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单元检测卷(二)　向量的数量积与三角恒等变换
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a·b＝10，则|a－b|＝(　　 )
A．5 B．
C．10 D．
2．sin 78°sin 18°－cos 78°cos 162°＝(　　 )
A． B．－
C． D．－
3．已知sin＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝(　　)
A．2 B．
C．－2 D．－
4．设a，b，c都是单位向量，且a＝b＋c, 则向量a，b的夹角等于(　　)
A． B．
C． D．
5．已知tan＝，则的值为(　　 )
A． B．－
C． D．－
6．函数f(x)＝2sin xcos x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A．2π B．
C．π D．4π
7．已知cos＝，sin(π＋β)＝－，α∈，β∈，则sin(α＋β)＝(　　 )
A．－ B．－
C． D．
8．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是(　　)
A．锐角 B．钝角
C．直角 D．不确定
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列化简正确的是(　　 )
A．sin 15°sin 30°sin 75°＝
B．cos215°－sin215°＝
C．－＝2
D．＝tan410°
10．已知单位向量a，存在向量b满足(a－b)⊥(a－2b)，则向量a在向量b方向上的投影取值可能是(　　)
A． B．
C． D．1
11．已知tan 2α＝－2，则的值可能是(　　)
A．－3－2 B．3＋2
C．2－3 D．3－2
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且＝＋，则m＝________．
13．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2 ，则·(＋)＝________．
14．(2024·河北承德高一检测)已知tan x＝，则＋＝________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(13分)已知tan α＝3.
(1)求tan的值；(5分)
(2)求的值．(8分)
16．(15分)已知向量a＝与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin θ和cos θ的值；(6分)
(2)若sin(θ－φ)＝，0＜φ＜，求sin φ的值．(9分)
17．(15分)已知向量a与b的夹角为120°，＝2，＝1.
(1)求；(6分)
(2)若(a＋tb)⊥(2a－b)，求实数t的值．(9分)
18．(17分)已知函数f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－1.
(1)求f(x)的最小正周期；(7分)
(2)若α∈，f＝，求cos α的值．(10分)
19．(17分)设A，B是单位圆上不同的两个定点，点O为圆心，点C是单位圆上的动点，点C满足＝sin α＋cos α(α为锐角)，线段OC交AB于点D(不包括A，B)，点P在射线OC上运动且在圆外，过P作圆的两条切线PM，PN.
(1)求·＋·＋·的范围；(4分)
(2)求·的最小值；(6分)
(3)若＝λ，＝μ，求的最小值．(7分)
单元检测卷(二)　向量的数量积与三角恒等变换
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a·b＝10，则|a－b|＝(　　 )
A．5 B．
C．10 D．
答案：B
解析：由a＝(1，2)，b＝(x，4)，得a·b＝x＋2×4＝10，解得x＝2，b＝(2，4)，故a－b＝(－1，－2)，|a－b|＝＝.故选B．
2．sin 78°sin 18°－cos 78°cos 162°＝(　　 )
A． B．－
C． D．－
答案：C
解析：sin 78°sin 18°－cos 78°cos 162°＝sin 78°sin 18°＋cos 78°cos 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝.故选C．
3．已知sin＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝(　　)
A．2 B．
C．－2 D．－
答案：C
解析：因为sin＝＝－cos θ，θ∈(0，π)，所以sin θ＝＝，则tan θ＝＝－2.故选C．
4．设a，b，c都是单位向量，且a＝b＋c, 则向量a，b的夹角等于(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：由a＝b＋c，可知c＝a－b，故c2＝a2－2a·b＋b2.因为a，b，c都是单位向量，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b＝，所以cos〈a，b〉＝，又0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝.故选A．
5．已知tan＝，则的值为(　　 )
A． B．－
C． D．－
答案：A
解析：根据半角公式得：cos θ＝1－2sin2＝2cos2－1，sin θ＝2sincos ，所以＝＝，对上述式子分子分母同除以cos2得，＝＝＝＝＝.故选A．
6．函数f(x)＝2sin xcos x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A．2π B．
C．π D．4π
答案：C
解析：对函数式变型f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2＝2sin.所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C．
7．已知cos＝，sin(π＋β)＝－，α∈，β∈，则sin(α＋β)＝(　　 )
A．－ B．－
C． D．
答案：B
解析：由诱导公式可得cos＝sin α＝，sin(π＋β)＝－sin β＝－，则sin β＝，因为α∈，β∈，所以cos α＝＝，cos β＝－＝－，因此，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－.故选B．
8．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是(　　)
A．锐角 B．钝角
C．直角 D．不确定
答案：A
解析：因为A，B，C为锐角△ABC的三个内角，所以A＋B＞，即＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin(－B)＝cos B，所以p·q＝sin A－cos B>0.再根据p，q的坐标可得p，q不共线，故p与q的夹角为锐角．故选A．
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列化简正确的是(　　 )
A．sin 15°sin 30°sin 75°＝
B．cos215°－sin215°＝
C．－＝2
D．＝tan410°
答案：ABD
解析：对于A，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°·sin 30°cos 15°＝sin230°＝，故A正确；对于B，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故B正确；对于C，－＝＝＝＝4，故C不正确；对于D，＝＝＝＝＝＝＝＝tan410°.故选ABD．
10．已知单位向量a，存在向量b满足(a－b)⊥(a－2b)，则向量a在向量b方向上的投影取值可能是(　　)
A． B．
C． D．1
答案：AD
解析：由(a－b)⊥(a－2b)，得(a－b)·(a－2b)＝0，即a2－3a·b＋2b2＝0.设向量a与向量b的夹角为θ，因为向量a是单位向量，所以2|b|2－3|b|cos θ＋1＝0，显然|b|≠0，则cos θ＝＝≥，当且仅当|b|＝时等号成立．又向量a在向量b方向上的投影是|a|cos θ＝cos θ，所以向量a在向量b方向上的投影的最小值是.故选AD．
11．已知tan 2α＝－2，则的值可能是(　　)
A．－3－2 B．3＋2
C．2－3 D．3－2
答案：BC
解析：tan 2α＝＝－2，整理可得tan2α－tan α－＝0，解得tan α＝－或tan α＝.则＝＝＝＝，将tan α＝－和tan α＝，分别代入原式解得2－3或2＋3.故选BC．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且＝＋，则m＝________．
答案：－2
解析：因为＝＋，所以＋＋2a·b＝＋，因此a·b＝0，又向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，所以a·b＝m＋2＝0，解得m＝－2.
