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模块综合检测卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．集合M＝{x|x＝k·90 ＋45 ，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45 ＋90 ，k∈Z}，则有(　　)
A．M＝N B．MN
C．MN D．M∩N＝
2．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于(　　 )
A． 1 B． 2
C． D．
3．若角α的终边过点P(3，－4)，则cos 2α的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
4．cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的结果是(　　)
A．1 B．
C． D．
5．已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋t b，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　 )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
6．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值为(　　)
A． B．
C． D．
7．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是(　　)
A．y＝tan |x| B．y＝cos(－x)
C．y＝sin D．y＝
8．关于函数f(x)＝|cos x|＋cos|2x|有下列四个结论：
①f(x)的值域为[－1，2]；
②f(x)在上单调递减；
③f(x)的图象关于直线x＝对称；
④f(x)的最小正周期为π.
上述结论中，正确命题的个数有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是(参考数据：≈2.236)(　　)
A．＝
B．若＝，扇形的半径R＝3，则S1＝2π
C．若扇面为“美观扇面”，则θ≈138°
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R＝20，则此时的扇形面积为200(3－)
10．已知向量a＝，b＝，则(　　 )
A．若a与b垂直，则m＝－1
B．若a∥b，则a·b的值为－5
C．若m＝1，则＝
D．若m＝－2，则a与b的夹角为60°
11．已知函数f(x)＝sin(3x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则(　　)
A．函数f为奇函数
B．函数f(x)在上单调递增
C．若＝2，则的最小值为
D．当x∈时，f(x)的值域是
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．若f(x)＝sin 2x＋sin xcos x－，则f(x)在上的最大值为________．
13．时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20 ℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28 ℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sin，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历______________________h.
14．已知函数f(x)＝sin(πx＋φ)(|φ|<π)的图象过点，若f(x)在[－2，a]内有5个零点，则a的取值范围为________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)已知tan＝.
(1)求tan α的值；(5分)
(2)求的值．(8分)
16.(15分)建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28 ℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调．如图是该市夏季一天的气温(单位：℃)随时间t(0≤t≤24，单位：小时)的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)．
(1)求函数y＝f(t)的表达式；(6分)
(2)请根据(1)的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？(9分)
17．(15分)已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，－cos x)，设函数f(x)＝a·(a＋b)．
(1)求f(x)的单调增区间；(5分)
(2)若函数g(x)＝f(x)－k，x∈，其中k∈R，试讨论函数g(x)的零点个数．(10分)
18．(17分)已知函数f(x)＝2sin ，且函数y＝g(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(1)求函数g(x)的解析式；(4分)
(2)若存在x∈，使等式2－mg(x)＋2＝0成立，求实数m的取值范围；(5分)
(3)若当x∈时，不等式f(x)－ag>a－2恒成立，求实数a的取值范围．(8分)
19．(17分)设平面内两个非零向量m，n的夹角为θ，定义一种运算“ ”：m n＝|m||n|sin θ.
试求解下列问题：
(1)已知向量a，b满足a＝(2，1)，|b|＝2，a·b＝4，求a b的值；(4分)
(2)在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，B(－1，2)，C(0，4)，求 的值；(5分)
(3)已知向量a＝，b＝，α∈，求a b的最小值．(8分)
模块综合检测卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．集合M＝{x|x＝k·90 ＋45 ，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45 ＋90 ，k∈Z}，则有(　　)
A．M＝N B．MN
C．MN D．M∩N＝
答案：C
解析：M＝{x|x＝2k·45 ＋45 ，k∈Z}，N＝{x|x＝(k＋1)·45 ＋45 ，k∈Z}．因为2k是偶数，k＋1为整数，所以MN.故选C．
2．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于(　　 )
A． 1 B． 2
C． D．
答案：B
解析：由A＝105°，B＝45°，可得C＝30°，由正弦定理得＝，＝，c＝2.故选B．
3．若角α的终边过点P(3，－4)，则cos 2α的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
答案：B
解析：角α的终边过点P(3，－4)，则cos α＝，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝2×
2－1＝－.故选B．
4．cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的结果是(　　)
A．1 B．
C． D．
答案：B
解析：原式＝cos 70°cos(360°－25°)＋sin(180°－70°)sin 25°＝cos 70°cos 25°＋sin 70°sin 25°＝cos(70°－25°)＝cos 45°＝.故选B．
5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋t b，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　 )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
答案：C
解析：c＝(3＋t，4)，cos〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，解得t＝5.故选C．
6．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝＝＝＝.故选C．
7．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是(　　)
A．y＝tan |x| B．y＝cos(－x)
C．y＝sin D．y＝
答案：C
解析：对于函数y＝tan |x|，当x＝时无意义，在(0，π)上不单调，故A不正确；函数y＝cos(－x)＝cos x在(0，π)上单调递减，故B不正确；函数y＝sin ＝－cos x是偶函数，在(0，π)上单调递增，故C正确；当x∈(0，π)时，函数y＝单调递减，故D不正确．故选C．
8．关于函数f(x)＝|cos x|＋cos|2x|有下列四个结论：
①f(x)的值域为[－1，2]；
②f(x)在上单调递减；
③f(x)的图象关于直线x＝对称；
④f(x)的最小正周期为π.
