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凤阳二中高二年级第一学期第二次教学质量检测数学科试卷
学校：________　姓名：________　班级：________　考号：________
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则 （　　）
A. B. C. D.
2．圆 的圆心坐标和半径分别为（　　）
A. , 2 B. , 4 C. , 2 D. , 4
3．如图，在三棱柱 中，点 在线段 上，且 ．若
，，，则 可表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知直线 过点，且 的一个方向向量为，则直线 的方程为（　　）
A. B. C. D.
5．直线 绕它与 轴的交点逆时针旋转 得到的直线方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在平行六面体 中，底面是边长为 的正方形．若
，且 ，则 的长为（　　）
A． B．
C． D．
7．若直线 与 平行，则 间的距离是
（　　）
A． B．
C． D．
8．已知点 ，，过点且斜率为 的直线 与线段 相交，则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分
9．已知直线 ，则下列说法正确的是（　　）
A．点到直线 的距离为
B．直线 与直线 相互平行
C．直线 与直线 相互垂直
D．直线 与直线 相交
10．下列说法正确的有（　　）
A．圆 的圆心为，半径为
B．方程 表示圆，则实数 的取值范围为
C．直线 恒过定点
D．过点 ，的直线方程为
11．如图，正方体 的棱长为，点 为 的中点，下列说法正确的是 （　　）
A．
B． 平面
C．点 到平面 的距离为
D． 与平面 所成角的正弦值为
三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．已知 ,，则以线段 为直径的圆的方程是________．
13．求过点 ，并且在两轴上的截距相等的直线方程________．
14．已知直线 和点 ，， 是 上一点，则 的最小值为________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤
15．（13 分）已知 的三个顶点是 、、，求：
（1） 边上的高 所在直线的一般式方程；
（2） 边上的中线 所在直线的一般式方程．
16．(15 分)如图，在平行六面体 中，，，
为 与 的交点，若 ，，．
(1)用 ，， 表示 和 ；
(2)求 与 夹角的余弦
17．（15 分）圆 过点 ，且圆心在直线 上．
(1)求圆 的方程；
(2) 为圆 上的任意一点，定点 ，求线段 中点 的轨迹方程．
18．（17 分）如图，在四棱锥 中，平面 ， 且 ，，，
，， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
19．（17 分）如图，正三角形 与菱形 所在的平面互相垂直，，， 是
的中点．
(1)求证： ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)已知点 在线段 上，且直线 与平面 所成的角为 ，求出 的
值．
《凤阳二中高二年级第一学期第二次教学质量检测数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C A D A B BD ABC
题号 11
答案 ACD
11．ACD
对于A 选项，连接 、，
在正方体 中，平面 ，平面 ，所以 ，
因为四边形 是正方形，所以 ，
因为 ，、平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，故A 正确；
对于B 选项，在正方体 中，有 ，且 与平面 相交与点 ，
故 与平面 不平行，故B 错误；
对于C 选项，连接 、 交于 ，
在正方体 中，平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为四边形 是正方形，所以 ，
因为 ，、平面 ，所以 平面 ，
因为 ，平面 ，平面 ，所以 平面 ，
所以点 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，即为 ，
又正方体 棱长为1，则 ，则点 到平面 的距离为，故C 正确；
对于D 选项，取 中点 ，连接 、，
因为四边形 是正方形，点 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 与平面 所成角即为 ，
则
，
则 与平面 所成角的正弦值为，故D 正确．
故选：ACD．
12．
点 , 的中点为，则以线段 为直径的圆的圆心为，半径为
，圆的方程为．
13． 或
当直线经过原点时，直线的方程为 ，化为，
当直线不经过原点时，设直线的截距式为 ，
把点代入可得：，解得，
所以直线的方程为：，
综上所述，所求直线方程为或．
14．
设点 关于直线 的对称点为 ，则 ，解得，即 ，
则．
故答案为：
15．（1） （2）
解析：解：（1），
所以直线 的方程为：
故 6 分
（2） 的中点 ，
所以直线 的方程为：
故 7 分
16．(1)， ；
(2)
解析：（1）连接 ,,，如图：
因为 ， ， ，
在 中，根据向量减法法则可得： ，
因为底面 是平行四边形，故，
因为 且 ，所以 ，
又 为线段 中点，所以，
在 中， ， 4 分
平行四边形 中， ； 8 分
（2）因为， ,，
故， ，
， 10 分
所以
，故， 12 分
所以 ， 14 分
所以． 15 分
17．(1)
(2)
解析：（1）直线 的斜率，所以 的垂直平分线 的斜率为1．
的中点，因此，直线 的方程为．即． 3 分
联立方程组，解得．所以圆心坐标为，又半径，
则所求圆的方程是． 7 分
（2）设线段 的中点,，则，解得
代入圆 中得，
即线段 中点 的轨迹方程为． 15 分
18．(1)过 作 于点 ， 则 ， ，
由于平面 ， 平面 ，所以 ,，
以 为原点， 所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则,， ,,， ，
因为 为 的中点，所以，
所以,,，
设平面 的法向量为，则，
令 ， 则，
所以平面 的法向量为，
因为，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ． 7 分
（2）由（1）知， ,，平面 的法向量为， 11 分
设平面 的法向量为，则，
故可设， 16 分
所以， 17 分
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为．
19．(1)证明:， 是 的中点， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，
． 4 分
（2）由（1）知平面 ， 平面 ，
，菱形 中， ，所以是正三角形，
．
两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系．
则， ， ， ， ， ， ，
，设是平面 的一个法向量，
则，
令，得，设点 到平面 的距离为 ，则
，
点 到平面 的距离为 9 分
（3）因为轴垂直平面 ,所以设平面 的法向量为
， ，
设， ，
则，
直线 与平面 所成的角为，
，
由，解得，
． 17 分

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