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2026-2027学年重庆市璧山中学校高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在三棱锥O-ABC中，=（　　）
A. B. C. D.
2.已知直线l过A（1，2），B（m,2m-1）两点，且倾斜角为135°，则m=（　　）
A. 1 B. C. D. 2
3.已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
4.两直线的斜率分别是方程x2+2023x-1=0的两根，那么这两直线的位置关系是（　　）
A. 垂直 B. 斜交 C. 平行 D. 重合
5.若M（-1，2），N（4，3）两点到直线l：ax-y+1=0的距离相等，则a的值为（　　）
A. B. C. 1或 D. 1或
6.在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　　）
A. （2，3，3） B. （-2，-3，-3） C. （5，-2，1） D. （-5，2，-1）
7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AA1，AB=BC，AB⊥BC，E是侧棱CC1的中点，则下列直线中与直线BE垂直的是（　　）
A. AC B. A1C C. AB1 D. A1B
8.如图，正八面体ABCDEF由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为2，M，N分别为棱AD，AC的中点，则直线BN和FM夹角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列各选项中，不正确的是（　　）
A. 若A、B、C、D是空间任意四点，则有
B. 对于非零向量
C. 若共线，则AB∥CD
D. 对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x,y,z∈R），则P、A、B、C四点共面
10.已知直线l1：（m+1）x-y-2m+3=0，l2：2x-my-m+2=0，则下列说法正确的是（　　）
A. l1∥l2的充要条件为m=1或m=-2
B. 若l1⊥l2，则
C. 若直线l1不经过第四象限，则
D. 若m=2，则直线l2关于直线y=x+2对称的直线方程为x-y+4=0
11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2AA1=2，点M为侧面ADD1A1内一动点（包括边界），则下列说法正确的是（　　）
A. 存在点M，使BM∥平面B1CD1
B. 存在点M，使BM⊥平面A1C1D
C. 点M到直线B1C的距离的取值范围是
D. 若直线BM与直线B1C1所成角为θ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知m∈R，直线3x-y+3=0与直线6x+my+4=0互相平行，则它们之间的距离为 .
13.若，，是三个不共面的非零向量，=2，=-，，若向量，，共面，则λ= .
14.斜三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面ABB1A1，若，AC=BC=3，，在三棱柱ABC-A1B1C1内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱ABC-A1B1C1的高为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
△ABC中，顶点B（3，4），C（5，-3），AC边所在直线方程为x+y-2=0，AB边上的高所在直线方程为2x+3y-1=0.
（1）求AB边所在直线的方程；
（2）求AC边的中线所在直线的方程.
16.(本小题15分)
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=3，，∠A1AB=∠A1AD=45°，∠BAD=60°，设，，.
（1）用，，表示，，并求；
（2）若点P为线段AA1的中点，点Q为线段CC1的中点，判断点B，P，Q，D1四点是否共面并说明理由.
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AC=BC=CC1=2，D是AA1的中点，且∠ACB=90°，∠DAC=60°.
（1）证明：AA1⊥平面CBD；
（2）求直线AA1与平面BDC1所成角的正弦值.
18.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EF⊥PB．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：AC⊥DF；
（3）求平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值．
19.(本小题17分)
如图，将一块三角形的玉石ABO置于平面直角坐标系中，已知|AO|=|AB|=，|OB|=2，点P（a,b），图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点P的直线MN进行切割.
