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2026-2027学年辽宁师范大学附属中学高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知点A(-3，1，-4)，则点A关于x轴对称的点的坐标为( )
A. (-3，-1，4) B. (-3，-1，-4) C. (3，1，4) D. (3，-1，-4)
2.已知直线l过点A（3，4），且倾斜角为，则直线l的一般式方程为（　　）
A. x-y-4-3=0 B. x+y-4-3=0
C. x-y-4-3=0 D. x+y-4-3=0
3.设向量不共面，已知，，若A，C，D三点共线，则λ=（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（　　）
A. 1
B.
C.
D.
5.设直线l的方程为x-ycosθ+5=0（θ∈[0，]），则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
6.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1=2，则AC1的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.下列三个命题中，错误命题的个数是（　　）
①若两条不同直线l,m的方向向量分别是，，则l∥∥；
②若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面；
③若两个不同平面α，β的法向量分别是，，且，，则α∥β.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.设直线l：x+y-1=0，一束光线从原点O出发沿射线y=kx（x≥0）向直线l射出，与l交于点P，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N.若光线所经长度OP+PM+MN=，则k的值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图，已知二面角α-l-β的棱l上有A，B两点，C∈α，AC⊥l,D∈β，BD⊥l,若AC=AB=BD=2，CD=2，则（　　）
A. 直线AB与CD所成角的余弦值为45° B. 二面角α-l-β的大小为60°
C. 三棱锥A-BCD的体积为 D. 直线CD与平面β所成角的正弦值为
10.已知m∈R，若过定点A的动直线l1：x-my+m-2=0和过定点B的动直线l2：mx+y+2m-4=0交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（　　）
A. A点的坐标为（2，1） B. PA⊥PB
C. |PA|2+|PB|2=25 D. 2|PA|+|PB|的最大值为5
11.如图，M为棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点，则（　　）
A. 当M在平面A1B1C1D1内运动时，四棱锥M-ABCD的体积是定值
B. 当M在直线A1C1上运动时，BM与AC所成角的取值范围为
C. 使得直线MA与平面ABCD所成的角为60°的点M的轨迹长度为16π
D. 若N为棱A1B1的中点，当M在底面ABCD内运动，且MN∥平面B1CD1时，MN的最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线3x+2y-1=0的一个方向向量是 .
13.已知m∈R，直线3x-y+3=0与直线6x+my+4=0互相平行，则它们之间的距离为 .
14.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知点A（1，2，-1），B（2，k,-3），C（0，5，1），向量.
（1）若，求实数k的值；
（2）求向量在向量方向上的投影向量.
16.(本小题15分)
据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.
（1）经过直线l1：2x-y+4=0与直线l2：x-y+5=0的交点M，且与直线x-2y-1=0平行的直线的方程；
（2）已知点A（-2，-1），B（4，3）.求线段AB的垂直平分线的方程；
（3）经过点P（-2，3），并且在两坐标轴上的截距相等.
17.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB上的点，平面C1A1E交棱BC于点F.
（1）证明：EF∥AC；
（2）若直线A1B1与平面C1A1E所成角的正弦值为，求线段AE的长度及此时点B1到平面C1A1E的距离.
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且EF∥AC；将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥P-ACFE.

（1）求证：EF⊥PC；
（2）若BE=2AE，二面角P-EF-C是直二面角，求二面角P-CE-F的正弦值；
（3）当PD⊥AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围.
19.(本小题17分)
空间直角坐标系O-xyz中，任何一个平面的方程都能表示成Ax+By+Cz+D=0（其中A，B，C，D∈R，A2+B2+C2≠0），且=（A，B，C）为该平面的法向量.