13．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2 ，则·(＋)＝________．
答案：－4
解析：如图，由AM＝3，且＝2，可知||＝2.因为M为BC的中点，所以＋＝2＝，所以·(＋)＝·＝－2＝－||2＝－4.
14．(2024·河北承德高一检测)已知tan x＝，则＋＝________．
答案：
解析：＝＝＝tan 3x－tan 2x，＝＝＝tan 2x－tan x，
所以＋＝tan 3x－tan x，而tan 3x＝tan(2x＋x)＝＝＝＝，
因此原式＝－＝.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(13分)已知tan α＝3.
(1)求tan的值；(5分)
(2)求的值．(8分)
解：(1)tan＝＝＝－2.
(2)
＝＝＝＝.
16．(15分)已知向量a＝与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin θ和cos θ的值；(6分)
(2)若sin(θ－φ)＝，0＜φ＜，求sin φ的值．(9分)
解：(1)因为a与b互相垂直，
则a·b＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin2 θ＋cos2 θ＝1得，
sin θ＝±，cos θ＝±，
又θ∈，所以sin θ＝，cos θ＝.
(2)因为0＜φ＜，0＜θ＜，
所以－＜θ－φ＜，
则cos(θ－φ)＝＝，
sin φ＝sin[θ－(θ－φ)]＝sin θcos(θ－φ)－cos θsin(θ－φ)＝×－×＝.
17．(15分)已知向量a与b的夹角为120°，＝2，＝1.
(1)求；(6分)
(2)若(a＋tb)⊥(2a－b)，求实数t的值．(9分)
解：(1)因为向量a与b的夹角为120°，＝2，＝1，
所以a·b＝··cos 120°＝2×1×(－)＝－1，
所以＝a2－4a·b＋4b2＝4－4×(－1)＋4＝12，
所以＝2；
(2)因为(a＋tb)⊥(2a－b)，
所以(a＋tb)·(2a－b)＝0，
即2a2－a·b＋2ta·b－tb2＝0，
所以2×4＋1－2t－t＝0，解得t＝3.
18．(17分)已知函数f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－1.
(1)求f(x)的最小正周期；(7分)
(2)若α∈，f＝，求cos α的值．(10分)
解：(1)f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－1
＝sin 2x－cos 2x
＝
＝sin(2x－)，
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)f＝sin＝sin，
因为α∈，α－∈，
所以sin＝，即sin＝，
所以cos(α－)＝，
因为cos α＝cos
＝coscos－sinsin
＝×－×＝，
所以cos α＝.
19．(17分)设A，B是单位圆上不同的两个定点，点O为圆心，点C是单位圆上的动点，点C满足＝sin α＋cos α(α为锐角)，线段OC交AB于点D(不包括A，B)，点P在射线OC上运动且在圆外，过P作圆的两条切线PM，PN.
(1)求·＋·＋·的范围；(4分)
(2)求·的最小值；(6分)
(3)若＝λ，＝μ，求的最小值．(7分)
解：(1)因为＝sin α＋cos α，
所以2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α·＝1＋2sin αcos α·＝1.
因为α为锐角，所以sin αcos α≠0，所以⊥．
因为·＋·＋·＝·－·＋·
＝·＋·＝·＋·＝·．
方法一：取AB的中点为E(图略)，·＝2－2＝2－，
因为∈，
所以2－∈.
方法二： 以O为原点，以OA，OB为x，y轴，建立直角坐标系(图略)，
因为C，A，B，
所以＝，＝(－cos α，1－sin α)，
所以·＝－cos α·(1－cos α)－sin α(1－sin α)
＝1－cos α－sin α＝1－sin.
因为α∈，
所以sin∈，
所以·＝1－sin∈.
(2)因为＝＝1，
所以2＝2＝2－1，
所以·＝··cos∠MPN＝··
＝2＝(2－1)＝2＋－3
≥2－3＝2－3.
所以当且仅当＝时，等号成立，·的最小值为2－3.
(3)因为＝λ，＝μ，所以－＝μ，
所以＝μ＋，
所以＝＝＋ ，
所以2＝2＋2＝1，
所以λ2＝2μ2－2μ＋1，
所以＝，
令μ＋1＝t，则原式＝＝2t＋－6≥2－6.
当且仅当t＝即μ＝－1时，等号成立，的最小值为2－6.

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