0)=f'(x0)(π-0),则sin π-sin 0=cos x0·π,故x0=,
所以函数f(x)=sin x在区间[0,π]上的“中值点”的个数m=1.
对于函数g(x)=ex,
若x0∈(0,1),由g'(x)=ex,得g'(x0)=,
若g(1)-g(0)=g'(x0)(1-0),则e-e0=,故x0=ln(e-1),
所以函数g(x)=ex在区间[0,1]上的“中值点”的个数n=1,
所以m+n=2.

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