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3.2《探索三角形相似的条件》同步分层练习（二）·北师大版九年级上册
3.2《探索三角形相似的条件》同步分层练习（二）
北师大版·九年级上册　第三章　图形的相似
班级：____________　姓名：____________　学号：__________　得分：__________
本练习共 19 小题，满分 100 分，建议用时 60 分钟。选择题、填空题的答案写在题后括号或横线上，解答题写出必要的解答过程。
一、基础巩固（共 40 分）
（一）选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．已知△ABC 的三边长分别为 12 cm、15 cm、18 cm，△DEF 的一边长为 4 cm，当△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（　　）
A．2 cm，3 cm　 　B．4 cm，5 cm　 　C．5 cm，6 cm　 　D．6 cm，7 cm
2．如图，点 D、E 分别在△ABC 的边 AB、AC 上，则下列条件中能判定△ADE ∽ △ACB 的是（　　）
A．　 　B．
C．　　 D．
3．如图，在锐角△ABC 中，BE 是 AC 边上的高，CD 是 AB 边上的高，BE 与 CD 相交于点 O，则图中与△BOD 相似的三角形有（　　）
A．4 个　 　B．3 个 　　C．2 个　 　D．1 个
4．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，添加下列条件后，仍不能判定△ADE 与△ABC 相似的是（　　）
A．∠ADE = ∠C　　 B．∠AED = ∠B
C．　　 D．
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB 于点 D。下列结论中正确的是（　　）
A．　　 B．
C．　　 D．
（二）填空题（每小题 3 分，共 12 分）
6．如图，在梯形 ABCD 中，AD ∥ BC，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，则图中与△AOD 相似的三角形是__________。
7．已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC > BC），且 AB = 2，则 AC 的长为__________（结果保留根号）。
8．宽与长的比是 的矩形叫作黄金矩形。若一个黄金矩形的宽为 2，则它的长为__________（结果保留根号）。
9．如图，点 P 是△ABC 的边 AB 上一点，连接 CP。请你补充一个条件：__________，使△ACP ∽ △ABC（写出一个即可）。
（三）解答题（共 13 分）
10．（13 分）如图（1）， 和 都是等边三角形，连接 ， ．求证： ．（5分）
如图（2）， 和 都是等腰直角三角形， ．连接 ， ．请直接写出 的值．（4分）
如图（3）， 和 都是直角三角形， ，且 ，求 的值．（4分）
二、综合运用（共 40 分）
（一）选择题（每小题 4 分，共 8 分）
11．如图，∠ACB = ∠CBD = 90°，AC = 8 cm，CB = 2 cm，当 BD 的长为（　　）时，图中的两个直角三角形相似。
A． cm　　 B．8 cm　 　C． cm 或 8 cm　 　D．2 cm
12．定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”。如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD，CB = CD，下列条件能使四边形 ABCD 成为“全相似四边形”的是（　　）
A．∠A = 90°　 　B．∠B = 90°　 　C．∠C = 90°　　 D．∠D = 60°
（二）填空题（每小题 4 分，共 12 分）
13．已知线段 AB = 4，点 C 是线段 AB 的黄金分割点，则 AC 的长为__________（结果保留根号）。
14．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别是边 AB、AC 上的点，且 DE ∥ BC。若 AD = 2，DB = 3，DE = 4，则 BC 的长为__________。
15．在△ABC 和△A′B′C′ 中，∠A = ∠A′ = 90°，AB = 4，AC = 3，A′B′ = 8。当 A′C′ = __________ 时，△ABC ∽ △A′B′C′。
（三）解答题（共 20 分）
16．（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AB 的中点，EC 与 BD 相交于点 F。
（1）求证：△BEF ∽ △DCF；（5 分）
（2）若 DB = 6，求 BF 的长。（5 分）
17．（10 分）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、AB 上，且 AE·AB = AD·AC，连接 DE。
（1）求证：△ADE ∽ △ABC；（5 分）
（2）若点 E 为 AB 的中点，AD∶AE = 2∶3，AB = 12，求 CD 的长。（5 分）
三、拓展探究（共 20 分）
18．（10 分）阅读与理解：宽与长的比是 的矩形叫作黄金矩形。如图（1），已知矩形 ABCD 是黄金矩形，AB 是它的宽（AB < BC），且 AB = 。
（1）求矩形 ABCD 的长 BC；（5 分）
（2）如图（2），在矩形 ABCD 中，以 AB 为边作正方形 ABEF（点 E 在 BC 上，点 F 在 AD 上），剩下的矩形 DCEF 是否也是黄金矩形？请说明理由。（5 分）
19．（10 分）如图，在△ABC 中，AB = AC = 20，∠A = 36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D。
