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2026-2027学年上海市宝山中学高二（上）阶段测试数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.空间四个不重合的点，则“四点共面”是“有三点共线”的（　　）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
2.已知用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫做截面，则过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（　　）
A. 三角形 B. 矩形
C. 对角线不相等的菱形 D. 六边形
3.已知两条直线m、n和两个平面α、β，下列命题中真命题的是（　　）
A. 若m⊥α，m⊥n,则n∥α
B. 若m∥α，α∩β=n,则m∥n
C. 若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
D. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
4.M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直.以下判断正确的是（　　）
A. ①为真命题，②为真命题
B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题
D. ①为假命题，②为假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.”点A不在直线l上”用符号语言可以表示为 .
6.函数y=sin2x的最小正周期是 ．
7.已知i为虚数单位，复数z=i（1+i）在复平面上对应的点位于第 象限.
8.在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=3，则= .
9.若斜线段在平面上的投影长度为其一半，则此斜线与该平面所成角的大小为 .
10.已知平面α、β、γ，若α∥β，α∩γ=a,β∩γ=b,则直线a、b的位置关系是 .（填“相交”、“平行”或”异面”）
11.如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC= ．
12.如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A′B′=2，B′C′=4，则平面四边形ABCD的周长为 .
13.已知点A和点B到平面α的距离分别为3和1，则线段AB的中点M到平面α的距离是 .
14.已知E，F，G，H顺次为空间四边形ABCD四边AB，BC，CD，DA的中点，若AC=4，BD=6，则EG2+HF2= .
15.如图1，某款文件边角夹是由两个全等的，直角边长为4.2厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成，图2展示了该文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板ABD绕着其中位线EF顺时针旋转，直至与三角形塑料板ABC所在平面平行时无法转动.若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为0.5厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为 .（结果精确到0.1°）
16.已知异面直线a、b所成角为60°，过空间内一点P作直线l,使l与a、b所成角为α，则直线l可能有f（α）条，则f（α）= .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AD1，CD1的中点.
（1）证明：EF∥平面ABCD.
（2）求异面直线EF与BC1所成角的大小.
18.(本小题14分)
已知平面向量=（2，1），=（-1，m）.
（1）若，求实数m的值和|3+2|；
（2）若，求实数m的值和cos＜，＞.
19.(本小题14分)
已知函数y=f（x）的表达式为f（x）=sin（πx+φ），.
（1），求的值；
（2）若，f（1），f（2）依次成等比数列，求φ的值.
20.(本小题18分)
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=2，点P在平面ABCD外且PA⊥平面ABCD.
（1）求点C到平面PAB的距离；
（2）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（3）若PA=2，求二面角P-CD-A的余弦值.
21.(本小题18分)
如图，在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，O是BD的中点，AB=AD.
（1）求证：OA⊥CD；
（2）连接OC，若△OCD是边长为1的等边三角形，，求异面直线AB与CD所成角的大小；（用反三角表示）
（3）在（2）的条件下，若E是射线DA上的动点，求直线CE与平面BCD所成角的正弦值的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】A l
6.【答案】π
7.【答案】二
8.【答案】145
9.【答案】
10.【答案】平行
11.【答案】
12.【答案】20
13.【答案】2或1
14.【答案】26
15.【答案】19.7°
16.【答案】
17.【答案】（1）证明：连接AC，因为E，F分别为AD1，CD1的中点，
所以EF∥AC，
EF 平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD；
（2）解：由（1）可得EF∥AC，易证得BC1∥AD1，
所以AD1与AC所成的角等于异面直线EF与BC1所成的角，
而∠D1AC的大小或其补角为所求的角，
由正方体的性质可知△AD1C为等边三角形，
所以∠D1AC=60°，
所以异面直线EF与BC1所成角的大小为60°．
18.【答案】解：平面向量=（2，1），=（-1，m）．
（1）由可得，解得m=-，
则3+2=3（2，1）+2（-1，-）=（4，2）．
所以|3+2|==2；
（2），
由题可得2×3+1×（1-m）=0，解得m=7，
则，可得，
又，，
所以．
19.【答案】 φ=
20.【答案】（1）解：因为PA⊥平面ABCD，且BC 平面ABCD，
所以PA⊥BC，
又AB⊥BC，且PA∩AB=A，PA、AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
所以BC的长度即为点C到平面PAB的距离，
即点C到平面PAB的距离为1．
（2）证明：在直角梯形ABCD中，CD2=（AD-BC）2+AB2=2，AC2=BC2+AB2=2，
所以AD2=4=CD2+AC2，即AC⊥CD，
因为PA⊥平面ABCD，且CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又PA∩AC=A，且PA、AC 平面PAC，
所以CD⊥平面PAC，
而CD 平面PCD，
所以平面PAC⊥平面PCD．
（3）解：由（2）知AC⊥CD，CD⊥平面PAC，
又PC 平面PAC，所以CD⊥PC，
所以∠PCA即为二面角P-CD-A的平面角，
因为PA⊥平面ABCD，且AC 平面ABCD，
所以PA⊥AC，
所以，
即二面角P-CD-A的余弦值为．
21.【答案】解：（1）证明：因为AB=AD，O是BD的中点，所以OA⊥BD．
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
OA 平面ABD，所以OA⊥平面BCD .
又CD 平面BCD，所以OA⊥CD．
（2）由（1）知OA⊥平面BCD，OC 平面BCD，
故OA⊥OC．OA⊥BD．
因为△OCD是边长为1的等边三角形，O是BD的中点，
所以OD=OB=OC=1，
又，在Rt△AOD中：．
以O为原点，OD所在的直线为x轴，
在平面BCD内过O且垂直于OD的直线为y轴，OA所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系．
则A（0，0，1），B（-1，0，0），，D（1，0，0），
，．
设异面直线AB与CD所成角为θ，
则，
故异面直线AB与CD所成角的大小为．
（3）设，则E（1-λ，0，λ），
平面BCD的法向量为，
设直线CE与平面BCD所成角为α，
则，
当λ=0时，sinα=0，
当λ＞0时，，
令，则，
当即λ=2时，有最小值为，
此时sinα取最大值为，
故直线CE与平面BCD所成角的正弦值的最大值为．
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