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2026-2027学年陕西省西安铁一中滨河高级中学高二（上）单元学情调查数学试卷（一）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.直线2x-3y+1=0的一个方向向量是（　　）
A. （2，-3） B. （2，3） C. （-3，2） D. （3，2）
2.设i为虚数单位，若（1-i）z=2i,则|z|=（　　）
A. B. 2 C. 2 D. 8
3.集合A={x|x2-（3+a）x+3a=0}，B={x|（x-1）（x-2）=0}，则A∩B一定不会等于（　　）
A. {3} B. {2} C. {1} D.
4.已知空间向量，若点C在平面PAB内，则k=（　　）
A. B. C. -1 D. 0
5.掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A=“朝上的面的点数为奇数”，事件B=“朝上的面的点数为5或6”，则下列说法正确的是（　　）
A. B. 事件A与事件B为对立事件
C. D. 事件A与事件B相互独立
6.已知函数f（x）=ax3+sinx+2，若f（2）=-1，则f（-2）=（　　）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 6
7.已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是（　　）
A. 1+ B. 4 C. 1+3 D. 7
8.已知椭圆C：，F1，F2为C的左、右焦点，P为C上的一个动点（异于左、右顶点），设△F1PF2的外接圆半径为R，内切圆半径为r,则R+r的最小值为（　　）
A. B. 1 C. D. 2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知直线l1：x+ay+1=0，l2：（a-1）x+y+a=0，则下列说法正确的是（　　）
A. 当a=1时，直线l1的倾斜角为135° B. 当l1⊥l2时，
C. 若l1∥l2，则a=-1 D. 直线l1始终过定点（-1，0）
10.函数的部分图象如图所示，则（　　）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C.
D.
11.在△ABC中，B=90°，，D，E分别是AB，AC中点，将△ADE沿DE折起至A′DE.设二面角A'-DE-B为θ，则（　　）
A. DE⊥A′B
B. 当θ=60°时，平面DEA'与平面BCA'的夹角为60°
C. 存在θ，使平面DEA'⊥平面BCA'
D. 存在θ，使
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.已知角α是第四象限角，且tanα=-，则sin2α= .
13.有一个五位数，各个位上数字的平均数为6，方差为，则这个五位数最大是 .
14.过圆C：x2+y2=1外一点P（x,y）作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，则的最小值为 .
15.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球分别相切于椭圆的两个焦点F1，F2.过椭圆上一点P作圆锥的母线，分别与两个球相切于点M，N，此时PN=PF1，PM=PF2.已知两个球的半径分为别1和3，椭圆的离心率为，则两个球的球心距离为 .
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知在某次飞行员选拔测试中，甲、乙、丙三人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙、丙能够通过测试的概率分别为，回答下列问题：
（1）求恰有1人通过测试的概率；
（2）求至少有2人通过测试的概率.
17.(本小题10分)
已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，将△ABC沿AC折起，得到如图所示的空间几何体P-ACD.
（1）经过P点的平面α∥平面ACD，平面α∩平面PAD=直线l,求证：l∥平面ACD；
（2）当平面APD⊥平面CPD时，求PD的长.
18.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边a,b,c分别为体积是的圆台的上、下底面半径和高.
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形且c=7，求△ABC面积的取值范围.
19.(本小题12分)
△ABC的三个顶点分别是A（4，0）、B（0，2）、C（3，1）.
（1）求边BC上的中线所在直线l的方程；
（2）求过点A、B，且圆心在直线2x-3y-9=0上的圆G的标准方程；
（3）求△ABC的外接圆方程.
20.(本小题13分)
已知椭圆C：=1（a＞b＞0），则称椭圆Cλ：=λ（λ＞0且λ≠1）是椭圆C的等比缩放椭圆．若椭圆C的短轴长为2，离心率为，椭圆Cλ是椭圆C的等比缩放椭圆，点P是椭圆Cλ上异于左、右顶点A，B的任意一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当λ=时，设直线PA与椭圆C交于点E，F，线段EF中点为G，直线PB与椭圆C交于点M，N，线段MN中点为H，证明：kOG kOH为定值．
21.(本小题15分)
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，AD=DC，AB⊥BC，PA=PC.
