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复旦附中2026-2027学年第一学期高三年级数学月考
2026.10
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1.设集合，，则______．
2.若向量、在向量方向上的数量投影分别为3和－4，则在向量方向上的数量投影为______．
3.已知，则______．
4.的展开式中，常数项为______．
5.若关于的方程在区间上有实数解，则实数的取值范围是______．
6.甲、乙两人独立地破译一份密码，若甲能破译的概率是，乙能破译的概率是，则甲、乙两人中至少有一人破译这份密码的概率是______．
7.在中，角、、所对边分别为、、，若，则______．
8.已知数列的通项公式为，数列是首项为1、公比为2的等比数列，则______．
9.设双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于、两点，若，则双曲线的离心率为______．
10.如图，平行四边形的对角线、交于点，线段上一点满足，线段上一点满足，其中．设，若，则的值为______．
11.如图是一座山的示意图，山体近似于圆锥．已知圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里．为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路．这条铁路从出发后先上坡，后下坡，则上坡段铁路的长度为______公里．
12.已知且．若存在不是常数列的无穷数列满足对任意正整数都有，且，则实数的取值范围为______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.样本数据4，5，6，7，8，9的第60百分位数为（ ）．
A.5 B.6 C.7 D.8
14.设不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
15.对于三棱锥，“、、所在直线两两垂直且与平面所成角相等”是“三棱锥是以为顶点的正三棱锥”的（ ）条件．
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要
16.一个台风的中心正在匀速向西移动，台风在移动过程中始终保持圆形．已知该台风正在减弱，台风面积的减小的速率与台风的半径成正比，则更能反映台风影响范围（即台风扫过的区域）的图是（ ）．
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知，函数在点处的切线方程为．
（1）求函数的表达式；
（2）求函数的单调区间与极值点（需说明是极大值点还是极小值点）．
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知实数，函数的定义域为，若函数满足：
①对于任意，有；②对于任意，当时，恒成立，则称为“积轴函数”．
（1）设，证明：是“1积轴函数”；
（2）设，且是“积轴函数”，求实数的值．
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中，，．
（1）求的长；
（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，且直线与轴不重合．
（1）求椭圆的焦距与离心率；
（2）若轴上一点满足，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，若，求的面积．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知圆上有三点，其中．
（1）若，当在轴右侧时，求的取值范围；
（2）已知点，若，求的取值范围；
（3）若，且对于任意，都存在使得且，求实数的最大值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.如图是一座山的示意图，山体近似于圆锥．已知圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里．为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路．这条铁路从出发后先上坡，后下坡，则上坡段铁路的长度为______公里．
【答案】
【解析】根据题意可知，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，
是上一点，且公里，沿母线将圆锥的侧面展开，如图：
记为上的任意一点，作，垂足为，连接，
由的长为，得，
由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段，
而，则,上坡即到山顶的距离越来越小，
下坡即到山顶的距离越来越大，因此上坡段的铁路，即图中的线段，
由Rt，得，故答案为32.
二、选择题
13.C 14.B 15.A 16.B
三、解答题
17.（1） （2）单调递增区间为；单调递减期间为；是极大值点，是极小值点
18.（1）证明略 （2）
19.（1） （2）
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，且直线与轴不重合．
（1）求椭圆的焦距与离心率；
（2）若轴上一点满足，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，若，求的面积．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由椭圆方程得，则，，
焦距为，离心率
（2）椭圆右焦点，设直线
联立，整理得
由韦达定理得：
由得，即
，
代入韦达定理结果：
对任意成立，故
（3）由得，代入得
代入得，
因此，，
点到直线的距离：，
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知圆上有三点，其中．
（1）若，当在轴右侧时，求的取值范围；
（2）已知点，若，求的取值范围；
（3）若，且对于任意，都存在使得且，求实数的最大值．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由题得的坐标为，在y轴右侧，
则，解得
（2）设，则的参数角为，
故，,
令，则，
，
由于向量夹角取值范围为，余弦函数在上单调递减，
故。
（3）单位圆上弦长为两点最小圆心角，
故等价于，记
当时，，对任意，总存在使得与与的最小圆心角均不小于，满足条件.
若，则，取，
令，则要求且，
此时两区间无交集，不存在满足条件的，矛盾.故的最大值为

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