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2026-2027学年福建省厦门沧江高级中学高二（上）质量检测数学试卷（10月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知点A（3，4，5），点B（1，-2，3），则=（　　）
A. （-2，-6，-2） B. （2，6，2） C. （4，2，-2） D. （2，-1，-1）
2.直线x-y+1=0的倾斜角为（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
3.△ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中OA=1，OB=4，OC=2.则平面OBC的一个法向量是（　　）
A. （1，0，0）
B. （0，0，0）
C. （0，1，0）
D. （0，0，1）
4.若直线的斜率为3，且经过点（0，2），则直线的方程为（　　）
A. 3x-y+2=0 B. 3x+y-2=0 C. 3x+y+2=0 D. 3x-y-2=0
5.若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（-2，1，1），则（　　）
A. l∥α B. l⊥α C. l α或l∥α D. l与α斜交
6.已知空间向量，的夹角为，且，，则为（　　）
A. 4 B. C. 8 D.
7.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
8.已知空间直角坐标系xOyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为的平面α的方程为a（x-x0）+b（y-y0）+c（z-z0）=0经过点P（x0，y0，z0）且方向向量为的直线方程为.用以上知识解决下面问题：中国古建筑的斗拱是榫卯营造技艺的瑰宝，层层构件相互咬合，撑起宏大的屋檐.在空间直角坐标系中，某斗拱构件所在平面α的方程为x-2y+2z+1=0，一根木质斜杆穿过构件，斜杆对应的直线l的方程为，则斜撑杆（直线l）与斗拱构件平面α所成角的正弦值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知空间向量，，，则（　　）
A. ∥ B.
C. 可以为空间的一组基底 D.
10.已知直线l1：x+（a-1）y+1=0，直线l2：ax+2y+2=0，则下列结论正确的是（　　）
A. l1在x轴上的截距为-1 B. l2恒过定点（0，-1）
C. 若l1∥l2，则a=-1或a=2 D. 若l1⊥l2，则
11.如图，四边形ABCD为正方形，EA∥BF，EA⊥平面ABCD，AB=AE=2BF=2，点M在棱EC上，且，则（　　）
A. 当时，AM⊥EC
B. 当时，MF⊥平面EAC
C. 当点M在线段EC上运动时，MF的最小值为1
D. 当点M在线段EC上运动时，点M到直线BF的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线x-y=0与直线2x-y-1=0的交点坐标是 .
13.已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角的余弦值为 .
14.设f（x）为关于x的多项式.对于任意h≠0，将化简成关于h的多项式，把其中不含h的部分称为f（x）在x处的“瞬时变化值”，记为Df（x）.
例如，当f（x）=x2时，，所以Df（x）=2x.
已知a＞0，函数.将y=Df（x）的图象记为直线l,直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，坐标原点为O.则△AOB周长的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若，求实数k的值.
16.(本小题15分)
已知三角形的三个顶点A（-2，0），B（4，-4），C（0，2）.
（1）求AC边所在直线方程；（写出一般式方程）
（2）若点B与C中点为点D，求AD所在直线方程.（写出一般式方程）
17.(本小题15分)
如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=3，∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°.
（1）设，，，用表示；
（2）求证：BD⊥AC′；
（3）求AC′的长.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=2，AD=1，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点.
（1）求证：PA∥平面MNC；
（2）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；
（3）求点B到平面MNC的距离.
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB=2.
（1）若点E为线段PD的中点，
（i）证明：CE∥面PAB；
（ii）求直线CE与平面PAB间的距离；
（2）若点E为直线PD上的动点，当直线CE与底面ABCD所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥E-ACD的体积.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BCD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】（1，1）
13.【答案】
14.【答案】2+
15.【答案】解：（1）因为，，
所以，，，
所以，
所以与夹角的余弦值为；
（2）因为，．
所以，；
因为，
所以，解得．
16.【答案】（1）解：A（-2，0），C（0，2）．AC边所在直线方程为，化为一般式方程为x-y+2=0；
（2）解：B（4，-4），C（0，2）．
由点B与C中点为点D，，即D（2，-1），
所以AD所在直线方程为，化为一般式方程为x+4y+2=0．
17.【答案】解：（1）由已知可得；
（2）由（1）得，又，
又AB=AD=2，AA′=3，∠BAA′=∠DAA′=60°，
所以
=22-22+2×3×cos60°-2×3×cos60°=0，
所以，即BD⊥AC′；
（3）由（1）得，
又AB=AD=2，AA′=3，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°．
则
=
=．
18.【答案】（1）证明：因为M，N分别为AD，PD的中点，
所以PA∥MN，
又PA 平面MNC，MN 平面MNC，
故PA∥平面MNC；
（2）解：由于PD⊥DA，PD⊥DC，AD∩DC=D，AD，DC 平面ABCD，
所以PD⊥平面ABCD，
以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，2），，0，0），N（0，0，1），
所以，
设平面MNC的法向量为，
则，令y=1，则z=1，x=2，
故，
=1×2+1×1+（-2）×1=1，||==，||==，
所以cos＜，＞===，
设直线PB与平面MNC所成角为θ，
所以sinθ=|cos＜，＞|=，
故直线PB与平面MNC所成角的正弦值为；
（3）因为，
又平面MNC的法向量为，
所以点B到平面MNC的距离为．
19.【答案】解：（1）（i）证明：如图，取PA的中点F，连接EF，FB，有EF∥AD，，
又BC∥AD，，所以EF∥BC，EF=BC，
所以四边形BCEF是平行四边形，
所以CE∥BF，因为CE 平面PAB，BF 平面PAB，
所以CE∥平面PAB；
（ii）如图，取AD的中点O，连接OP，OB，
因为PA=PD，∠APD=90°，所以AD⊥PO，，
由BC∥AD，BC=OD=CD=1，CD⊥OD，
四边形BCDO是正方形，有AD⊥BO，OB=1，
因为PO∩BO=O，PO，BO 平面PBO，
所以AD⊥平面PBO，因为AD 平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面PBO，
在平面PBO内作直线BO的垂线Oz,
则Oz⊥平面ABCD，有Oz⊥OB，Oz⊥OD，
以O坐标原点，分别以OB，OD，Oz所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为BC∥AD，所以BC⊥平面PBO，因为BP 平面PBO，所以BC⊥BP，
由PC=2，CB=1，知，
由，
知，
从而有，A（0，-1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
有，，
设平面PAB的法向量为，
由，
取x=1，则，
得平面PAB的一个法向量为，
因为CE∥面PAB，所以C到平面PAB的距离即为直线CE与平面PAB间的距离，
又，
所以C到平面PAB的距离，
所以CE与平面PAB间的距离为．
（２），，
设，
，
底面ABCD的一个法向量为，
设直线CE与底面ABCD所成的角为θ，
所以=
==，
当且仅当λ=-2时取等号，
此时，
所以E到平面ABCD的距离为，
又，
所以三棱锥E-ACD的体积为．
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