资源简介

2026-2027学年广东省深圳市高级中学高中园高二（上）诊断练数学试卷（10月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.直线3x-2y-1=0的一个方向向量为（　　）
A. （2，-3） B. （2，3） C. （-3，2） D. （3，2）
2.已知空间向量，，不共面，且，则（　　）
A. x=2，y=-3，z=2 B. x=-2，y=3，z=2
C. x=2，y=-3，z=-2 D. x=-2，y=3，z=-2
3.已知向量=（-1，2，1），=（3，x，1），且⊥，那么||等于（　　）
A. B. 2 C. D. 5
4.四面体ABCD中，G是CD的中点，连接AG，则（+）+=（　　）
A. B. C. D.
5.“”是“直线x+2ay-1=0与直线（3a-1）x-ay-1=0平行”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在空间直角坐标系中，直线l经过点O（0，0，0），且其方向向量=（1，0，1），则点M（0，1，1）到直线l的距离为（　　）
A. B. C. 3 D.
7.在二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB=1，AC=2，BD=3，CD=2，则这个二面角的大小为（　　）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，AB=AC=AA1=1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下面四个结论中，正确的是（　　）
A. 点A（1，-1，2）关于xOz平面对称的点的坐标是（1，1，2）
B. 已知为平面α的一个法向量，l为一条直线，为直线l的方向向量，则“⊥”是“l∥α”的充要条件
C. 已知=（0，1，1），=（0，0，-1），则在上的投影向量的模为1
D. 设{，，}是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
10.下列说法正确的是（　　）
A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B. 直线xsinα-y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0
C. 在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线方程为
D. 直线l：λx+y-3λ=0（λ∈R）恒过定点（3，0）
11.如图，在棱长为1的正四面体P-ABC中，O为底面ABC的重心，G，F分别为线段PO，PC上的点（不含端点），D，E分别为PA，PB延长线上的点，，，，DF交AC于M，EF交BC于N，则（　　）

A. 若x=y,则MN∥平面PAB
B.
C. 若且平面DEF过点O，则x+y的最小值为4
D. 若G为正四面体P-ABC的外接球球心且x=y=2，平面DEF过点G，则点F到平面PDE的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l1：2x-y+1=0与l2：x-2ky+2=0垂直，则实数k的值为 .
13.人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点P0（x0，y0，z0），若平面α经过点P0，且以为法向量，点P（x,y,z）是平面内的任意一点，则平面α的方程为a（x-x0）+b（y-y0）+c（z-z0）=0”.现已知平面α的方程为x-y+z+1=0，则平面α的一个法向量可以为= .
14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=BC=AA1=1，点P为侧面ABB1A1上的任意一点，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知A（1，2），B（2，1），C（0，m）三点．
（1）若过A，C两点的直线的倾斜角为45°，求m的值；
（2）A，B，C三点可能共线吗？若能，求出m的值．
16.(本小题15分)
如图，在棱长为6的正四面体O-ABC中，，点E为AD的中点，设，，.
（1）试用向量，，表示向量；
（2）求OE的长.
17.(本小题15分)
已知直角坐标平面xOy内的两点A（-5，6），B（-4，8）.
（1）直线经过A、B两点，求直线的一般式方程以及在x轴、y轴上的截距；
（2）一束光线从点B射向y轴，反射后的光线过点A，求反射光线所在的直线方程.
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=2，D为AC中点，四边形BCC1B1为正方形.
（1）求证：B1C∥平面A1BD；
（2）若AB⊥B1C，求：
（i）直线B1C到平面A1BD的距离；
（ⅱ）直线AB与平面A1BD所成角的正弦值.
19.(本小题17分)
如图①，在菱形ABCD中，且AB=2，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起使，得到如图②所示的四棱锥A-BCDE，在四棱锥A-BCDE中，求解下列问题：
（1）求证：BC⊥AB；
（2）在线段AC上是否存在一点P，使得平面ABE与平面PBD夹角为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】BD
11.【答案】ACD
12.【答案】-1
13.【答案】（1，-1，1）
14.【答案】
15.【答案】解：（1）∵A（1，2），C（0，m），
又∵过A，C两点的直线的倾斜角为45°，
∴，解得m=1．
（2）∵A（1，2），B（2，1），C（0，m），
∴，，
若A，B，C三点共线，
则kAB=kAC，即-1=2-m,解得m=3，
故A，B，C三点能共线，且m=3．
16.【答案】；
．
17.【答案】解：（1）根据直线经过A（-5，6）、B（-4，8）两点，
可得直线AB：，整理得2x-y+16=0，
令y=0，可得x=-8，令x=0，可得y=16，故直线在x轴、y轴上的截距分别为-8、16；
（2）点B（-4，8）关于y轴的对称点为B′（4，8），
可得直线AB′：，化简得2x-9y+64=0，
所以反射光线所在的直线方程为2x-9y+64=0．
18.【答案】解：（1）证明：连接AB1交BA1于E，连接ED，
则E为AB1中点，又D为AC中点，所以ED∥CB1，
又CB1 平面A1BD，ED 平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD．
（2）（i）因为AB⊥B1C，AB⊥BC，且B1C∩BC=C，B1C，BC 平面BCC1B1，
所以AB⊥面BCC1B1，
又B1B 面BCC1B1，所以AB⊥B1B，所以AB，B1B，BC两两垂直．
以点B为原点，以BC，BA，BB1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，0），A（0，2，0），B1（0，0，2），
所以，，．
设平面A1BD的法向量为，
则，即，令x=1，则y=-1，z=1，所以．
由（1）知，B1C∥平面A1BD，所以点B1到平面A1BD的距离即为直线B1C到平面A1BD的距离，
点B1到平面A1BD的距离，
所以直线B1C到平面A1BD的距离为．
（ii），面A1BD的法向量为，
设直线AB与平面A1BD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜＞|=，
即直线AB与平面A1BD所成角的正弦值为．
19.【答案】解：（1）证明：连接BD，如图所示：
四边形ABCD为菱形，，故△ABD是等边三角形，
又E为AD的中点，故BE⊥AE，BE⊥DE，
又AD=AB=2，故AE=DE=1，
如图②所示的四棱锥A-BCDE中，
，故AE2+ED2=AD2，即AE⊥ED，
又BC∥DE，故BC⊥BE，BC⊥AE，
又BE∩AE=E，AE，BE 面ABE，
故BC⊥面ABE，
又AB 面ABE，故可以证得BC⊥AB；
（2）建立空间直角坐标系，如图所示：
，
，
，
故，
设平面PBD的一个法向量为，
由，得，
令x=1，则，
由题易知平面ABE的一个法向量，
，解得，
故存在点P，使得平面ABE与平面PBD夹角为，此时．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