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2026 级高一年级 10 月阶段性测试
数 学 试 题
（考试时间：120 分钟　试卷满分：150 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“，”的否定是（　）
A． B．
C． D．
2．已知集合 ，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为（　）
A． B． C． D．
3．已知 ，且 ，，，则（　）
A． B． C． D．
4．若 是实数，则“”是“”的（　）
A．充分条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．若 ，，则 的取值范围是（　）
A． B． C． D．
6．设 、 是实数，集合 ，，若 ，则 的值为
（　）
A． B．0 C．2 D．4
7．命题“，”为假命题，则实数 的取值范围是（　）
A． B． C． D．
8．已知 ，，，则 的最小值为（　）
A． B． C．8 D．11
第 1 页 共 4 页
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．集合 ，，若 ，则符合条件的实数 可能为（　）
A． B． C． D．0
10．已知正实数 ， 满足 ，则下列结论正确的是（　）
A． 的最大值为 1 B． 的最小值为 4
C． 的最小值为 D． 的最小值为
11．已知非空集合 ，若对 ，都有 ， 成立，则称集合 是封闭集.下列说法中正确的是（　）
A．集合 是封闭集
B．若集合 是封闭集，则 也是封闭集
C．若集合 ， 为封闭集，且 ，则 也是封闭集
D．若集合 ， 为封闭集，且 ，则 也是封闭集
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知正实数 、 满足 ，则 的最大值为______.
13．集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范围是______.
14．若关于 的不等式 恰有两个正整数解，则 的取值范围是
____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知全集为 ，集合 .
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)若 ，且 ，求 的取值范围.
第 2 页 共 4 页
16．（15 分）
已知命题 ：方程 ， 有实数根.
(1)若 是假命题，求正实数 的取值集合 ；
(2)在（1）的条件下，已知非空集合 ，请问是否存在实数 ，使得若 是 的必要不充分条件，若存在，求 的取值范围.若不存在，请说明理由.
17．（15 分）
某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为 的花园．图中阴影部分是宽度为 的小路，中间 三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中 区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为 ，鲜花种植的总面积为 ．
(1)用含有 的代数式表示 ；
(2)当 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？
第 3 页 共 4 页
18．（17 分）
已知关于 不等式 .
(1)若 时，求不等式的解集；
(2)若 ，解这个关于 的不等式.
19．（17 分）
问题：已知 ，， 均为正实数，且 ，求证：.
证明：，当且仅当 时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题：
(1)已知 ，， 均为正实数，且 ，求 的最小值；
(2)已知 ，，， 均为正实数，且 ，求证：；
(3)求 的最大值，并求出使得 取得最大值时 的值.
2026 级高一十月阶段性考试参考答案
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D A D C B C A A
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9 10 11
ABD AD AD
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
解析：（1）.（2 分）
所以 .（4 分）
（2）因为 ，
所以 ，（6 分）
所以 或 （8 分）
（3）因为 ，
所以 或
因为 ，且 ，
所以 或 ，（10 分）
解得： 或 .
即 的取值范围 或 （13 分）
16．（15 分）
解析：（1）因为 是假命题，所以 是真命题，即方程 ， 有实数根，（2 分）
所以 ，即 （5 分）
（2）存在，理由如下：（6 分）
若 是 的必要不充分条件，则 是 的真子集，（8 分）
所以 ，（13 分）
解之得 ，即满足题意的 的取值范围为 .（15 分）
17．（15 分）
解析：（1）设矩形花园的长为 ，因为矩形花园的总面积为 ，
所以 ，可得 ，（2 分）
又 ，，则 ，（3 分）
又因为阴影部分是宽度为 的小路，可得 ， （4 分）
可得 ，即 关于 的关系式为 .（6 分）
（2）由（1）知，，，
则 （8 分）
， （12 分）
当且仅当 时，即 时，等号成立，（14 分）
所以当 时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为 .（15 分）
18．（17 分）
解析：（1）当 时，则 ，
即 ，因式分解可得：，（2 分）
所以 ，则不等式的解集为 （4 分）
（2）当 时，则 为 ，即 ，
此时不等式的解集为 （6 分）
当 时，则 ，
因式分解可得：，（8 分）
当 时，有 ，则此时不等式解集为 （10 分）
当 时， 等价于 ，
若 ，即 时，不等式解集为 （12 分）
若 ，即 时，不等式解集为 （14 分）
若 ，即 时，不等式解集为 （16 分）
综上，当 时，不等式的解集为
当 时，不等式解集为
当 时，不等式解集为
当 时，不等式解集为
当 时，不等式解集为 （17 分）
19．（17 分）
解析：（1）由 、、 均为正实数，且 ，
所以
（1 分）
（3 分）
当且仅当 ，， 时，即当 ，， 时等号成立，（4 分）
所以 的最小值为 9.（5 分）
（2）证明：
因为 、、、 均为正实数，且 ，
则 ，
（8 分）
当且仅当 ，即 时等号成立，（9 分）
所以 （10 分）
（3）因为 ，
则 解得 ，（11 分）
令 ，，则 ，即 ，（13 分）
由(2)可知，，，所以 ，（14 分）
当且仅当 时等号成立，即 ，（15 分）
当且仅当 ，即 时等号成立，（16 分）
因为 ，所以 ，
即 的最大值为 ，此时 .（17 分）

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