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2026-2027学年上海市华东师范大学张江实验中学高二（上）阶段练习数学试卷（10月份）
一、单项选择题：本大题共4小题，共16分。
1.已知点A，B在直线l上，直线l 平面α，则“直线l//平面α”是“点A，B到平面α的距离相等”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知直线l与平面α相交，则下列命题中，正确的是（　　）
A. 平面α内的所有直线均与直线l异面 B. 平面α内存在与直线l垂直的直线
C. 平面α内存在直线与直线l平行 D. 平面α内所有直线均与直线l相交．
3.如图已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（　　）

A. 直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1
B. 直线A1D与直线D1B平行，直线MN∥平面ABCD
C. 直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD
D. 直线A1D与直线D1B垂直，直线MN⊥平面BDD1B1
4.以下命题中真命题的是（　　）
A. 所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B. 有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C. 侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D. 各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.若点A∈平面α，点B∈平面α，则直线AB 平面α.（填合适的符号）
6.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=2，O′B′=3，∠A'O'B'=45°，则原△AOB的面积为 .
7.小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：
①两条异面直线所成的角；
②直线与平面所成的角；
③二面角.
则上述各种“角”的取值范围是[0，π]的有 .（请填写序号）
8.设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题：
①若A∈l,A∈α，B∈l,B∈α，则l α；
②α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=AB；
③若l α，A∈l,则A α；
④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合.
其中假命题的序号是 .
9.在四面体ABCD中，AB=CD=2，E、F分别为边BC、AD的中点.若，则直线AB与CD所成的角的大小为 .
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=2，AA1=1，则二面角B1-AC-B的大小为 .
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,直线AA1到平面BB1D1D的距离为 .
12.将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积的增加值为 .
13.正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，N为线段AC的中点，M为线段DD1上一动点，则A1M+MN的最小值为 .
14.空间不共线的四个点可确定 个平面．
15.已知正六棱柱的每条棱长都为1，则该正六棱柱的体积为 .
16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1边长为2，点P为底面ABCD所在平面内的任意一点，则异面直线BD1与AP所成角的最小值为 .
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和C1D1的中点．
（1）证明：E，F，D，B四点共面；
（2）证明：BE，DF，CC1三线共点．
18.(本小题8分)
已知圆柱的底面面积是S，侧面展开图是一个正方形，求：
（1）用S表示该圆柱底面的半径：
（2）该圆柱的表面积和体积.
19.(本小题8分)
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AB，BC的中点.
（1）证明：直线A1E与B1F是异面直线；
（2）求异面直线A1E与B1F所成角.
20.(本小题10分)
如图几何体中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，求证：
（1）平面PDCE⊥平面PAD；
（2）平面BCE∥平面PAD.
21.(本小题14分)
如图1，在△ABC中，AB=BC=，∠BAC=30°，D是线段AC上一点，且BD⊥AB；将△BCD沿着BD翻折至△BPD，得到如图2所示的三棱锥P-ABD，记二面角P-BD-A的大小为α；
（1）求BD的长度；
（2）当α=时，求直线AP与平面ABD所成角的正切值；
（3）当时，在翻折的过程中：
①求点P的运动轨迹的长度；
②求线段AP长的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】
6.【答案】6
7.【答案】③
8.【答案】③
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】12a2
13.【答案】
14.【答案】一个或四个
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】证明：（1）如图，连接EF，BD，B1D1，
∵EF是△B1C1D1的中位线，∴EF∥B1D1，
∵BB1与DD1平行且相等，∴四边形BDD1B1是平行四边形，
∴BD∥B1D1，∴EF∥BD，
∴E，F，D，B四点共面；
（2）∵EF∥BD，且EF≠BD，∴直线BE和DF相交，
延长BE，DF，设它们相交于点P，
∵P∈直线BE，直线BE 平面BB1C1C，∴P∈平面BB1C1C，
∵P∈直线DF，直线DF 平面CDD1C1，∴P∈平面CDD1C1，
∵平面BB1C1C∩平面CDD1C1=CC1，∴P∈CC1，
∴BE，DF，CC1三线共点．
18.【答案】解：（1）设该圆柱底面的半径为R，圆柱的高为h,
则S=πR2，所以．
（2）圆柱的表面积为，
圆柱的体积为．
19.【答案】（1）证明：由题意知，B1F∩平面ABB1A1=B1，
因为A1E 平面ABB1A1，B1 A1E，
所以直线A1E与B1F是异面直线．
（2）解：取AD中点G，连接A1G，GE，GF，
因为F是BC中点，所以GF∥AB∥A1B1且GF=AB=A1B1，
所以四边形A1B1FG为平行四边形，
所以A1G∥B1F，
所以∠EA1G或其补角即为直线A1E与B1F所成角，
由勾股定理知，，，
在△A1GE中，由余弦定理得，，
所以∠EA1G=，
所以异面直线A1E与B1F所成角为．
20.【答案】证明：（1）因为四边形ABCD为正方形，所以AD⊥DC，
因为PD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PD⊥AD，
又PD∩DC=D，PD，DC 平面PDCE，
所以AD⊥平面PDCE，
而AD 平面PAD，
所以平面PDCE⊥平面PAD．
（2）因为四边形ABCD为正方形，所以AD∥BC，
又AD 平面PAD，BC 平面PAD，
所以BC∥平面PAD，
因为EC∥PD，PD 平面PAD，EC 平面PAD，
所以EC∥平面PAD，
又EC∩BC=C，EC，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面PAD．
21.【答案】；
（i）；（ⅱ）
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