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3.2《探索三角形相似的条件》同步分层练习（一）·北师大版九年级上册
3.2《探索三角形相似的条件》同步分层练习（一）
北师大版·九年级上册　第三章　图形的相似
班级：____________　姓名：____________　学号：__________　得分：__________
本练习共 19 小题，满分 100 分，建议用时 60 分钟。选择题、填空题的答案写在题后括号或横线上，解答题写出必要的解答过程。
一、基础巩固（共 40 分）
（一）选择题（每小题 3 分，共 18 分）
1．下列条件中，能判定△ABC ∽ △DEF 的是（　　）
A．∠A = ∠D，∠B = ∠E　　 B．∠A = ∠B，∠D = ∠E
C．AB = DE，∠A = ∠D　 　D．AB = DE，BC = EF
2．在△ABC 和△DEF 中，∠B = ∠E，AB = 6，BC = 8，DE = 4。要使△ABC ∽ △DEF，则 EF 的长为（　　）
A．2　 　B．3　 　C．　 　D．12
3．若△ABC 的三边长分别为 3、5、6，则下列各组数中，能与△ABC 组成相似三角形三边长的是（　　）
A．6，10，12　　 B．1，3，4 　　C．2，4，5 　　D．9，15，21
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．两个直角三角形一定相似　　 B．两个等腰三角形一定相似
C．两个等边三角形一定相似　　 D．两个矩形一定相似
5．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，则下列条件中不能判定△ADE ∽ △ABC 的是（　　）
A．∠ADE = ∠B　 　B．∠AED = ∠C
C．　　 D．
6．下列说法中，错误的是（　　）
A．两个全等三角形一定相似　 　B．相似三角形的对应角相等
C．相似三角形对应边的比叫作相似比　　 D．两个相似三角形一定全等
（二）填空题（每小题 3 分，共 9 分）
7．如图， ，且 ， ，则 的面积是__________。
8．已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC > BC），且 AB = 10，则 AC 的长为__________（结果保留根号）。
9．如图，在△ABC 中，DE ∥ BC，AD = 3，DB = 2，AE = 4，则 EC 的长为__________。
（三）解答题（共 13 分）
10．（13 分）如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，连接 CD，且∠ACD = ∠B。
（1）求证：△ACD ∽ △ABC；（6 分）
（2）若 AD = 4，AC = 6，求 AB 的长。（7 分）
二、综合运用（共 40 分）
（一）选择题（每小题 4 分，共 8 分）
11．如图，点 O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的相似比为（　　）
A．1∶2　 　B．1∶3 　　C．1∶4　　 D．2∶1
12．如图，点 P 是△ABC 的边 AB 上一点，连接 CP，则下列条件中不能判定△ACP ∽ △ABC 的是（　　）
A．∠ACP = ∠B　 　B．∠APC = ∠ACB
C．　　 D．
（二）填空题（每小题 4 分，共 12 分）
13．如图，在△ABC 中，AB = 6 cm，AC = 8 cm，AD = 2 cm，点 E 在边 AC 上。若△ADE 与△ABC 相似，则 AE 的长为__________ cm。
14．在△ABC 和△DEF 中，已知 AB = 4 cm，BC = 6 cm，AC = 8 cm，DE = 2 cm，EF = 3 cm。当 DF = __________ cm 时，△ABC ∽ △DEF。
15．如图，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A、B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 C、D 两点之间的距离为__________ cm（结果保留根号）。
（三）解答题（共 20 分）
16．（10 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，且 CF = CD。
（1）求证：△ABE ∽ △ECF；（5 分）
（2）若正方形 ABCD 的边长为 4，求 EF 的长。（5 分）
17．（10 分）如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB 于点 D。
（1）求证：△ACD ∽ △CBD；（5 分）
（2）若 AD = 4，BD = 9，求 CD 的长。（5 分）
三、拓展探究（共 20 分）
18．（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB ⊥ BC，CD ⊥ BC，AE ⊥ DE，垂足分别为 B、C、E，且点 E 在边 BC 上。
（1）求证：△ABE ∽ △ECD；（4 分）
（2）若 AB = 3，BE = 4，CE = 6，求 CD 的长。（4 分）
19．（12 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10 cm，BC = 8 cm。点 P 从点 C 出发，沿 CA 以 2 cm/s 的速度向点 A 匀速运动；同时点 Q 从点 B 出发，沿 BC 以 1 cm/s 的速度向点 C 匀速运动。当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。
