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2026-2027学年辽宁省沈阳市第一二0中学高二（上）第一次质量监测数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，3，-2）在平面Oxy上的射影点的坐标为（　　）
A. （1，3，0） B. （1，0，-2） C. （0，3，-2） D. 不确定
2.若点P（-1，2）到直线l：y=3x-a的距离为，则a=（　　）
A. 5 B. -15 C. 5或-15 D. -5或15
3.相交但不垂直的平面α和β的一对法向量分别为、，若平面α和β所成角为θ，则（　　）
A. cosθ=cos＜，＞ B.
C. tanθ=tan＜，＞ D. θ=＜，＞
4.已知点A（2，-3），B（-3，-2），若直线x-ay+a+1=0与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
5.已知A、B、C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足，则当点P、A、B、C四点共面时，实数x=（　　）
A. B. C. D.
6.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是（　　）
A. B.
C. D.
7.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（-4，0），
B（0，4），C（2，0），则该三角形的欧拉线方程是（　　）
A. x+y-2=0 B. x-2y+1=0 C. x-y+2=0 D. 2x-y+2=0
8.如图，正方形ABCD、ABEF，∠CBE=120°，动点M，N分别在AE和DB上，EM=BN，当||最小时，二面角A-MN-B的余弦值是（　　）
A. - B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中，正确的有（　　）
A. 若平面ABC的法向量，则P、A、B、C四点共面
B. 若平面ABC的法向量，则PA与平面ABC所成的角为
C. 若平面ABC的法向量，则点P到平面ABC的距离是2
D. 若，且∠BAC是钝角，则实数t的取值范围是t＜1
10.下列说法错误的是（　　）
A. 直线xsinα-y±2=0的倾斜角θ的取值范围是
B. 若圆M：（x-4）2+（y-4）2=r2（r＞0）上恰有两点到点N（4，0）的距离为1，则r的取值范围是（4，6）
C. “直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”是“a=-1”的充分而不必要条件
D. 过点P（1，2）且在x轴、y轴上的截距相同的直线方程是x+y-3=0
11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，，点E为四边形ABCD内部（不含边界）的一个动点，平面DD1E⊥平面CD1E，则下列说法正确的是（　　）
A. 异面直线BD1与AD所成角的余弦值为
B. 当DE=1时，二面角D1-CE-D的正切值为
C. 四面体D1-CDE的外接球体积为16π
D. 若，则λ+μ的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过点A（0，0），B（0，4），C（3，3）的圆的方程为 .
13.若直线y=2x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围为 .
14.已知，空间直角坐标系xOy中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为的平面α的方程为a（x-x0）+b（y-y0）+c（z-z0）=0.用以上知识解决下面问题：已知平面α的方程为x-2y+2z+1=0，直线l是两个平面x-y+2=0与2x-z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，底面是正方形，AD=AB=2，AA1=1，∠A1AB=∠DAA1=60°，=3，，设．
（1）试用表示；
（2）求MN的长度．
16.(本小题15分)
（1）一条直线经过点P（3，2），倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍求该直线方程；
（2）一条直线经过点P（3，2），与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积最小（O为坐标原点）时求该直线方程.
17.(本小题15分)
如图1，在平面五边形MADCB中，AB∥CD，AB⊥BC，AB⊥MA，BC=CD=2AB=2MA=4，将△MAB沿AB折起得到如图2所示的四棱锥P-ABCD，且PD=4，E为棱CD的中点.
（1）证明：PE⊥平面PAB；
（2）若G为棱PD上一动点，直线CG与平面PAD所成角的正弦值为.
（i）求；
（ii）求点G到平面PBC的距离.
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，已知A（-1，0），B（2，0），动点M（x，y）满足，设动点M的轨迹为曲线C．
（1）求动点M的轨迹方程，并说明曲线C是什么图形；
（2）过点（1，2）的直线l与曲线C交于E，F两点，若|EF|=，求直线l的方程；
（3）设P是直线x+y+8=0上的点，过P点作曲线C的切线PG，PH，切点为G，H，设C'（-2，0），求证：过G，P，C'三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
19.(本小题17分)
经过原点O的直线与圆M：（x+1）2+y2=4相交于A，B两点，过点C（1，0）且与AB垂直的直线与圆M的另一个交点为D.