上述结论中，正确命题的个数有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：C
解析：f(x)＝|cos x|＋cos |2x|＝|cos x|＋2cos2|x|－1，由cos |x|＝cos x得f(x)＝|cos x|＋2cos2|x|－1＝2cos 2x＋|cos x|－1＝2|cos x|2＋|cos x|－1，所以f(x)＝2|cos x|2＋|cos x|－1，对于①，令|cos x|＝t，则t∈[0，1]，又y＝2t2＋t－1在[0，1]上单调递增，所以当t＝|cos x|＝0时，f(x)min＝－1，当t＝|cos x|＝1时，f(x)max＝2，所以f(x)的值域为[－1，2]，故①正确；对于②，当x∈时，cos x≥0，|cos x|＝cos x，且y＝cos x在上单调递减，又令|cos x|＝t，且y＝2t2＋t－1在[0，1]上单调递增，所以f(x)在上单调递减，故②正确；对于③，因为f＝|cos |＋cos |2×|＝－1，f(π)＝|cos π|＋cos |2π|＝2，而f≠f，所以f(x)的图象关于直线x＝不对称，故③不正确；对于④，因为f(x)＝2|cos x|2＋|cos x|－1，且y＝|cos x|的最小正周期是π，所以f(x)的最小正周期为π，故④正确．故选C．
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是(参考数据：≈2.236)(　　)
A．＝
B．若＝，扇形的半径R＝3，则S1＝2π
C．若扇面为“美观扇面”，则θ≈138°
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R＝20，则此时的扇形面积为200(3－)
答案：AC
解析：对于A，因为S1与S2所在扇形的圆心角分别为θ，2π－θ，所以＝＝，故A正确；对于B，因为＝＝，所以θ＝，所以S1＝·θ·R2＝××9＝3π，故B错误；对于C，因为＝＝，所以θ＝(3－)π，所以θ≈(3－2.236)×180°≈138°，故C正确；对于D，S1＝·θ·R2＝×(3－)π×400＝200(3－)π，故D错误．故选AC．
10．已知向量a＝，b＝，则(　　 )
A．若a与b垂直，则m＝－1
B．若a∥b，则a·b的值为－5
C．若m＝1，则＝
D．若m＝－2，则a与b的夹角为60°
答案：BC
解析：对于选项A：由a⊥b，可得1×＋×m＝0，解得m＝－，故A错误；对于选项B：由a∥b，可得1×m－×＝0，解得m＝2，所以b＝，所以a·b＝1×＋×2＝－5，故B正确；对于选项C：若m＝1，则a－b＝，则＝，故C正确；对于选项D：若m＝－2，b＝，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，故D错误．故选BC．
11．已知函数f(x)＝sin(3x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则(　　)
A．函数f为奇函数
B．函数f(x)在上单调递增
C．若＝2，则的最小值为
D．当x∈时，f(x)的值域是
答案：AC
解析：因为函数f(x)＝sin(3x＋φ)的图象关于直线x＝对称，所以f＝sin ＝±1，所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)，因为－<φ<，所以k＝0时，φ＝－，所以f(x)＝sin .对于A选项：因为f(x)＝sin ，所以f＝sin ＝sin 3x，因为sin(－3x)＝－sin 3x，所以f为奇函数，故A选项正确；对于B选项：由－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋π≤x≤π＋π，当k＝0时，f(x)在上单调递增，故B选项错误；对于C选项：若|f(x1)－f(x2)|＝2，则|x1－x2|最小值为半个周期，即×＝，故C选项正确；对于D选项：当x∈时，－≤3x－≤，令t＝3x－，则－≤t≤，结合正弦函数图象知－≤sin t≤1，所以x∈时，f(x)的值域是，故D选项错误．故选AC．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．若f(x)＝sin 2x＋sin xcos x－，则f(x)在上的最大值为________．
答案：1
解析：由题意，函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x－＝＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)，因为x∈，所以2x－∈，所以当2x－＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(x)max＝1.
13．时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20 ℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28 ℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sin，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历______________________h.
答案：2.4
解析：设t1时开始开放，t2时开始闭合，则20－10sin＝20，又t1∈，解得t1＝9，20－10sin＝28，所以sin＝－，由sin≈0.8得sin≈－，所以t2－＝，所以t2＝，所以t2－t1＝＝2.4 h.
14．已知函数f(x)＝sin(πx＋φ)(|φ|<π)的图象过点，若f(x)在[－2，a]内有5个零点，则a的取值范围为________．
答案：　
解析：由题意知，函数f(x)的图象过点，所以sin ＝1，解得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<π，所以φ＝，所以f(x)＝sin ，当x∈[－2，a]时，可得πx＋∈，因为f(x)在[－2，a]内有5个零点，结合正弦函数的性质可得3π≤aπ＋<4π，所以≤a<，即实数a的取值范围为.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)已知tan＝.