（1）用含 t 的代数式分别表示 PC、CQ 的长；（4 分）
（2）经过多少秒，△PCQ 与△ABC 相似？（8 分）
参考答案与解析
一、基础巩固
1．A　解析：判定两个三角形相似，至少要有一组对应角相等或三边成比例。A 中 ∠A = ∠D、∠B = ∠E，满足“两角分别相等”，能判定；B 中 ∠A = ∠B、∠D = ∠E 是两个三角形内部的角相等，不能说明对应角相等；C 中只有一组边相等和一组角相等，条件不足；D 中只有两组边相等，缺少角的条件。故选 A。
2．C　解析：由“两边成比例且夹角相等”判定：∠B = ∠E，且 ，即 ，解得 EF = 。故选 C。
3．A　解析：△ABC 三边之比为 3∶5∶6。A 中 6∶10∶12 = 3∶5∶6，相似；B 中 1∶3∶4 与 3∶5∶6 的比不相等；C 中 2∶4∶5 与 3∶5∶6 的比不相等；D 中 9∶15∶21 = 3∶5∶7，不相似。故选 A。
4．C　解析：两个等边三角形的三个角都是 60°（对应角相等），三边对应成比例，一定相似；两个直角三角形、两个等腰三角形、两个矩形的对应角或对应边不一定满足相似条件。故选 C。
5．D　解析：A、B 各给出一组对应角相等，加上公共角 ∠A，可用“两角分别相等”判定；C 中 AD 与 AB、AE 与 AC 成比例，夹角是公共角 ∠A，可用“两边成比例且夹角相等”判定；D 中 AD 与 AB 成比例、DE 与 BC 成比例，但 ∠A 不是它们的夹角，不能判定。故选 D。
6．D　解析：全等三角形是相似比为 1 的特殊相似三角形，A 正确；相似三角形的对应角相等、对应边成比例，其对应边的比叫作相似比，B、C 正确；两个相似三角形只有在相似比为 1 时才全等，D 错误。故选 D。
7．24　解析： ， ， 与 的相似比为 ， 与 的面积比为 ， ，。
8．5( 1)　解析：AC = × AB = × 10 = 5()。（也可写成 5 5）
9．　解析：∵ DE ∥ BC，∴ △ADE ∽ △ABC，∴ ，即 ，解得 AC = ，∴ EC = AC AE = 4 = 。
10．（1）证明：∵ ∠A = ∠A（公共角），∠ACD = ∠B，∴ △ACD ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。（6 分）
（2）解：∵ △ACD ∽ △ABC，∴ 。∵ AD = 4，AC = 6，∴ ，解得 AB = 9。（7 分）
二、综合运用
11．A　解析：∵ D、E 分别是 OA、OB 的中点，∴ DE ∥ AB 且 DE = AB。同理 EF = BC，DF = AC，∴ ，∴ △DEF ∽ △ABC（三边成比例），相似比为 1∶2。故选 A。
12．D　解析：A、B 用“两角分别相等”（∠A 是公共角）可判定；C 中 即 ，∠A 是这两组边的夹角，用“两边成比例且夹角相等”可判定；D 中 AC、CP 与 AB、BC 虽成比例，但它们所夹的角分别是 ∠C 与 ∠B，一般不相等，不能判定。故选 D。
13． 或 　解析：对应关系不确定，需分类讨论。①当 △ADE ∽ △ABC 时，，即 ，AE = ；②当 △ADE ∽ △ACB 时，，即 ，AE = 。所以 AE = cm 或 cm。
14．4　解析：，，即 AB∶DE = BC∶EF = 2∶1。要使 △ABC ∽ △DEF，还需 AC∶DF = 2∶1，故 DF = （cm）。
15．80( 2)　解析：∵ C 是靠近点 B 的黄金分割点（AC > BC），∴ AC = × 80 = 40()（cm），BC = 80 40() = 120 40（cm）。∵ D 是靠近点 A 的黄金分割点（BD > AD），∴ BD = 40()（cm），AD = BC = 120 40（cm）。∴ C、D 两点之间的距离 CD = AC AD = 40() (120 40) = 80 160 = 80()（cm）。
16．（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，边长为 4，∴ AB = BC = CD = 4，∠B = ∠C = 90°。∵ E 是 BC 的中点，∴ BE = EC = 2。∵ CF = CD = 1，∴ ，，∴ 。∴ △ABE ∽ △ECF（两边成比例且夹角相等）。（5 分）
（2）解：在 Rt△ABE 中，AE = 。∵ △ABE ∽ △ECF，∴ ，∴ EF = 。（5 分）
17．（1）证明：∵ CD ⊥ AB，∴ ∠ADC = ∠CDB = 90°。∵ ∠ACB = 90°，∴ ∠A + ∠B = 90°；又 ∠A + ∠ACD = 90°，∴ ∠ACD = ∠B。∴ △ACD ∽ △CBD（两角分别相等）。（5 分）
（2）解：∵ △ACD ∽ △CBD，∴ ，∴ ，∴ CD = 6。（5 分）
三、拓展探究
18．（1）证明：∵ AB ⊥ BC，CD ⊥ BC，∴ ∠B = ∠C = 90°。∵ AE ⊥ DE，∴ ∠AED = 90°，∴ ∠AEB + ∠DEC = 90°。在 Rt△ABE 中，∠AEB + ∠BAE = 90°，∴ ∠BAE = ∠DEC。∴ △ABE ∽ △ECD（两角分别相等）。（4 分）
（2）解：∵ △ABE ∽ △ECD，∴ ，即 ，∴ CD = 8。（4 分）
19．（1）解：PC = 2t cm，CQ = (8 t) cm。（4 分）
（2）解：分两种情况。①当 △PCQ ∽ △ACB 时，，即 ，解得 t = ；②当 △PCQ ∽ △BCA 时，，即 ，解得 t = 。
∵ 点 P 到达终点用时 5 s，点 Q 到达终点用时 8 s，运动在 0 < t ≤ 5 内进行，而 ≈ 3.1， ≈ 2.3，均符合要求。
答：经过 s 或 s，△PCQ 与 △ABC 相似。（8 分）
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