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九年级上第一章第四节角平分线
试题资料库：
例1.如下图，AP、BP分别平分△ABO的外角，∠AOB＝40°，则∠AOP＝ 。

解：20°
例2.如图ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是ABC两底角的平分线，求证：BD＝CE。
证明：ABC中∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB
∴
∴∠1＝∠2
在BDC与CEB中
∴BDCCEB（ASA）
∴BD＝CE
例3. 已知：如图，∠C=90°∠B=30°，AD是RtΔABC的角平分线。求证：BD=2CD。
分析：根据已知条件可求出∠BAC的度数，再由AD是ΔABC的角平分线，可分别求出上图中其余各角的度数，再证明结论就容易了。
证明：由∠C=90°，∠B=30°，知∠BAC=60°。
因AD是ΔABC的角平分线，故∠BAD=∠CAD=30°。则∠B=∠BAD。可知AD=BD。
在ΔADC中，∠DAC=30°，∠C=90°，则AD=2CD。故BD=2CD。
引申：该题中，若条件不变，如上图，从D点向AB作垂线交AB于点E，请问： ΔADE≌ΔADC是否成立？BD=2DE是否成立？
不难看出，因为AD是ΔABC的角平分线，由角平分线的性质可知DE=DC，则ΔADE与ΔADC全等的条件可轻松找到，BD=2DE显然也成立。这是在特殊角三角形的情况下考虑的，若推广到一般三角形的情况，解答该题的主要依据“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”依然是一个重要的解题条件。
例4. 已知：如下图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。
求证：点F在∠DAE的平分线上。
分析：该题图比较简单，单从上图中很难看出应该怎么证明结论。但问题既然涉及角平分线，我们很容易想到定理“在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上”，所以不妨过点F分别作BD，BC，CE的垂线段，这样就找到了解决问题的切入点。
证明：如上图，过点F分别作BD，BC，CE的垂线段FG，FH，FM。
因BF是∠CBD的平分线，所以FG=FH。同理FH=FM，则FG=FM。
因点F在∠DAE内，且点F到AD，AE的距离相等，故点F在∠DAE的平分线上。
引申：该题中，若条件不变，请问：∠A与∠BFC有怎样的数量关系？
请同学们进一步探索。
例5. 已知：如图1所示，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE//BC，交AB于D，交AC于E，求证：（1）BD+EC=DE[来源:21世纪教育网]
图1
（2）若将已知改为过一内角和一外角平分线交点作平行线，如图2所示，那么DB、EC和DE之间还存在怎样的关系。
图2
（3）若将已知改为过两个外角平分线交点作平行线如图3所示，那么DB、CE、DE之间还存在什么关系。
图3
证明：（1）∵DE//BC，∴∠2=∠3
∵∠1=∠2，∴∠1=∠3
∴BD=DF，同理FE=EC
∴BD+EC=DF+FE=DE
（2）DE=BD－CE
（3）DE=BD+CE
?
例6. 如图所示，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB>AC，求证：BE－AC=AE[来源:21世纪教育网]
证明：过D作DN⊥AC垂足为N，连结DB、DC
则DN=DE，DB=DC
又∵DE⊥AB，DN⊥AC


?
例7. 已知：如图所示PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。
证明：过P作PE⊥AC于E
∵PA、PC分别是∠MAC
与∠NCA的平分线且PD⊥BM，PF⊥BN
∴PD=PE，PF=PE
∴PD=PF
又∵PD⊥BM， PF⊥BN
∴点P在∠MBN的平分线上
即BP为∠MBN的平分线
?
例8. 如图DE是ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分，求∠C的度数。
解答：∵DE是AB的垂直平分线
∴EA＝EB ∴∠ABE＝∠1
∵ ∴
又AE平分∠BAC
∴∠2＝∠1＝ 即∠BAC＝
∴∠C＝－∠B－∠BAC＝
例9.如图BD是ABC的角平分线，DE//BC交AB于E。求证：BED是等腰三角形。
证明：∵BD是ABC的角平分线
∴∠EBD＝∠DBC
∵DE//BC
∴∠EDB＝∠DBC
∴∠EBD＝∠EDB
∴EB＝ED，即BED是等腰三角形
例10. 已知：P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE ⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE，则点P在∠AOB的平分线上，请说明理由。
分析：“点在线上”的另一种说法是“线经过点”。直接说明点P在∠AOB的平分线上不易说明，可以反过来先过P作射线OP，说明OP平分∠AOB，这样就相当于说明了点P在角的平分线上。此时问题就转化为说明∠DOP＝∠EOP。