（1）证明：平面PBD⊥平面ABCD；
（2）若AC=4，，二面角P-AC-B的平面角为，
（i）求平面PAD与平面PBC的夹角的正弦值；
（ⅱ）设点E为四棱锥P-ABCD外接球面上的一点，求点E到平面PAD距离的最大值，并求此时点E的坐标.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】AB
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】86655
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：（1）甲、乙、丙三人各自能否通过测试相互独立，
甲、乙、丙能够通过测试的概率分别为，
记甲、乙、丙通过测试的事件分别为A，B，C，
则，
恰有1人通过测试的事件为：，
∴由独立事件的乘法公式及互斥事件的概率公式得恰有1人通过测试的概率为：
=
=．
（2）由（1）得至少有2人通过测试的事件为：，
∴由独立事件的乘法公式及互斥事件的概率公式得至少有2人通过测试的概率为：
=
=
=．
17.【答案】解：（1）证明：∵平面α∥平面ACD，平面α∩平面PAD=l,平面ACD∩平面PAD=AD，∴l∥AD，
又∵AD 平面ACD，l 平面ACD，∴l∥平面ACD；
（2）取PD中点F，连接CF，AF．
由于PA=AD，PC=CD，
∴AF⊥PD，CF⊥PD，
由二面角定义知∠AFC为平面APD与平面CPD所成的二面角的平面角，
当平面APD⊥平面CPD时，，
又∵，即，PA=PC=2，∴AC=2，
易得△APD≌△CPD，∴AF=CF，
在Rt△ACF中，由勾股定理可得，
在Rt△AFP中，由AP=2，得，
∴．
18.【答案】解：（1）圆台的上底面半径为a,下底面半径为b,高为c,
则该圆台的体积，
结合题意，可得，
化简得a2+b2+ab=c2+2ab,即a2+b2-c2=ab,
在△ABC中，由余弦定理得cosC==，
结合C∈（0，π），可得；
（2）在△ABC中，c=7，，
由正弦定理得，
所以，
根据△ABC为锐角三角形，且，
由，解得，即，
所以
=，
由，可得，
所以，
可得，
故，
因此△ABC的面积．
19.【答案】解：△ABC的三个顶点分别是A（4，0）、B（0，2）、C（3，1）．
（1）边BC的中点．中线l过A（4，0）与M，斜率，
故，即3x+5y-12=0．
（2）AB的中点为（2，1），AB的斜率为，故AB的垂直平分线方程为2x-y-3=0．
圆心G在直线2x-3y-9=0上，联立
解得G（0，-3）．半径，故圆G的标准方程为x2+（y+3）2=25．
（3）由（2）得圆心G（0，-3），又，
而A，B在圆G上，
故A，B，C三点均在圆G上，所以△ABC的外接圆就是圆G，方程为x2+（y+3）2=25．
20.【答案】（1）解：由题知，
解得，所以C的方程为．
所以椭圆的方程为，即．
（2）证明：由（1）得椭圆的方程为，
令y=0得x=±1，即A（-1，0），B（1，0）．
设点P（x0，y0），则，所以．
设，，
则，所以．
直线PA：y=k1（x+1），联立，
消y得．
设E（x1，y1），F（x2，y2），则，
所以，．
所以．
同理，，将代入得kOH=k1．
所以，所以得证．

21.【答案】解：（1）证明：如图所示，连接AC，取AC的中点为O，因为AB=BC，所以BO⊥AC，
又因为AD=DC，所以DO⊥AC，所以B，O，D三点共线，
即O=AC∩BD，所以AC⊥BD；
又因为PA=PC，O为AC中点，所以AC⊥PO，BD，PO 平面PBD，BD∩PO=O，
所以AC⊥平面PBD，
又因为AC 平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD；
（2）（i）因为PO⊥AC，BO⊥AC，则∠POB即为二面角P-AC-B的平面角，即，
因为AC=4，AB⊥BC，O为AC中点，所以BO=2，又因为，
在△POB中，由余弦定理得：
，
所以12=4+OP2+2OP，即OP2+2OP-8=0，因为OP＞0，所以OP=2．
因为BA=BC，BD=BD，DA=DC，所以△BAD≌△BCD，
又因为，则∠ABD=∠CBD=．
又因为AC=4，，BA=BC，所以，即，
记过点O且与平面ABCD垂直的直线为z轴，因为平面PBD⊥平面ABCD，
所以z轴在平面PBD内，再以OA，OB为x,y轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），D（0，-2，0）.，
设平面PAD的一个法向量为，，，
由，
令，则，z1=1，则，
设平面PBC的一个法向量为，，，
由，
令x2=1，则y2=-1，，则．
设平面PAD与平面PBC的夹角为θ，
则，
则，即平面PAD与平面PBC的夹角的正弦值为．
（ii）由上分析可知，OA=OB=OC=OD=OP=2，所以点O为四棱锥P-ABCD外接球的球心，且外接球半径为2．
因为，平面PAD的一个法向量为，
则点O到平面PAD的距离，
所以点E到平面PAD距离的最大值为，并且此时OE⊥平面PAD．
设E（x,y,z），所以有，且OE=2，则有x2+y2+z2=4①，，
令，即，，z=t,
代入①得：3t2+3t2+t2=4，即，所以或，
所以或．
当时，，
此时点E到平面PAD的距离为：，所以不符合题意，舍；
当，，
此时点E到平面PAD的距离为：，所以符合题意，
所以点E的坐标为．
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