（1）求证：△ABC ∽ △BCD；（4 分）
（2）求证：点 D 是 AC 的黄金分割点，并求 AD 的长。（6 分）
参考答案与解析
一、基础巩固
1．C　解析：△ABC 三边之比为 12∶15∶18 = 4∶5∶6。若 4 cm 对应 12 cm，则相似比为 1∶3，另两边分别为 15 ÷ 3 = 5（cm）、18 ÷ 3 = 6（cm）。故选 C。
2．D　解析：要判定 △ADE ∽ △ACB，对应边为 AD AC、AE AB，需 且夹角 ∠A 相等，即 。故选 D。
3．B　解析：∵ CD ⊥ AB，BE ⊥ AC，∴ ∠BDO = ∠BEA = ∠CEO = ∠CDA = 90°。①△BOD ∽ △BAE（∠B 为公共角）；②△BOD ∽ △COE（∠BOD = ∠COE，对顶角相等）；③△BOD ∽ △CAD（∠BOD = 90° ∠B = ∠A）。共 3 个。故选 B。
4．D　解析：A 中对应关系为 A A、D C、E B，满足“两角分别相等”，相似；B 同理相似；C 中 与公共角 ∠A 构成“两边成比例且夹角相等”，相似；D 中 AD 与 AB、DE 与 BC 虽成比例，但它们所夹的角分别是 ∠ADE 与 ∠ABC，一般不相等，不能判定。故选 D。
5．A　解析：△ACD ∽ △ABC，得 ，∴ ，A 正确。在 Rt△ABC 的“母子型”中 ，而 ，故 B、C 均把对应关系写错；D 不成立。故选 A。
6．△COB　解析：∵ AD ∥ BC，∴ ∠ADO = ∠CBO，∠DAO = ∠BCO（两直线平行，内错角相等），∴ △AOD ∽ △COB。
7． 1　解析：AC = × AB = × 2 = 。
8． + 1　解析：设长为 x，则 ，解得 x = 。
9．∠ACP = ∠B（答案不唯一，也可填 ∠APC = ∠ACB，或 ）　解析：△ACP 与 △ABC 已有公共角 ∠A。若添 ∠ACP = ∠B（或 ∠APC = ∠ACB），可用“两角分别相等”判定；若添 ，即 ，可用“两边成比例且夹角相等”判定。
10．（1）证明： 和 都是等边三角形， ， ， ， ，即 ． ，；（5 分）
（2）解： 和 都是等腰直角三角形， ，
， ， ， ，
， ，即 ， ， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得， ， ；（4 分）
（3）解：如图3， ，且 ， ， ， ，
设 中， ， ，由勾股定理得 ， ，
同理： ， ， ， ．（4 分）
二、综合运用
11．C　解析：两个直角三角形相似需分两种情况讨论（对应关系不确定）。①当 时，△ACB ∽ △CBD，即 ，∴ BD = ；②当 时，△ACB ∽ △DBC，即 ，∴ BD = 8。所以 BD = cm 或 8 cm。故选 C。
12．B　解析：设对角线 AC、BD 相交于点 O。∵ AB = AD，CB = CD，∴ AC 是 BD 的垂直平分线，AC ⊥ BD 于点 O，BO = DO，且 △AOB ≌ △AOD，△COB ≌ △COD，故只需 △AOB ∽ △BOC 即可。若 ∠ABC = 90°，则 BO ⊥ AC，∠AOB = ∠BOC = 90°；又 ∠ABO + ∠OBC = 90°，∠BCO + ∠OBC = 90°，∴ ∠ABO = ∠BCO，∴ △AOB ∽ △BOC（两角分别相等）。于是四个小三角形都相似，四边形 ABCD 是“全相似四边形”。故选 B。
13．2(√5 1) 或 6 2√5　解析：一条线段有两个黄金分割点，需分类讨论。①当 AC > BC 时，AC = × 4 = 2()；②当 AC < BC 时，BC = 2()，AC = 4 2() = 6 2。所以 AC = 2() 或 6 2。
14．10　解析：∵ DE ∥ BC，∴ △ADE ∽ △ABC，∴ ，∴ BC = 4 ÷ = 10。
15．6　解析：∠A = ∠A′ = 90°，要使 △ABC ∽ △A′B′C′，只需 ，即 ，∴ A′C′ = 6。
16．（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD，即 BE ∥ CD，∴ ∠BEF = ∠DCF，∠EBF = ∠CDF，∴ △BEF ∽ △DCF（两角分别相等）。（5 分）
（2）解：∵ E 是 AB 的中点，∴ BE = AB = CD。∵ △BEF ∽ △DCF，∴ ，∴ BF = DB = × 6 = 2。（5 分）
17．（1）证明：∵ ，∴ 。又 ∠A = ∠A，∴ △ADE ∽ △ABC（两边成比例且夹角相等）。（5 分）
（2）解：∵ E 为 AB 的中点，AB = 12，∴ AE = 6。∵ AD∶AE = 2∶3，∴ AD = 4。∵ △ADE ∽ △ABC，∴ ，即 ，∴ AC = 18。∴ CD = AC AD = 18 4 = 14。（5 分）
三、拓展探究
18．（1）解：∵ 矩形 ABCD 是黄金矩形，AB 是它的宽，∴ 。∵ AB = ，∴ BC = 。（5 分）
（2）解：矩形 DCEF 也是黄金矩形。理由：由（1）知 BC = 。∵ 四边形 ABEF 是正方形，∴ BE = AB = ，CE = BC BE = = 。又 DC = AB = ，∴ 矩形 DCEF 的长与宽的比为 。而黄金矩形长与宽的比为 ，∴ 矩形 DCEF 也是黄金矩形。（5 分）
19．（1）证明：∵ AB = AC，∠A = 36°，∴ ∠ABC = ∠C = = 72°。∵ BD 平分 ∠ABC，∴ ∠ABD = ∠DBC = 36°。在 △ABC 和 △BCD 中，∠A = ∠DBC = 36°，∠C = ∠C，∴ △ABC ∽ △BCD（两角分别相等）。（4 分）
（2）证明：由（1）△ABC ∽ △BCD，得 ，即 。∵ ∠A = ∠ABD = 36°，∴ AD = BD。又 ∠BDC = 180° 36° 72° = 72° = ∠C，∴ BD = BC，∴ AD = BC。∴ ，即 ，∴ 点 D 是 AC 的黄金分割点（AD > CD）。求 AD：。（6 分）
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