解：作射线OP。
∵PD⊥OA，PE ⊥OB ∴∠PDO＝∠PEO＝90°
∵PD＝PE，OP＝OP ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴∠DOP＝∠EOP即P点在∠AOB的平分线上。
归纳：在直接说明某个问题有困难时，我们常常把问题进行转化成可以直接说明的问题来解决。21世纪教育网
例如：请说明三角形的三个角的平分线刚好相交于一点。我们知道两直线相交只有一个交点，于是两个角的平分线CD、BE相交于点O，想说明第三个角的平分线也刚好经过O点不易，因此可转化为“连结OA，说明AO平分∠CAB”，即说明∠OAB＝∠OAC，就相当于说明了第三个角的平分线与前两个角的平分线相交于一点。
例11. 如下图，等腰直角△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E。试说明：AB＝BE。
分析：AB、BE分别属于两个直角三角形，要说明它们相等，只要能够说明它们所在的直角三角形全等即可。
解：∵等腰直角△ABC中，
∴∠A＝90°，AB＝AC
∵DE⊥BC，BD平分∠ABC
∴DA＝DE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）
∵∠A＝∠DEB＝90°，DA＝DE，BD＝BD
∴Rt△ADB≌Rt△EDB（HL）
∴AB＝BE。
变式：说明上题中AB+AD＝BC。你能说明吗？
学习小结：
这节内容要注意两点：一是勾股定理与其逆定理表述上的区别；二是判定直角三角形全等时若使用HL，一定要强调直角三角形，若仍用SAS、ASA、AAS或SSS来判定直角三角形全等，则不需要强调直角三角形。
例12. 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，∠C=60°，AT平分∠BAC，AH⊥BC，垂足为H，则∠TAH=____________。
图1
解析：因AH⊥BC，所以∠TAH=90°－∠ATH。
由三角形外角性质可知，∠ATH=∠B＋∠BAT[来源:21世纪教育网]
∵∠BAT=∠BAC
=（180°－∠B－∠C）
=90°－（∠B＋∠C）
∴∠ATH=∠B＋90°－（∠B＋∠C）
∴∠TAH=90°－∠B－90°＋（∠B＋∠C）
=（∠C－∠B）
=15°
想一想，如果∠BAC是锐角或者钝角，那么∠TAH=（∠C－∠B）还成立吗？自己动手做做看。[来源:21世纪教育网]
2. 过三角形角平分线所在直线上任一点向第三边作垂线，角平分线与垂线的夹角等于三角形另外两角差的绝对值的一半。
例13 如图2，在△ABC中，∠B<∠C，AQ平分∠BAC，AQ交BC于点Q，点T是AQ延长线上的一点，TH⊥BC于点H，试说明∠HTA=（∠C－∠B）。
图2[来源:21世纪教育网]
解析：过点A作AH'⊥BC，则AH'//TH。根据平行线的性质，可得∠HTA=∠AQH'
由上题的结论，可得∠QAH'=（∠C－∠B）
故∠HTA=（∠C－∠B）
例14. 如图1，OC平分，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：。
分析：要证，、在图形的不同位置，又无平行线使它们联系起来，但若考虑设法把其中的一个角转化为另一个角的邻补角，问题便可以解决。由于OC是角平分线，故可过P点作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可。
证明：过点P作，，垂足分别为M、N
因OC是角平分线，，，故PM=PN
由PD=PE，PM=PN，得
则，而
点拨：遇到角平分线问题，我们可以过角平分线上的一点向这个角的两边引垂线，以便充分运用角平分线定理。
例15. 如图2，在中，的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P。过点P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N。求证：BM=CN。
分析：要证BM=CN，由图形特征可构造以BM、CN为边的两个三角形，并证明这两个三角形全等。考虑的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P，于是连接PB、PC，则利用垂直平分线和角平分线的知识即可解决。
证明：因AP是角平分线，，，故PM=PN
又因PD是BC的垂直平分线，故PB=PC
因PB=PC，PM=PN，故
点拨：这是一道垂直平分线与角平分线的综合运用问题。上述解答省去了两次全等的证明，相信同学们一定能体会到线段的垂直平分线定理与角平分线定理在几何证明中的重要性。

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