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2026-2027学年上海市崇明中学高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（　　）
A. 直线B1C与直线AC所成的角为60°
B. 直线B1C与平面AD1C所成的角为60°
C. 直线B1C与直线AD1所成的角为90°
D. 直线B1C与直线AB所成的角为90°
2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD所成的角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
3.已知ABC—A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为（ ）
A. B. C. D.
4.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于α，则sinα= ．
6.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为等边三角形D1AC中线D1E上一点，记M到平面A1D1DA、平面D1C1CD以及平面ABCD的距离的平方和为m,则m的最小值为 .
7.若一圆柱的侧面积为6π，则经过圆柱的轴的截面积为 .
8.正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1异面，且与AD1所成角为60°的面对角线共有 条.
9.若正四棱锥的体积为4cm3，底面边长为cm,则该正四棱锥的侧棱与底面所成角的大小为 （结果用反三角函数表示）.
10.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，则点B1到平面A1BC的距离为______．
11.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体，则截面图形可能是 （填序号）.
12.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是 .
13.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α=E，AD∩α=F，BD∩α=H，BC∩α=G，则四边形EFHG的形状是 .
14.已知底面圆的半径为，母线长为8的圆柱，AB是该圆柱的一条母线，一蜘蛛从A绕圆柱一周爬到B，则该蜘蛛爬行的最短路程为 .
15.设α，β，γ分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则sin的取值范围为 .
16.已知二面角α-l-β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
如图，在圆柱OO1中，它的轴截面ABB1A1是一个边长为2的正方形，点C为棱BB1的中点，点C1为弧A1B1的中点，求：
（1）异面直线OC与A1C1所成角的大小；
（2）直线CC1与圆柱OO1底面所成角的大小；
（3）三棱锥C1-OA1C的体积．
18.(本小题15分)
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=3，点E是棱AB上的点，AE=2EB．
（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；
（2）求点C到平面D1DE的距离．
19.(本小题15分)
已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=AB=3，AC=4，M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E，F．
（1）求直线PM与平面ABC所成角的大小；
（2）证明：ME∥平面PAB，并求直线ME到平面PAB的距离．
20.(本小题17分)
已知圆锥SO的底面半径R=5，高H=12．
（Ⅰ）求圆锥SO的母线长；
（Ⅱ）圆锥SO的内接圆柱OO'的高为h，当h为何值时，内接圆柱OO'的轴截面面积最大，并求出最大值．
21.(本小题18分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M，
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线PC与平面ABM所成的角；
（3）求点O到平面ABM的距离.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】6
8.【答案】4
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】①⑤
12.【答案】
13.【答案】平行四边形
14.【答案】10
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：（1）作OD∥O1C1，以O为原点，OD为x轴，OB为y轴，OO1为z轴，
如图所示：
所以求出各点的坐标为O（0，0，0），C（0，1，1），A1（0，-1，2），C1（1，0，2）．
则，．
异面直线OC和A1C1的夹角为．
所以异面直线OC与A1C1所成角的大小为．
（2）根据图形，底面的法向量为．
所以线面的夹角为=．
所以直线CC1与底面的夹角为arcsin．
（3）锥体的体积，
在△OA1C中，，，．
所以等腰三角形的面积为．
棱锥的高即为C1到底面OA1C的距离h=1，
所以三棱锥C1-OA1C的体积为．
18.【答案】解：（1）在线段CD上取靠近点D的三等分点F，连结AF，D1F，由平面几何的知识易知AF∥CE，
故∠D1AF或其补角即为异面直线AD1与EC所成角，
由于，故△D1AF为等边三角形，∠D1AF=60°，
即异面直线AD1与EC所成角为60°．
（2）如图所示，利用等体积法，，
设点C到平面D1DE的距离为h，则，
即，
解得，即点C到平面D1DE的距离为．
19.【答案】解：（1）连接AM，PM，
∵PA⊥平面ABC，
∴∠PMA为直线PM与平面ABC所成的角，
在△PAM中，∵AB⊥AC，∴BC==5，
∵M为BC中点，∴AM=BC=，
∴tan∠PMA=，即直线PM与平面ABC所成角为arctan；
（2）由ME∥平面PAB，MF∥平面PAB，ME∩MF=M，
∴平面MEF∥平面PAB，∵ME 平面MEF，∴ME∥平面PAB，
∵PA⊥平面ABC，AC 平面ABC，
∴PA⊥AC，∵AB⊥AC，PA∩AB=A，PA，AB 平面PAB，
∴AC⊥平面PAB，∴AE为直线ME到平面PAB的距离，
∵ME∥平面PAB，ME 平面ABC，平面ABC∩平面PAB=AB，
∴ME∥AB，∵M为BC中点，∴E为AC中点，∴AE=2，
∴直线ME到平面PAB的距离为2．
20.【答案】解：（Ⅰ）∵圆锥SO的底面半径R=5，高H=12，
∴圆锥SO的母线长；
（Ⅱ）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，
其中SO=12，OA=OB=5，OK=h（0＜h＜12）．
设圆柱底面半径为r，则，
即，
设圆柱的轴截面面积为S=2rh=（12h-h2）=[-（h-6）2+36]（0＜h＜12），
∴当h=6时，S有最大值为30．
21.【答案】解：方法（一）：
（1）证：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM⊥PD
因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，
因此有PD⊥平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD
（2）设平面ABM与PC交于点N，
因为AB∥CD，所以AB∥平面PCD，则AB∥MN∥CD，
由（1）知，PD⊥平面ABM，
则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，
且∠PNM=∠PCD
所求角为
（3）因为O是BD的中点，
则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，
由（1）知，PD⊥平面ABM于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离
因为在Rt△PAD中，PA=AD=4，PD⊥AM，
所以M为PD中点，，
则O点到平面ABM的距离等于．
方法二：
（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2），
设平面ABM的一个法向量，
由可得：，
令z=-1，则y=1，即
设所求角为α，则，
所求角的大小为、
（3）设所求距离为h,由，
得：
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