（1）当点B的坐标为（-1，-2）时，求直线CD的方程；
（2）记点A关于x轴的对称点为F（异于点A，B），求证：直线BF恒过x轴上的一个定点；
（3）求四边形ABCD的面积S的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】AB
10.【答案】ABCD
11.【答案】ABD
12.【答案】（x-1）2+（y-2）2=5
13.【答案】{-}∪（-1，1]
14.【答案】
15.【答案】解：（1）=++=++-
=++-（+）=++
=++；
（2）∵，∴M是线段D1B的中点，
∴A、M、C1三点共线，且M是线段AC1的中点，
∴==（++），
∴=-=（++）-（++）
=++，
∵||=2，||=2，||=1， =0， =2×1×cos60°=1， =2×1×cos60°=1，
∴||==
==．
即MN的长度为．
16.【答案】（1）解：一条直线经过点P（3，2），倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍，
设所求直线的倾斜角为θ，直线x-4y+3=0的倾斜角为α，则θ=2α，
将直线x-4y+3=0化为斜截式，可得其斜率，
由二倍角正切公式，所求直线的斜率，
因为直线过点P（3，2），故直线方程为，整理为一般式得：8x-15y+6=0．
（2）解：一条直线经过点P（3，2），与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，
设所求直线与x轴正半轴交点为A（a,0），与y轴正半轴交点为B（0，b），其中a＞0，b＞0，
则直线的截距式方程为，将点P（3，2）代入方程得：，
△AOB的面积，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，
对不等式两边平方得，即ab≥24，因此，
即△AOB面积的最小值为12，联立，解得a=6，b=4，
代入截距式方程得，整理为一般式得：2x+3y-12=0．
17.【答案】连接AE，
因为AB∥CD，AB⊥BC，AB=CE，所以四边形ABCE为矩形，
所以AB⊥AE，AE=BC=4，
又AB⊥AP，AE∩AP=A，AE，AP 平面PAE，
所以AB⊥平面PAE，
而PE 平面PAE，所以AB⊥PE，
所以CD⊥PE，
又PD=4，，
所以，
又AP=2，AE=4，所以AE2=AP2+PE2，即PE⊥AP，
因为AP∩AB=A，AP，AB 平面PAB，
所以PE⊥平面PAB （i）或；（ii）或
18.【答案】解：（1）由题意得，
化简可得：（x+2）2+y2=4，
∴动点M的轨迹方程为（x+2）2+y2=4．
曲线C是以（-2，0）为圆心，2为半径的圆；
（2）①当直线l斜率不存在时，x=1，不成立；
②当直线l的斜率存在时，设l：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
圆心C（-2，0）到l的距离为d=，
∵|EF|==，
∴，
即29k2-60k+4=0，
解得k=2或k=，
∴l的方程为2x-y=0或2x-29y+56=0；
（3）证明：∵P在直线x+y+8=0上，
∴可设P（m，-m-8），
∵C′（-2，0）为曲线C的圆心，
由圆的切线的性质可得PG⊥GC′，
∴经过G，P，C′的三点的圆是以PC′为直径的圆，
则方程为（x+2）（x-m）+y（y+m+8）=0，
整理可得x2+y2+2x+8y+m（-x-2+y）=0，
由，
解得或，
∴经过G，P，C′三点的圆必过定点，
所有定点的坐标为（-2，0），（-5，-3）．
19.【答案】x+2y-1=0 根据题意可得AB直线的斜率存在且不为0，又AB过原点O（0，0），
∴设直线AB方程为y=kx，联立圆M：（x+1）2+y2=4，
可得（k2+1）x2+2x-3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，又F（x1，-y1），∴直线BF为，
令y=0，可得，
∴直线BF恒过x轴上定点（3，0）
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