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湖南省长沙市九年级上学期数学期中考试临考演练卷人教版2026—2027学年九年级
（测试范围：第25章一元二次方程到第28章旋转，全卷满分120分，考试时间120分钟）
说明:
答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好.
全卷共6页，25小题考试时间120分钟，满分120分.
3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题11—25，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。)
1．国际数学家大会每四年举行一次，是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议，下列四个图形分别是四届大会的会标，其中不是中心对称图形的是(　　)
A．B．C．D．
2．关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
3．已知关于x的方程 的一个根是3，则它的另一个根是 (　　)
A．-1 B．1 C．3 D．- 3
4．若点在抛物线上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．且 B．且 C． D．
6．已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
7．如图，点A在反比例函数y＝的图像上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且CO＝OB，△ABC的面积为2，则k的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．已知反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点
B．y随x的增大而减小
C．图象在第一、三象限内
D．图象是轴对称图形但不是中心对称图形
9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（　　）
A．60° B．85° C．75° D．90°
10．如果二次函数 的系数a，b，c满足a-b+c=0，那么我们把这种函数称为“潇湘”函数，对于“潇湘”函数，下列说法中正确的个数有（　　）
①该“潇湘”函数必过定点(-1，0)；
②若y关于x的函数. 是“潇湘”函数， 则a=-1；
③若该“潇湘”函数的图象与x轴有且只有一个交点时，则a=c；
④若该“潇湘”函数的图象与x轴的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．点A（m，n）是双曲线上一点，且m、n是一元二次方程的两根，则双曲线的解析式为　 　．
12．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）和反比例函数（x＞0）的图象交于A，B两点，利用函数图象直接写出不等式的解集是 　 　．
13．三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程 的解，则此三角形的周长是　 　．
14．如图，在一块长8m、宽6m的矩形空地上，修建一横一纵共两条等宽的道路，剩余部分栽种花草，要使栽种花草的面积为，则修建的道路的宽应为　 　m.
15．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则　 　．
16．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点．若平移该抛物线使其顶点沿直线移动到点，点的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解下列方程：
（1）；
（2）．
18．已知反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）判断点是否在这个函数的图象上；
（3）当时，求的取值范围．
19．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个.设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y.
（1） 直接写出y关于x的函数关系式；
（2） 该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家能获得最大利润？最大利润是多少？
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根，满足，求m的值．
21．如图1，△ABC和△DEF的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”.
（1）在图1的3×3正方形网格中，格点△ABC和格点△DEF关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴.
（2）请你利用轴对称在图2中画出一个与图1位置不同且与△ABC成轴对称的格点△DEF.
（3）请在图3中画出△ABC绕C点顺时针旋转90°后得到的格点△A'B'C .
22． 已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，求：
（1）点、、的坐标；
（2）的面积．
23．对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当 函数值y的取值范围为 且满足n-m=k(b-a)，则称此函数为“k-拉伸函数”.
例如：正比例函数y=-2x，当时，则-2-解得k=2，所以函数y=-2x为“2-拉伸函数”.
（1）①一次函数 为“k-拉伸函数”，则 k的值为　 　；
②若一次函数 为“3-拉伸函数”，则a的值为　 　
（2）反比例函数 是“p-拉伸函数”，且 请求出 的值；
（3）已知二次函数 当 时，y= 是“k-拉伸函数”，求 k的取值范围.
24．如图1，在△ABC中，延长边BC至点D，使CD=AB，已知点P是线段AC的垂直平分线和线段BD的垂直平分线的交点，连接PA、PB、PC、PD.
（1）求证：∠ABP=∠CDP；
（2）如图2，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，若点D恰好与点P重合，试判断四边形ABCP的形状，并说明理由；
（3）如图3，将线段CD绕点C逆时针旋转，使点D落在线段PC上的点E处，连接DE，AE，其中AE交PB于点F．若∠DCE=2∠CDP，AF =EF，BF =4，DE =5，则AF的长为　 　.
25． 如图，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值；
（3）点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】B
10．【答案】C
11．【答案】
12．【答案】113．【答案】13
14．【答案】1
15．【答案】
16．【答案】12
17．【答案】（1）解：，，
，
或，
∴，
（2）解：，，
或，
∴，
18．【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为
（2）解：在中，当时，，
∴点在这个函数的图象上
（3）解：在中，当时，，
当时，，
又∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴当时，的取值范围是
19．【答案】（1）解：y=-10x+1000
（2）解：
当 时， 元
答：定价为 65 时，获得最大利润 12250 元
20．【答案】（1）证明：∵
，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：∵，是一元二次方程的两根，∴，，
又∵，
∴，
解得．
21．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：△DEF 如图所示(答案不唯一)
（3）解：△A'B'C 如图所示
22．【答案】（1）解：令，则，
，
令，则，
解得：，，
；；
（2）解：，，，
，，
．
23．【答案】（1）2；3或-3
（2）解：∵反比例函数 ，
∴在 时，反比例函数随x的增大而减小，
∴最大值 最小值
，解得
∵函数是“p-拉伸函数”，即k=p，
又
∴-2=2026
（3）解：二次函数 开口向下，对称轴为
分情况讨论：
当d<-1时，对称轴在 的左侧，在 时，y随x的增大而减小，
又
当 时，对称轴在 内，最大值在顶点x=d处，
若 最小值在x=3，得 范围为
若 最小值在x=-1，得 范围为2
时，
当d>3时，对称轴在 右侧，在 内函数y随x的增大而增大，
又
综上，合并所有情况得
24．【答案】（1）证明：点P是线段AC的垂直平分线和线段BD的垂直平分线的交点，
∴PA=PC，PB=PD
∵AB=CD
∴△APB≌△PCD
∴∠ABP=∠CDP.
（2）解：四边形ABCP为正方形，证明如下：
由旋转的性质可知PC=PD，∠PCD =90°，
所以∠CPD=∠CDP=45°，∠PCB=90°．
由（1）知AP=CP，PB=PD，∠ABP=∠CDP=45°，∠PAB=∠PCD=90°，
所以∠PBD=∠PDB=45°，
所以∠ABD=90°
所以∠PAB=∠ABD=∠PCB=90°
所以四边形ABCP为矩形．
又因为AP=PC，
所以四边形ABCP为正方形.
（3）解：连接，
设，则，由（1）知．
，
，
，
．
，线段绕点逆时针旋转得到，
，
四边形是平行四边形，
，，
．
又∵，
，
．
，
．
，
∴四边形是平行四边形，
，，
，．
，
，
．
，，
∴，
，
，
∴，
∴．
故填：．
25．【答案】（1）解：
（2）解：方法一：如图1，
连接，
设点，
∴，
∴
∴当时，，此时；
方法二：如图2，
作于Q，交于点D，设解析式为：
∵，则，解得
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴
∴当时，，此时
（3）解：如图3，
当四边形为平行四边形时，，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴点的坐标：
如图4，当四边形为平行四边形时，
作于G，
∴，
当时，，
∴，，
∴，，
综上所述：或或．
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