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2026-2027学年河北省石家庄市第四十三中学（石家庄外国语学校）九年级（上）阶段考试数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知2a=3b（b≠0），则下列比例式中正确的是（　　）
A. B. C. D.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinA的值是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（　　）

A. B. 2 C. D. 5
4.计划修建铁路1200km,则铺轨天数y（d）与平均每天铺轨量x（km/d）之间的函数关系式是（　　）
A. y=1200x B. C. y=1200+x D. y=1200-x
5.某河堤的横断面如图，堤高BC是5m,迎水斜坡AB的长是13m,那么斜坡AB的坡度是（　　）
A. 1：3 B. 1：2.6 C. 1：2.4 D. 1：2
6.解一元二次方程x2+10x+21=0，配方后得到（x+5）2=P，则P的值是（　　）
A. 4 B. 21 C. 25 D. 46
7.在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片.如图，小雨将一张长为5cm,宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为9cm,那么放大后的矩形的长为（　　）
A. 15cm B. 18cm C. 20cm D. 25cm
8.某智能电桩充电公司2024年第一季度净利润为100万元，第三季度净利润增长到144万元，设该公司第二、三季度的季均增长率均为x,则可列方程为（　　）
A. 100（1+x）2=144 B. 100（1+2x）=144
C. 100（1+3x）=144 D. 100（1+x2）=144
9.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm,BC边上的高AD为6cm,把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（　　）
A. 4cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 7cm
10.对于一次函数y=3x-1，下列结论正确的是（　　）
A. y随x的增大而减小 B. 当时，y＜0
C. 它的图象与y轴交于点（0，-1） D. 它的图象经过第一、二、三象限
11.一架无人机从起飞点A处起飞，身高1.7米的小亮站在离起飞点A水平距离8米的B处.当无人机飞行到C点时，小亮测得此时的仰角为55°，无人机此时的高度AC为（　　）
A. （1.7+8sin55°）米
B. （1.7+8cos55°）米
C. 米
D. （1.7+8tan55°）米
12.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形是（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，直线OP过点（3，t），且，则t= .
14.已知a,b是方程2x2-4x-1=0的两个根，则ab= .
15.如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB=60cm,台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm,支撑钢梁DE⊥AC，且D为BC的中点，则钢梁DE的长为 .
16.如图，在△ABC中，AB=6cm,AC=8cm,AD=2cm,点E在AC上.若△ADE与△ABC相似，则AE= cm.
三、计算题：本大题共2小题，共17分。
17.
(1) 用适当的方法解下列方程：x2-4x+3=0
(2) 计算：sin30°+2cos45°-tan260°
18.1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用AD来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅BC，其中售票厅BC高18米．从A，B之间的E点（A，E，B在同一水平线上）测得纪念碑顶部的D点，售票厅顶部C点的仰角分别为75°和30°，从C点测得D点的仰角为30°．解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号：
(1) 填空：∠CDE= °，CE=
(2) 求C，D两点之间的距离
(3) 求纪念碑AD的高度
四、解答题：本题共6小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-4，3），B（-3，1），C（-1，1）
(1) 以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，且点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1
(2) 写出△A1B1C1各顶点的坐标A1（ ）；B1（ ）；C1（ ）
(3) 如果△ABC的周长和面积分别为a,b,则△A1B1C1的周长为 ，面积为
(4) 直接写出tan∠ACB的值为
20.(本小题8分)
如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，∠B+∠CDE=180°
(1) 求证：△ADE∽△ABC
(2) 若AE=4，BE=3，AD=5，求DC的长．
请你帮助嘉琪完成解题过程：
（1）证明：
∵∠B+∠CDE=180°，∠ +∠CDE=180°，
∴∠ =∠ ，
又∵∠DAE=∠ ，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：
∵△ADE∽△ABC，
∴，（填线段名称）
∵AE=4，BE=3，AD=5，AB=AE+BE，
∴，
∴AC=，
∴CD= - =．（填线段名称）
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，5），与正比例函数y2=-3x交于点C（-1，m）
(1) m=
(2) 求直线AB的函数表达式
(3) 不等式-3x＞kx+b的解集是
(4) 在y轴负半轴上找点P，使得△AOP与△AOB相似，直接写出P点的坐标为
22.(本小题9分)
如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB=8，CD=24，AE=4
(1) 求AC的长
(2) 求证：∠ABE=∠ACB
23.(本小题10分)
【实际背景】
为保障石家庄地铁的安全运营，技术团队在平直轨道上对一列新型地铁列车进行紧急制动测试．列车从A点开始刹车，做匀减速直线运动直到停止．测试系统记录了列车刹车后的瞬时速度随时间变化的数据，如表所示：
刹车时间t（s） 0 1 2 3 4
瞬时速度v（m/s） 20 18 16 14 12
【问题解决】
(1) 请根据表格中的数据，求出列车刹车后的瞬时速度v（m/s）关于刹车时间t（s）的一次函数表达式，并写出自变量t的取值范围
(2) 求刹车开始后6秒时列车的速度．
【拓展提升】
在匀减速运动中，列车滑行的距离S（m）可以通过以下公式计算：列车滑行距离=列车平均速度×时间，其中，平均速度=（初始速度+t秒时的瞬时速度）
(3) 若前方轨道上距离A点36米处有一个信号灯，请问列车刹车后经过多少秒会到达该位置？
(4) 若前方轨道上距离A点110米处有障碍物，请问按照当前的制动性能，列车是否会撞上障碍物？请说明理由
24.(本小题12分)
如图1-图3，在△ABC中，AB=AC=10，tanB=，△PQM∽△ABC，且△PQM的顶点P，Q，M分别在线段AB，BC及射线CA上．当点P（不与点A，B重合）在边AB上移动时，点Q，M随之移动（△PQM的大小会发生变化）．
(1) BC= ，=
(2) 求证：△PBQ∽△QCM
(3) ①如图2，当AM=CQ时，求AP的长；
②当△APM为等腰三角形时，直接写出AP的长
(4) 如图3，记∠MQC=θ°，PD为△PQM的角平分线，O为PD上一点，将△ABC绕点O逆时针旋转θ°得到△A'B'C'，在点P移动过程中，若点A′始终落在DP或其延长线上，请直接写出的值
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】D
12.【答案】B
13.【答案】4
14.【答案】
15.【答案】24cm
16.【答案】或
17.【答案】【小题1】x2-4x+3=0，
（x-1）（x-3）=0，
x-1=0或x-3=0，
解得x1=1，x2=3
【小题2】sin30°+2cos45°-tan260°===

