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2026-2027学年上海市第四中学高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单项选择题：本大题共4小题，共16分。
1.“k＜3”是“向量与向量的夹角为钝角”的（　　）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2.设矩形边长分别为a、b（a＞b），分别以a、b两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为Va和Vb，则Va与Vb的大小关系是（　　）
A. Va＞Vb B. Va=Vb
C. Va＜Vb D. Va、Vb的大小不确定
3.M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直.以下判断正确的是（　　）
A. ①为真命题，②为真命题
B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题
D. ①为假命题，②为假命题
4.如图，三棱锥P-ABC的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M、N分别在BC、PO上，且CM=x,PN=2x,0＜x≤3，则三棱锥N-AMC的体积V与x之间的函数关系是（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
5.复数1+i的虚部为 .
6.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上有一点（3，-4），则sin（π+θ）= .
7.已知△ABC的角A、B、C对应边长分别为a=4，b=5，c=6，则A= .
8.已知向量，，，的夹角为，则= .
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ．
10.已知某圆锥的高为8，体积为96π，则该圆锥的侧面积为 .
11.用斜二测画法画出水平放置的平面图形△OAB的直观图如图所示，已知O'D'=D'B'=D'A'=A'B'=2，则△OAB的面积为 .
12.已知二面角α-l-β，若直线a⊥α，直线b⊥β，且直线a,b所成角的大小为60°，则二面角α-l-β的大小为 .
13.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是 .
①直线AF与直线DE相交；
②直线CN与直线DE平行；
③直线BM与直线DE是异面直线；
④直线CN与直线BM成60°角.
14.已知圆锥的底面半径为，母线长为2，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 .
15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1的中点，过B1、M、C作正方体的截面α，则截面面积为 .
16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.
三、解答题：本题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在正四棱锥P-ABCD中，.
（1）求侧棱PA与底面ABCD所成角的大小；
（2）求二面角P-AB-C的大小.
18.(本小题10分)
平面向量，，函数.
（1）若，求y=f（x）的值域；
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知f（C）=2，a=2，，求△ABC面积.
19.(本小题10分)
如图，四边形ABCD为长方形，PA⊥平面ABCD，AB=AP=2，AD=3.
（1）若E、F分别是PB、CD的中点，求证：EF∥平面PAD；
（2）边BC上是否存在点G，使得直线PG与平面PAD所成的角的大小为30°？若存在，求BG长；若不存在，说明理由.
20.(本小题14分)
亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥P-O1与一个圆柱OO1构成的几何体Ω（如图2）.一般地，设圆锥P-O1中母线与底面所成角的大小为α，当20°＜α＜35°时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米.
（1）α=30°，求几何体Ω的体积；
（2）如图2，若圆锥底面半径为2.5米，设E为圆柱底面半圆弧CD上的一点，求圆柱母线EF和圆锥母线PB所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求.
21.(本小题14分)
已知四面体ABCD的6条棱中，有n条棱长为a,有6-n条棱长为1.
（1）若n=0，证明：AB⊥CD；
（2）若n=1，AB=a（），求二面角A-CD-B的大小（用含a的式子表示）；
（3）若n=2，求a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】1
6.【答案】
7.【答案】arccos
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】60π
11.【答案】4
12.【答案】60°或120°
13.【答案】③④
14.【答案】2
15.【答案】
16.【答案】118.8
17.【答案】解：（1）连接AC，BD，相交于点O，连接OP，
由正四棱锥的性质知，OP⊥平面ABCD，PA=PB，
所以∠PAO即为侧棱PA与底面ABCD所成角，
又，
所以△PAB是等边三角形，
设AB=2，则PA=2，OA=，
所以cos∠PAO==，
所以∠PAO=，
故侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为．
（2）取AB的中点Q，连接PQ，OQ，
因为PA=PB，所以PQ⊥AB，
又OP⊥平面ABCD，
所以PQ在底面ABCD上的投影为OQ，
所以OQ⊥AB，
所以∠PQO即为二面角P-AB-C的平面角，
由（1）知，PA=2，△PAB是等边三角形，
所以PQ=，OQ=1，
所以cos∠PQO===，
所以∠PQO=arccos，
故二面角P-AB-C的大小为arccos．
18.【答案】解：（1）根据题意可得
=，
因为，所以，
所以，
所以=，
即所求值域为；
（2）由（1）知，即，
因为C∈（0，π），所以，
所以，所以，
此时，
，
又a=2，，
所以c2=a2+b2-2abcosC，得，
化简得，
解得 （舍去负根），
所以△ABC的面积
=．
19.【答案】证明见解析；
存在，．
20.【答案】解：（1）圆柱的体积，
由于α=30°，则圆锥的底面半径R=，
圆锥的体积为，
∴几何体Ω的体积V=．
（2）连接PO1，BO1，根据题意可得PO1∥FE，
∴为圆柱母线EF和圆锥母线PB所成的角，
∵BO1=2.5，PO1=1.5，PB=，∴=，
∴圆柱母线EF和圆锥母线PB所在异面直线所成角的正切值为，
又，
∵sin20°≈0.3420，sin35°≈0.5736，
∴20°＜α＜35°，故该亭子满足建筑要求．
21.【答案】证明：取CD的中点O，连接AO，BO
则AO⊥CD，BO⊥CD，
因为AO、BO是平面ABO上的两条相交直线，
所以CD⊥平面ABO，又AB 平面ABO，
所以AB⊥CD；
；

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