（1）若a=，b=1，
①求直线MN的斜率k的取值范围；
②是否存在直线MN，使得点B关于直线MN的对称点在y轴上？若存在，求出此时直线MN的一般方程，若不存在，请说明理由；
（2）若a=b=1，设玉石经切割后剩余部分的面积为S，求S的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】CD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】10
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为AB边上的高所在直线方程为2x+3y-1=0，其斜率为-，
所以AB边所在直线的斜率为，
又点B（3，4），
所以AB边所在直线的方程为y-4=（x-3），即3x-2y-1=0．
（2）由（1）知AB边所在直线的方程为3x-2y-1=0，
联立，解得，即A（1，1），
又C（5，-3），所以线段AC的中点坐标为（3，-1），
又B（3，4），
所以AC边的中线所在直线的方程为x-3=0．
16.【答案】解：（1）．
．
又因为，
，
，
所以=+
=59，
所以；
（2）点B、P、Q、D1四点共面，理由如下：
因为点P为线段AA1的中点，所以，
因为点Q为线段CC1的中点，所以，
由（1）得，
若点B、P、Q、D1四点共面，
则存在唯一实数x、y,使得，
所以，
所以，解得，
所以，所以点B、P、Q、D1四点共面．
17.【答案】解：（1）证明：连接A1C，AC=CC1=AA1，∠DAC=60°，
所以△A1AC为正三角形，D是AA1的中点，
所以CD⊥AA1，
平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，
因为∠ACB=90°，BC⊥AC，
BC 平面ABC，
所以BC⊥平面ACC1A1，
AA1 平面ACC1A1，则BC⊥AA1，
CD∩BC=C，CD 平面CBD，BC 平面CBD，
所以AA1⊥平面CBD．
（2）取A1C1的中点E，连接CE，
△A1CC1为正三角形，所以CE⊥A1C1，
AC∥A1C1，CE⊥AC，
平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，
所以CE⊥平面ABC，
建立如图所示直角坐标系C-xyz,
B（2，0，0），A（0，-2，0），，，，
设面BDC1的法向量为，
，，
，即，
取，z=-5，，
，，
设直线AA1与平面BDC1所成角为θ，
则．
18.【答案】证明：（1）连接AC交BD于点G，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，∴点G是AC的中点，
又∵E为PC的中点，因此EG∥PA．
而EG 平面EDB，所以PA∥平面EDB．
（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵PD⊥底面ABCD，AC 底面ABCD，∴AC⊥PD．
而PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
又DF 平面PBD，所以AC⊥DF．
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则有D（0，0，0），P（0，0，1），
A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），所以E（0，，）．
设F（k，k，l），（kl≠0），则=（k，k-，l-），=（1，1，-1）．
由EF⊥PB，得=0，即，
即l=2k，故F（k，k，2k）．
设平面DEF的一个法向量=（x，y，z），
由，得，解得，取=（-1，-1，1），
又=（0，0，1）是底面ABCD的一个法向量，
∴===，
故平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值为．
19.【答案】解：（1）若，b=1，则，
①由图可知，点A在第一象限，设点A（m,n），
由于，|OB|=2，则B（2，0），
因此，解得，即点A（1，2），
由题图可知，当直线MN过点O时，直线MN倾斜角最小，
当直线MN过点A时，直线MN倾斜角最大，
又，，
由图形可得或kMN≤-4，
所以直线MN斜率k∈；
②假设存在直线MN，使得点B关于直线MN的对称点在y轴上，设其为B′（0，t），
直线MN的斜率显然存在，设直线MN为，
又因为B（2，0），所以B′B的中点，
所以，即k+2t-4=0，
又B′B⊥MN，因此，所以kt=2，所以，
因此，所以k2-4k+4=0，解得k=2，又，
因此存在直线MN，使得点B关于直线MN的对称点在y轴上，
此时直线MN的方程为，即4x-2y-3=0；
（2）若a=b=1，则P（1，1），因为，
又PA⊥x,因此kMN≥1．
当MN⊥x轴时，此时，MN为线段OB的垂直平分线，
此时；
当直线MN的斜率存在时，设直线MN为y-1=k（x-1），
即y=kx+1-k,其中k≥1，
直线AB的方程为y=-2（x-2），即y=-2x+4，
联立，可得，即点，
联立，可得，即点，
所以，
所以，
因为k≥1，则k2+2k≥3，所以，
综上所述，S的取值范围是
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