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第32章锐角三角函数单元质量检测卷拔尖卷人教版2026—2027学年九年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
考卷信息:
本卷试题共20题，单选10题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度!
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
1． 在中，，则（　　）
A． B． C． D．1
2．已知在中，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（　　）
A． B． C． D．3
4．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）.上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（　　）
A．50sin24°米 B．50cos24°米 C．米 D．米
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5，AC=3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点、，与交于点O，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．2
7．在 Rt△ABC 中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A 的三角函数值(　　)
A．都扩大为原来的2倍 B．都扩大为原来的4倍
C．都不变 D．不能确定
8．已知 且α是锐角，则α的度数是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．不确定
9．如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为，点A、B、C、D都在格点上，且线段、相交于点，则为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11． 若∠A为锐角，且满足，则∠A的度数为　 　.
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AC中点，连接BD，过点D作DE⊥BD交AB于点E，若BE=3AE，则tanA的值为　 　.
13．如图，一次校园活动中无人机进行测量工作，当无人机上升到达点时，地面处的测量仪测得长6米，仰角为，．无人机直线上升到达点处，地面处的测量仪测得仰角为，点，，在同一直线上，已知，两处相距米，则的距离为　 　米．
14．如图，在中，．若，，则　 　．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．计算：；
16．在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是BC边上的中线，tan∠BAD=1，DE是△ADC的高线.
（1）求cosC的值.
（2）求AE的长.
17．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩，如图，在侧面示意图中，遮阳篷 AB 长为 5米，与水平面的夹角为 16°，且靠墙端离地高 BC为4.4米，当太阳光线 AD 与地面 CE的夹角为 45°时.
（1）求遮阳篷边缘点 A到墙体 BC的距离；
（2） 求阴影 CD的长.
（结果精确到 0.1米.参考数据：
18．如图，已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，．
（1）求证：；
（2）求的值；
19．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．
（1）求证：CA=CN；
（2）连接DF，若cos∠DFA= ，AN=2 ，求圆O的直径的长度．
20．如图，在△ABC中，点O为AC上的点，OA=OC=3，OB=4，连接AB、BC，AB=BC，点P、Q分别为AB、BC上的点，BP=CQ，连接PQ。
（1）尺规作图：在AC上找一点E，连接PE、BE使得∠APE=∠CBE。（保留作图痕迹，并证明点E是如何找到的）
（2）在（1）的条件下，点R在AC下方BC的延长线上，点R与AC的距离为，连接AQ交BE于点F，连接PF交BO的延长线于点M，连接QM、MR，若求△BPM的面积。
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】D
10．【答案】A
11．【答案】30°
12．【答案】
13．【答案】4.4
14．【答案】
15．【答案】解：
=1+1-3+3-2×
=1+1-3+3-1
=1．
16．【答案】（1）解：∵∠B=90°，AB=2，tan∠BAD=1，
∴在Rt△ABD中，BD=AB·tan∠BAD=2
∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD=2，BC=2BD=4
在Rt△ABC中，
∴
（2）解：∵DE是△ADC的高线，
∴在Rt△CDE中，
∴
17．【答案】（1）解：过点 A作 AF⊥BC， 垂足为 F，
在 Rt△ABF中， ∠BAF=16°， AB=5米，
（米)，
∴遮阳篷边缘点 A到墙体 BC的距离约为 4.8米；
（2）解：过点 A作 AG⊥CE， 垂足为 G，
由题意得： AF=CG=4.8米， CF=AG，
在 Rt△ABF中， ∠BAF=16°， AB=5米，
（米)，
∵BC=4.4米，
∴CF=AG=BC-BF=4.4-1.4=3 （米) ，
在 Rt△ADG中，.
（米) ，
∴CD=CG-DG=4.8-3=1.8 （米) ，
∴阴影 CD的长约为 1.8米.
18．【答案】（1）证明：∵，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
由勾股定理得，
∴，
∴．
19．【答案】解：（1）连接OF，则∠OAF=∠OFA，如图所示．
∵ME与⊙O相切，∴OF⊥ME．∵CD⊥AB，∴∠M+∠FOH=180°．
∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°，∴∠M=2∠OAF．
∵ME∥AC，∴∠M=∠C=2∠OAF．
∵CD⊥AB，∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，∴∠ANC=90°﹣∠OAF，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF，∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC，∴CA=CN．
（2）连接OC，如图2所示．
∵cos∠DFA=，∠DFA=∠ACH，∴=．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．
设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=，∴圆O的直径的长度为2r=．
20．【答案】（1）解：如图所示，连接AQ，以A、Q为圆心，大于的AQ为半径画弧，连接交点交AQ于点F，连接BF交AC于点E，则点E为所求。
证明：过点Q作QN∥AC交BE于点N，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠BAC=∠BCA=∠BQN，由画法可知点F为AQ的中点，则AF=QF，
∵QN∥AC，
∴∠NQF=∠EAF，
在△NQF和△EAF中
∴△NQF≌△EAF（ASA）
∴QN=AE，
∵BP=CQ、AB=BC，
∴AP=BQ，
在△BQN和△PAE中
∴△BQN≌△PAE（SAS）
∴∠APE=∠CBE
解：如图，过点A作AJ⊥BC于点J，过点P作PS⊥BM于点S，ON交BM于点U，过点R作PL⊥QM、RK⊥AC，垂足分别为点L、K，过点P作PG⊥AC于点G，延长BE交PG的延长线于点T，连接AT、AM。
∵△ABC为等腰三角形，
∴AO⊥OB，
∴在Rt△AOB中，根据勾股定理，
AB2=9+16=25，即AB=BC=5，
将BC=5，AC=6，OB=4带入上式，得
在Rt△ABJ中，根据勾股定理，
∵PG⊥OA，则∠MBC=∠AGT，
∴∠EPG=∠APE-∠APT=∠CBE-∠MBC=∠MBE=∠PTE，
∴△PET为等腰三角形，
∵PG⊥AO，
∴AE垂直平分PT，
∴△APT为等腰三角形，
∴∠APT=∠ATP，
∴∠APE=∠APT+∠EPT=∠ATP+∠PTE
=∠ATE=∠CBE，
在△ATF和△QBF中
∴△ATF≌△QBF（AAS）
∴BF=FT，
在△PFT和△MFB中
∴△PFT≌△MFB（AAS）
∴PF=AM，
∵AF=QF，
∴四边形APQM为平行四边形，
∴AB∥MQ，
∴∠MQR=∠ABC，则
设QL=7x，则LR=24r，QR=25x，
∴ML=23x，
∴MQ=30x，
∵∠ABO=∠CBO=∠BMQ，
∴△BMQ为等腰三角形，
∴BQ=QM=30x，
∴BR=55x，则CR=55x-5，
在Rt△CKR中，
则
则解得
则BQ=AP=QM=30x=3，则BP=2，
在Rt△MQU中，
则
在Rt△BPS中，
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