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第31章相似单元质量检测卷拔尖卷人教版2026—2027学年九年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
考卷信息:
本卷试题共20题，单选10题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度!
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
1．若线段，，，是成比例线段，且，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组图形不一定相似的是（　　）
A．两个等腰直角三角形
B．有一个角是的两个等腰三角形
C．有一个角是的两个等腰三角形
D．有一个角是的两个直角三角形
3．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝3：2，则AE：AC等于（　　）
A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5
4．如图，已知∠1=∠2，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． B． C．∠B=∠ADE D．∠C=∠E
5．如图，在 ABCD中，AEAD，连接BE交AC于点F，若△AEF的面积是9，则△BCF的面积为（　　）
A．16 B．18 C．24 D．36
6． 如图，在直角坐标系中， △OAB的顶点为O(0， 0)， A (4， 3)， B (3， 0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为 的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）
A．(-1， - 1) B．
C． D．(-2， - 1)
7． 如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（　　）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm
8．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于点，在射线上任取一点，以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，再以为圆心，长为半径在内画弧，两弧交于点，过点作射线，在射线上取一点，以为圆心，为半径画弧，交射线于点，连接，点在射线上，连接交于点．若，，则的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．
10．如图，正方形中，为中点，连接，于点，连接，交于点，下列结论：①；②；③；④为正三角形，其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．已知，则的值为 　 　 .
12．如图，在中，、分别是、的中点，则　 　．
13．已知是黄金分割值，点是线段的黄金分割点，且，，则的长是　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D．动点P从点D出发，沿向点C匀速运动，过点作轴的垂线，垂足为，连接．当所在直线与所在直线第一次垂直时，点P的坐标为　 　．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点．
（1）以点为位似中心在网格内画出的位似图形，使得与的位似比为；
（2）将向上平移个单位长度得到，请画出．
16．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝.求证：
（1）AC＝BD；
（2）△ABE∽△DCE.
17．已知：如图，在中，，，垂足为．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
18．如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
19．如图，在中，D是的中点，过点D作的垂线交于点E，延长到点F，使得，连接，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的值．
20．【建立模型】（1）已知中，点分别在，边上，，如图（1）．求的值．
【初步应用】（2）若内接于，边落在边上，点分别在，边上，如图（2）．若，，，求的值．
【拓展提升】（3）直线与正的边，交于点，取线段的中点，连接并延长交于点，如图（3）．若，．求值．
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△AEF∽△CBF，
∵AEAD，
∴，
∴，
∵△AEF的面积为9，
∴S△BCF＝36．
故选：D．
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得剩下的矩形的长与原来矩形的宽相等，为6cm.
根据相似多边形的性质，可得：
，
即，
解得剩下矩形的宽=cm.
∴剩下矩形的面积是：6×=27（cm2）.
故选：B.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：，，
，
，，
解得．
故选：A．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：根据作图可知，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，即．
故选：A；
10．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点M，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即G为中点，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，故②正确；
设，则，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，不是等边三角形，故③错误，④错误；
综上可知，①②正确，③④错误，
故选：B
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴设a=2k，b=3k，
∴
故答案为：.
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵分别是的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
13．【答案】
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，所在的直线垂直于于点F．
∵点，点C是的中点，轴，
∴点，
∴．
设点，
则，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得或．
∵．
∴当所在直线与所在直线第一次垂直时，点P的坐标为．
故答案为：．
15．【答案】（1）解：如图所示，连接，延长，使得，，，顺次连接，
∴即为所求；
（2）解：如图所示，
∴即为所求
16．【答案】（1）证明：∵＝
∴＝
∴
∴BD=AC
（2）证明：∵∠B=∠C；∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
17．【答案】（1）证明：，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，，
，
，
．
18．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，，，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
19．【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形AECF是菱形．
（2）解：如图，过点作于，
则是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
，
即，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
，即，
解得：
，
，
，
∴．
20．【答案】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点作，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如图，过点作，交于，
∴，
∵是正三角形，
∴也是正三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
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