(1)求tan α的值；(5分)
(2)求的值．(8分)
解：(1)tan(＋α)＝
＝＝，解得tan α＝－.
(2)＝
＝＝＝－.
16.(15分)建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28 ℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调．如图是该市夏季一天的气温(单位：℃)随时间t(0≤t≤24，单位：小时)的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)．
(1)求函数y＝f(t)的表达式；(6分)
(2)请根据(1)的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？(9分)
解：(1)由图知，T＝2×(14－2)＝24，所以＝24，得ω＝.由图知，b＝＝24，A＝＝8，所以f(t)＝8sin＋24.将点(2，16)代入函数解析式得24＋8sin ＝16，得＋φ＝2kπ－，即φ＝2kπ－π.又因为<π，得φ＝－π.
所以f＝24＋8sin(0≤t≤24)．
(2)依题意，令24＋8sin>28，
可得sin>，
所以2kπ＋17．(15分)已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，－cos x)，设函数f(x)＝a·(a＋b)．
(1)求f(x)的单调增区间；(5分)
(2)若函数g(x)＝f(x)－k，x∈，其中k∈R，试讨论函数g(x)的零点个数．(10分)
解：(1)函数f(x)＝a·(a＋b)＝(sin x，cos x)·(sin x＋cos x，0)
＝sin2x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝sin(2x－)＋.
由2kπ－≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
即kπ－≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以函数的单调增区间为
(k∈Z)．
(2)f(x)＝sin＋，x∈，
所以2x－∈，
f(x)＝sin＋∈，
函数g(x)＝f(x)－k＝sin＋－k，x∈，其中k∈R，
令g(x)＝f(x)－k＝sin＋－k＝0，所以sin＋＝k，
函数f(x)＝sin＋，x∈的图象如图所示，
当k<0或k>时，零点为0个；
当k∈[1，)时函数有两个零点，
当k＝或0≤k<1时，函数有一个零点．
18．(17分)已知函数f(x)＝2sin ，且函数y＝g(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(1)求函数g(x)的解析式；(4分)
(2)若存在x∈，使等式2－mg(x)＋2＝0成立，求实数m的取值范围；(5分)
(3)若当x∈时，不等式f(x)－ag>a－2恒成立，求实数a的取值范围．(8分)
解：(1)因函数y＝g(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则g(x)＝f，所以g(x)＝2sin＝2sin＝2sin.
(2)由(1)知，g(x)＝2sin，当x∈时，x＋∈，则1≤g(x)≤2，
令g(x)＝t，则1≤t≤2.存在x∈，使2－mg(x)＋2＝0成立，
即存在t∈，使t2－mt＋2＝0成立，则存在t∈，m＝t＋成立，而函数m＝t＋在t∈[1， ]上递减，在t∈[，2]上递增，
故当t＝时，mmin＝2，当t＝1或2时，mmax＝3，
所以实数m的取值范围为.
(3)由(1)知，不等式f(x)－ag(－x)>a－2 sin(x＋)＋2asin(x－)>a－2，
当x∈时，0≤x＋≤π，
－≤x－≤，
若a＝0，因0≤sin(x＋)≤1，即sin(x＋)>－2恒成立，则a＝0符合题意．
若a>0，因为sin(x－)在上单调递增，则当x＝－时，sin(x＋)＋2asin(x－)取得最小值，原不等式恒成立可转化为sin(－＋)＋2asin(－－)>a－2恒成立，即－2a>a－2，因此0若a<0，当x＝时，sin(x＋)＋2asin(x－)取得最小值，原不等式恒成立可转化为sin(＋)＋2asin(－)>a－2恒成立，即a>－2，因此－2所以实数a的取值范围为(－2，)．
19．(17分)设平面内两个非零向量m，n的夹角为θ，定义一种运算“ ”：m n＝|m||n|sin θ.
试求解下列问题：
(1)已知向量a，b满足a＝(2，1)，|b|＝2，a·b＝4，求a b的值；(4分)
(2)在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，B(－1，2)，C(0，4)，求 的值；(5分)
(3)已知向量a＝，b＝，α∈，求a b的最小值．(8分)
解：(1)由已知a＝(2，1)，得|a|＝，
所以a·b＝|a||b|cos θ＝4 2cos θ＝4，即cos θ＝，
又0≤θ≤π，所以sin θ＝，
所以a b＝|a||b|sin θ＝2×＝2.
(2)设a＝，b＝，则|a|＝，|b|＝，
所以cos θ＝＝.
从而sin θ＝
＝＝，
所以a b＝|a||b|sin θ＝，
又＝(－3，1)，＝(1，2)，
所以 ＝|－3×2－1×1|＝7.
(3)a b＝＝＋，
＋＝
＝5＋＋
≥5＋2＝9，当且仅当＝ tan α＝时等号成立；
所以a b的最小值是9.

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