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2026-2027学年广东省东莞外国语学校高二（上）段考数学试卷（一）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.直线的倾斜角是（　　）
A. 60° B. 120° C. 30° D. 150°
2.条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”；条件q：“直线l的斜率为-2”，则p是q的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件
3.已知{，，}是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（　　）
A. B. C. D.
4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=3，点P在线段AC上，且，则直线B1C与A1P所成角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
5.已知点A（1，0，2），B（-1，1，2），C（1，1，-2），则点A到直线BC的距离是（　　）
A. B. C. D. 5
6.已知直线l：（1+m）x+（1+2m）y-7m-4=0．当点P（2，2）到l的距离最大时，m=（　　）
A. B. 0 C. D. 1
7.已知向量，，，则三棱锥S-ABC的体积为（　　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8.如图，在直角△ABC中，AB=3，AC=3，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的面积等于（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，，则（　　）
A. B.
C. 向量，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为
10.已知直线l1：（m+1）x-y-2m+3=0，l2：2x-my-m+2=0，则下列说法正确的是（　　）
A. l1∥l2的充要条件为m=1或m=-2
B. 若l1⊥l2，则
C. 若直线l1不经过第四象限，则
D. 若m=2，则直线l2关于直线y=x+2对称的直线方程为x-y+4=0
11.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为2的正方形，则（　　）
A. 异面直线AE与DF所成角大小为
B. 二面角A-EB-C的平面角的余弦值为
C. 此八面体一定存在外接球
D. 此八面体的内切球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，若，则实数x+y+z= .
13.如图，二面角α-l-β的大小为，其棱l上有两个点A，B，线段AC与BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若AB=3，AC=2，BD=5，则CD= .
14.在空间直角坐标系中，若直线经过点P（x0，y0，z0）且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线l的方程为，则点Q（2，4，-4）到l距离为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平行四边形ABCD的三个顶点为A（-7，0），C（5，6），D（-4，9），
（1）求点B的坐标；
（2）判断平行四边形ABCD是否为正方形.
16.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，，，点M，N分别是A1D，B1D1的中点.
（1）试用，，表示.
（2）求证：MN∥平面ABB1A1.
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（-4，2），AB边上的中线CF所在的直线方程为x+2y-5=0.
（1）求经过顶点A且平行于CF的直线方程；
（2）若AC边上的高BE所在的直线方程为x-3y+10=0，求边BC所在的直线方程；
（3）若∠B的平分线BD所在的直线方程为y=2x,求边BC所在的直线方程.
18.(本小题17分)
在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AB=AD=2BC=2，PA=2.
（1）求证：平面PAB⊥平面PBC；
（2）若点M在棱PC上，且二面角M-AB-D的大小为45°，求的值.
19.(本小题17分)
定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在△ABC中，CD为AB边上的高，AD=1，BD=2，CD=2.将△ACD沿CD折起，得到四面体S-BCD（点A对应点S），且满足SC⊥BD.
（1）求证：四面体S-BCD为对垂四面体；
（2）求直线CD与平面SBC所成角的正弦值；
（3）设点P在棱SC上，点Q在棱SB上，且满足，记平面DPQ与平面BCD所成的锐二面角为θ，求cosθ的最大值及此时λ的值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】BD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）设B（x,y），由平行四边形ABCD的三个顶点为A（-7，0），C（5，6），D（-4，9），
可得，，
结合，可得，即，
即B（2，-3）．
（2）平行四边形ABCD是正方形．
∵，，
∴，∴AB⊥AD，
∴平行四边形ABCD为矩形．
又，
，
∴|AB|=|AD|，平行四边形ABCD为正方形．
16.【答案】解：（1）因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，，，点M，N分别是A1D，B1D1的中点，
所以，
所以，
同理，，
所以；
（2）证明：因为，
所以，即MN∥AB1，
因为AB1 平面ABB1A1，MN 平面ABB1A1，
所以MN∥平面ABB1A1．
17.【答案】x+2y=0；
x+7y-30=0；
3 x+y-10=0
18.【答案】解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，又已知AB⊥AD，因此AB，AD，AP两两垂直，
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
由AB=AD=2BC=2，得AB=2，AD=2，BC=1，PA=2，
又AD∥BC，故A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，1，0），P（0，0，2）．
由AB⊥AD，PA⊥AD，AB∩PA=A，故AD⊥平面PAB，
故平面PAB法向量可取，
平面PBC中，，
设平面PBC的法向量为，
则，取，
因为，所以平面PAB⊥平面PBC；
（2）设M在棱PC上，令．
则M=P+t（C-P）=（0，0，2）+t（2，1，-2）=（2t,t,2-2t）．
平面DAB即为底面ABCD，其法向量为．
平面MAB中，．
设平面MAB的法向量为，
则，即，
取c=t,则b=2t-2，故．
二面角M-AB-D的大小为45°，所以．
而．
因此．
两边平方：，即2t2=（2t-2）2+t2．
展开整理：2t2=4t2-8t+4+t2，0=3t2-8t+4．
解得，因为0≤t≤1，所以．
于是，故．
19.【答案】解：（1）证明：由折叠的不变性，折叠前CD⊥AB，故折叠后有CD⊥SD，CD⊥BD，
因为SD∩BD=D，且SD，BD 平面SBD，所以CD⊥平面SBD，
又SB 平面SBD，所以CD⊥SB，
因为SC⊥BD，CD⊥BD，且SC∩CD=C，SC，CD 平面SCD，得BD⊥平面SCD，
又SD 平面SCD，所以BD⊥SD，
又CD⊥SD，BD∩CD=D，BD，CD 平面BCD，所以SD⊥平面BCD，
又BC 平面BCD，所以SD⊥BC，
综上，三组对棱两两垂直，
故四面体S-BCD为对垂四面体；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），S（0，0，1），
，，，
设平面SBC的法向量为，
则，即，
令z=2，得x=1，y=1，故=（1，1，2），
设直线CD与平面SBC所成的角为α，
则，
故直线CD与平面SBC所成角的正弦值为；
（3）由，得，
由，得，
所以，，
设平面DPQ的法向量为，
则，即，
令y=1，得x=λ2，z=-2λ，故，
平面DBC的一个法向量为，
锐二面角θ满足，
分子分母同除以λ（λ＞0），得，
由基本不等式得，
当且仅当，即λ=1时取等号，
因此，
即λ=1时，cosθ取得最大值．
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