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2026-2027学年河南省郑州学森实验学校高二（上）第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.直线x+y+1=0的倾斜角是（　　）
A. B. C. D.
2.已知直线l1：x+ay+1=0，l2：（a-1）x+y+a=0，则下列说法正确的是（　　）
A. 当a=1时，直线l1的倾斜角为45° B. 当l1⊥l2时，
C. 若l1∥l2，则a=-1 D. 直线l2的纵截距为-a
3.直线l1：ax-y+2025=0，l2：（3a-2）x+ay-2a=0，若l1⊥l2，则实数a的值为（　　）
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1
4.已知直线过点（1，2），且在x轴与y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（　　）
A. x-y+1=0 B. x+y-3=0 C. 2x-y=0或x-y+1=0 D. 2x-y=0或x+y-3=0
5.已知两点A（1，-2），B（2，1），直线l过点P（0，-1）且与线段AB有交点，则直线l的倾斜角的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
6.在三棱台ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，BB1=A1B1=1，且，若BB1⊥平面ABC，则点B到直线AC1的距离为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的最小值为（　　）
A. 4 B. 5 C. D. 9
8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DA，BB1的中点，M，N分别为线段D1A1，A1B1上的动点（不包括端点）满足EN⊥FM，则线段MN的长度的取值范围为（　　）
A. B. C. （-3，2） D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知直线l：ax-y+2=0，则（　　）
A. l过定点（0，2） B. 当a=1时，l与直线x+y=0垂直
C. 当a=-1时，l与直线x+y=0平行 D. 当a=1时，l在两坐标轴上的截距相等
10.已知空间向量=（2，-1，1），=（1，2，3），则下列结论正确的是（　　）
A. =（3，2，5）与，共面
B. ||=26
C. 在上的投影向量为
D. 与夹角的余弦值为
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点P为线段D1F上的一点，则下列说法正确的是（　　）
A. 平面FCC1⊥平面BEP
B. 直线BE与GC1所成角的余弦值为
C. 平面BED1与平面BCC1B1夹角的余弦值为
D. 点P到直线CD的距离的最小值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，且，则= .
13.一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点Q（4，0），经x轴反射，求反射光线所在的直线方程 .
14.已知边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=60°，E为AB边的中点，将△ABC沿对角线AC翻折，在翻折过程中，记直线AC与DE所成的角为θ，当平面ABC⊥平面ADC时，tanθ=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD=∠BAD=∠A1AB=60°，AB=AD=1，AA1=2，E为A1C1与B1D1的交点.
（1）用向量，，表示；
（2）求线段AE的长；
（3）求异面直线AE与BD所成的角.
16.(本小题15分)
已知向量.
（1）求；
（2）求与的夹角；
（3）若与垂直，求实数t的值.
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，AA1=2，点E，F分别为线段AC1和B1C的中点.
（1）证明：EF∥平面ABC；
（2）求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值；
（3）求直线EF与直线A1B1间的距离.
18.(本小题15分)
已知直线l：kx-y+2+4k=0（k∈R）.
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；
（3）若直线l交x轴的负半轴于点A.交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2，AD=2BC=2AB=4，AD∥BC，∠BAD=90°．
（1）证明：平面PAC⊥平面PCD；
（2）求三棱锥B-PAD的体积；
（3）在棱PA上是否存在点M，使得平面PCD与平面CDM的夹角为30°？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】AD
11.【答案】AC
12.【答案】
13.【答案】2x+y-8=0
14.【答案】
15.【答案】解：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD=∠BAD=∠A1AB=60°，
AB=AD=1，AA1=2，E为A1C1与B1D1的交点，
∴由空间向量线性运算法则得：
．
（2）∵．
∴由向量数量积性质得：
=
=，
∴线段AE的长为．
（3）∵由向量数量积性质得：
=（） （）
=
=，
∴⊥，
∴异面直线AE与BD所成的角为90°．
16.【答案】解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
，，
设与的夹角为θ，
则，
又θ∈[0，π]，∴，
∴与的夹角为．
（3）∵，
∴，，
∵与垂直，∴，
∴-1×（-1-t）+（-2）×2t+2×1=0，解得t=1，
∴若与垂直，则实数t的值为1．
17.【答案】证明：连接BC1，如图所示：
因为CF=FB1，且四边形BCC1B1为矩形，
所以C1F=BF，
又因为AE=EC1，所以EF∥AB，
因为AB 平面ABC，EF 平面ABC，
所以EF∥平面ABC
18.【答案】解：（1）证明：由方程kx-y+2+4k=0得：k（x+4）+（2-y）=0，所以对任意的k,点（-4，2）都满足方程，
所以直线l过定点；
（2）根据题意知，k≠0，对于直线l：x=0时，y=2+4k；y=0时，x=，
所以，整理得：2k2-k-1=0，解得：k=1或，
所以直线l的方程为：x-y+6=0或x+2y=0；
（3）根据（2）知：，解得k＞0，所以由题意得：S==，
当且仅当，即k=时取等号，
所以S的最小值为16，此时l的方程为：x-2y+8=0．
19.【答案】解：（1）证明：因为在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，
又PC=PD=CD=，AD=2BC=2AB=4，AD∥BC，∠BAD=90°，
设DC中点G，连接PG，AC，
所以，
因为，所以AC2+CD2=AD2，则AC⊥CD，
因为PC=PD，G为CD中点，所以PG⊥CD，
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，所以PG⊥平面ABCD，
因为AC 平面ABCD，所以PG⊥AC，又PG⊥CD，PG∩CD=G，
所以AC⊥平面PCD，又AC 平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PCD；
（2）由（1）可知，PG⊥平面ABCD，因为，所以，
则．
（3）在棱PA上存在点M，使得平面PCD与平面CDM的夹角为30°，M为PA上靠近P的三等分点，
证明如下：
设AD中点为Q，
由（1）得PG⊥平面ABCD，又CB，CQ 平面ABCD，则PG⊥CB，PG⊥CQ，
过C作PG的平行线CN，
则以C为原点，CQ所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CN所在直线为z轴，建系如图：
由题意得，则C（0，0，0），D（2，-2，0），A（2，2，0），
因，则，故，
则，
设，由题可知0＜λ＜1，
，
设平面PCD法向量为，平面CDM的法向量为，
则，则，
取，，
因为平面PCD与平面CDM的夹角为30°，
所以，
化简得3λ2+2λ-1=0，即（3λ-1）（λ+1）=0，又0＜λ＜1，则，
所以M为PA上靠近P的三等分点．
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