（1）若平面α：x+y+z=2，β：mx+y+z=2，且α⊥β，求实数m的值；
（2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d=，若记集合Q={（x,y,z）||x|+|y|+|z|=2}所围成的几何体为U，求U的内切球的表面积；
（3）记集合T={（x,y,z）||x|+|y|≤2，|y|+|z|≤2，|z|+|x|≤2}中所有点构成的几何体为W.求W的体积V的值；
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AB
10.【答案】ABC
11.【答案】ACD
12.【答案】（1，-）
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】；

16.【答案】解：（1）根据，解得，可知直线l1、l2交于点M（1，6）．
若一条直线经过点M（1，6），且与x-2y-1=0平行，
则该直线的方程为（x-1）-2（y-6）=0，即x-2y+11=0．
（2）根据A（-2，-1）、B（4，3），可得AB的中点为C，即C（1，1），
由AB的斜率，可得AB的垂直平分线的斜率k，
所以线段AB的垂直平分线方程为y-1=（x-1），即3x+2y-5=0．
（3）①当直线过原点时，在两坐标轴上的截距相等，都为0，
此时直线的斜率k=，方程为y=x,即3x+2y=0；
②当直线不过原点时，
根据直线在两坐标轴上的截距相等，可知直线的斜率k=-1，
所以直线的方程为y-3=-（x+2），即x+y-1=0．
综上所述，满足条件的直线方程为3x+2y=0或x+y-1=0．
17.【答案】连接AC，由正方体可知AA1∥CC1，AA1=CC1，
所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，
因为A1C1 平面C1A1E，AC 平面C1A1E，所以AC∥平面C1A1E，
因为AC 平面ABCD，平面ABCD∩平面C1A1E=EF，
所以AC∥EF 1；
18.【答案】（1）证明：翻折前，因为AC⊥BC，AC∥EF，所以EF⊥BC，
翻折后，EF⊥FC，EF⊥PF，
因为PF∩FC=F，PF，FC 平面PFC，
所以EF⊥平面PFC，
又PC 平面PFC，
所以EF⊥PC．
（2）解：因为二面角P-EF-C是直二面角，
所以平面PEF⊥平面EFC，
又平面PEF∩平面EFC=EF，PF⊥EF，PF 平面PEF，
所以PF⊥平面EFC，
以F为原点，FE，FC，FP分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，0，），C（0，，0），E（，0，0），
所以=（0，，-），=（，-，0），
设平面PCE的法向量为，
则，即，
令z=1，得y=2，x=1，所以，
易知平面CEF的一个法向量为，
所以cos＜，＞===，
所以二面角P-CE-F的正弦值为=．
（3）解：分别以，的方向作为x,y轴的正方向，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设P（0，m,n），F（0，t,0），其中n＞0，
则D（-1，0，0），A（-2，0，0），E（t-2，t,0），
所以=（t,t,0），=（-1，-m,-n），
由PD⊥AE知，，解得m=-1，
所以P（0，-1，n），，
而|PE|=|BE|=（2-t），
所以（t-2）2+（t+1）2+n2=2（2-t）2，化简得n2=3-6t＞0，
解得，
易知平面ABC的一个法向量为，
设直线PE与平面ABC所成角为β，β∈（0，），
则，
所以，
设y=，t∈（0，），
令1-2t=a,则，且a∈（0，1），
所以，
因为函数在（0，1）上单调递减，且恒大于0，
所以函数在（0，1）上单调递增，所以，
所以，
而sinβ＞0，所以，
故直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围为．
19.【答案】解：（1）根据题意，平面α的法向量，平面β的法向量，所以，故m=-2；
（2）不妨设C≠0，在平面Ax+By+Cz+D=0内取一点，则向量，
取平面Ax+By+Cz+D=0的一个法向量，
所以点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为．
对于Q={（x,y,z）||x|+|y|+|z|=2}，
当x,y,z＞0时，x+y+z=2 表示经过（2，0，0），（0，2，0），（0，0，2）的平面在第一卦限的部分．
由对称性可知U表示（±2，0，0），（0，±2，0），（0，0，±2）这六个顶点形成的正八面体．
设内切球的半径为r,r即为原点O到平面x+y+z=2的距离，则，
所以内切球的表面积为；
（3）由（2）可知Q={（x,y,z）||x|+|y|+|z|=2}所围几何体是关于平面xOy,yOz,zOx对称的，其在第一卦限的形状为正三棱锥，
如图其中OA、OB、OD两两垂直，
且OA=OB=OD=2．
集合T={（x,y,z）||x|+|y|≤2，|y|+|z|≤2，|z|+|x|≤2}所表示的几何图形W也关于平面xOy,yOz,zOx对称，
其在第一卦限内的部分T′={（x,y,z）||x+y≤2，y+z≤2，z+x≤2}的图形如图1，
如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果．
所以T所构成的几何体W如图3所示．
其中正方体ABCD-LIJM记为集合P所构成的区域．
而E-ABCD构成了一个正四棱锥，且E到面ABCD的距离为1，
所以VP=2×2×2=8，，
所以几何体W的体积．
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