18.【答案】【小题1】
45
36米
【小题2】
过点E作EH⊥CD，垂足为H，
在Rt△CEH中，CE=36米，∠DCE=60°，
∴CH=CE cos60°=36×=18（米），
EH=CE sin60°36×=18（米），
在Rt△DEH中，∠EDH=45°，
∴DH==18（米），
∴CD=CH+DH=（18+18）米，
∴C，D两点之间的距离为（18+18）米
【小题3】
由题意得：AF=BC=18米，
在Rt△CDF中，∠DCF=30°，CD=（18+18）米，
∴DF=CD=（9+9）米，
∴AD=AF+DF=（27+9）米，
∴纪念碑AD的高度为（27+9）米

19.【答案】【小题1】
如图，△A1B1C1即为所求．
【小题2】
8，-6
6，-2
2，-2
【小题3】
2a
4b
【小题4】

20.【答案】【小题1】
证明：∵∠B+∠CDE=180°，∠ADE+∠CDE=180°，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
故答案为：ADE；ADE；B；BAC
【小题2】
ADE
ADE
B
BAC
AC
AD

21.【答案】【小题1】
3
【小题2】
把点B（0，5），C（-1，3）代入y1=kx+b得，
∴，
∴直线AB的函数表达式为y=2x+5
【小题3】
x＜-1
【小题4】
（0，-）或（0，-5）

22.【答案】【小题1】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠D，∠A=∠DCE，
∴△AEB∽△CED，
∴，
∵AB=8，CD=24，AE=4，
∴，
∴CE=12，
∴AC=AE+CE=4+12=16
【小题2】证明：∵AB=8，AC=16，AE=4，
∴=，=，
∴=，
∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠ABE=∠ACB

23.【答案】【小题1】设v=kt+b,
∴，
解得：，
∴v=-2t+20，
-2t+20≥0，
解得：t≤10，
∴v=-2t+20（0≤t≤10）
【小题2】当t=6时，v=-2×6+20=8．
答：刹车开始后6秒时列车的速度为8m/s
【小题3】S=t（20-2t+20），
当S=36时，
t（20-2t+20）=36，
t2-20t+36=0，
（t-2）（t-18）=0，
解得：t1=2，t2=18，
∵0≤t≤10，
∴t=2．
答：列车刹车后经过2秒会到达该位置
【小题4】列车不会撞上障碍物．
理由：10s时，列车的速度为0，
∴刹车总距离为：×10=100（m）．
∵100＜110，
∴列车不会撞上障碍物

24.【答案】【小题1】
12
【小题2】
证明：∵△PQM∽△ABC，
∴∠PQM=∠ABC．
∵点B、Q、C在同一直线上，点M在射线CA上，
∴∠PQC=∠PQM+∠MQC=∠ABC+∠MQC，
∴∠PQB=180°-∠PQC=180°-∠ABC-∠MQC．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵点M在射线CA上，
∴∠QCM=∠ACB=∠ABC．
在△QCM中，∠QMC=180°-∠QCM-∠MQC=180°-∠ABC-∠MQC．
∴∠PQB=∠QMC．
∵点P在AB上，
∴∠PBQ=∠ABC=∠QCM．
∴△PBQ∽△QCM
【小题3】
解：设AP=x.
由（1）（2）知△PBQ∽△QCM，且，
∴，
∵PB=AB-AP=10-x,
∴，
∴，
∴．
①若点M在线段CA上，则，
由AM=CQ得，
解得，不合题意，舍去；
若点M在CA的延长线上，则，
由AM=CQ得，
解得，
此时，符合点M在CA的延长线上，
∴；
②∵△PQM∽△ABC，AB=AC，
∴PQ=PM．
过点P作PH⊥BC于点H．
在Rt△PBH中，，
∴，，
∵，
∴，
∴在Rt△PHQ中，由勾股定理得，
∴，
△APM为等腰三角形，分三种情况讨论：
（i）AP=AM．若点M在线段CA上，则，
由AP=AM得，
解得，此时，符合题意；
若点M在CA的延长线上，则，
由AP=AM得，
解得，不合题意，舍去；
（ii）AP=PM，则AP2=PM2，
即，
整理得18x2-215x+625=0，
解得x=5或；
当时，CM=10，点M与点A重合，△APM不存在，舍去；
（iii）PM=AM，则PM2=AM2，
即，
整理得x（1129x-3500）=0，
解得（x=0时点P与点A重合，不合题意，舍去），
此时，点M在线段CA上，符合题意．
综上，或5或
【小题4】
解：∵△PQM∽△ABC，且AB=AC，
∴PQ=PM，∠PQM=∠ABC，∠QPM=∠BAC，
设∠QPM=∠BAC=α，AP=x.
∵PD平分∠QPM，
∴，
∵PQ=PM，
∴PD⊥QM，D为QM的中点，
∴，
∵，
∴，QD=PQ，
∴在Rt△PDQ中，PD==PQ．
由（3）知BQ=x,．
∵将△ABC绕点O逆时针旋转θ°，点A的对应点为A'，
∴OA=OA'，∠AOA'=θ°，
∵点A'在直线DP上，射线OA'与射线OP同向，
∴∠AOP=∠AOA'=θ°，
∵点B、Q、C在同一直线上，
∴∠PQC=∠PQM+∠MQC=∠ABC+θ°，
∴∠PQB=180°-∠ABC-θ°，
在△PBQ中，∠BPQ=180°-∠ABC-∠PQB=θ°，
∵点A、P、B在同一直线上，
∴∠APQ=180°-θ°，
∴．
在△AOP中，∠APO=∠APD，
∴，
过点A作AH⊥BC于点H，过点P作PG⊥AO于点G，过点M作MK⊥BC于点K．
在Rt△ABH中，由，AB=10，得BH=6，AH=8．
∵∠PAG=∠BAH，∠AGP=∠AHB=90°，
∴Rt△APG∽Rt△ABH，
∴，即．
∵∠MCK=∠ACB=∠ABC，∠MKC=∠AHB=90°，
∴Rt△MCK∽Rt△ABH，
∴，即．
∵∠AOP=∠MQC=θ°，即∠POG=∠MQK，
∴Rt△PGO∽Rt△MKQ，
∴，
∴OP==x×PQ×=PQ，
∴OD=PD-OP=PQ-PQ=PQ，
∴==

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