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2026-2027学年上海市光明中学高一（上）调研数学试卷（9月份）
一、单项选择题：本大题共4小题，共20分。
1.“a∈（2，3）”是“a∈（2，4）”的（　　）条件.
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
2.下列结论正确的是（　　）
A. 若a＞b，c＞d，则a-c＞b-d B. 若a＞b，c＞d，则a-d＞b-c
C. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd D. 若a＞b，c＞d，则
3.下列代数式中，最小值是2的是（　　）
A. B.
C. D. （α是锐角）
4.关于x的实系数一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的实系数一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数且乘积为正给出下列三个结论.
①这两个方程的根都是负根；
②（m-1）2+（n-1）2≥2；
③-1≤2m-2n≤1.
其中正确的个数是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
5.方程组的解构成的集合是 ．
6.已知集合A={1，2}，则A的所有真子集为 .
7.若4∈{2，a2，a}，则实数a= ．
8.关于x的不等式x2＞0的解集为 .
9.已知全集U=R，设集合S={x|x＞-2}，T={x|-4≤x≤1}，则= .
10.用反证法证明“若x+y≤2，则x≤1或y≤1”时，需假设 ．
11.设实数x∈[2，+∞），则 .
12.设集合P={y|y=x2-1，y∈Z}，Q={y|y=-2x2+2，y∈Z}，则P∩Q= ．
13.已知集合A={x|x2-x-2＜0}，B={x|（x-a）（x-a-1）＜0}，若A∩B= ，则实数a的取值范围为 .
14.若a＞-2，b＞0且a+b=8，则的最大值为 ．
15.关于x的不等式ax+b＞0的解集为（-∞，1），则关于x的不等式（bx-a）（x+2）＞0的解集为 .
16.设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，给出条件：①A U；②若x∈A，则2x A；③若x∈，则2x .那么同时满足三个条件的集合A的个数为 .
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
求下列不等式的解集
（1）；
（2）|x-1|≤4.
18.(本小题11分)
已知集合A={x|x2-4ax+3a2＜0}，集合B={x|（x-3）（2-x）≥0}.
（1）当a=1时，求A∪B；
（2）设a＞0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
19.(本小题10分)
命题甲：集合M={x|kx2-2kx+1=0}为空集：命题乙：关于x的不等式x2+（k-1）x+4＞0的解集为R，若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数k的取值范围.
20.(本小题11分)
设P表示的解集；Q表示不等式|x-1|+|x-2a|＞1对任意x∈R恒成立的a的集合，求P∩Q.
21.(本小题12分)
某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年世博会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2010年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
（1）将2010年利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】{（1，1）}
6.【答案】{1}，{2}，
7.【答案】-2或4
8.【答案】{x|x≠0}
9.【答案】{x|-4≤x≤-2}
10.【答案】x＞1且y＞1
11.【答案】（0，]
12.【答案】[-1，2]
13.【答案】（-∞，-2]∪[2，+∞）
14.【答案】5
15.【答案】（-∞，-2）∪（-1，+∞）
16.【答案】32
17.【答案】解：（1），即-1==≥0，
可得（x-5）（x+2）≥0且x+2≠0，解得x≥5或x＜-2，
故不等式的解集为{x|x≥5或x＜-2}；
（2）|x-1|≤4，可得-4≤x-1≤4，解得-3≤x≤5，
故不等式的解集为{x|-3≤x≤5}．
18.【答案】解：（1）由x2-4ax+3a2＜0得（x-3a）（x-a）＜0，
当a=1时，（x-3）（x-1）＜0，解得1＜x＜3，故A={x|1＜x＜3}，
由（x-3）（2-x）≥0得（x-3）（x-2）≤0，解得2≤x≤3，故B={x|2≤x≤3}，
所以A∪B={x|1＜x≤3}．
（2）由（1）知，当a＞0时，a＜3a,故由x2-4ax+3a2＜0解得a＜x＜3a,故A={x|a＜x＜3a}，
因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
所以B A，由数轴法可知，解得1＜a＜2，即a∈（1，2）．
19.【答案】解：命题甲：集合M={x|kx2-2kx+1=0，x∈R}为空集，
即方程kx2-2kx+1=0没有实数解，
当k=0时，方程变为1=0，故无解，符合题意，
当k≠0时，Δ=4k2-4k＜0，即0＜k＜1，
综上命题甲为真，则0≤k＜1，
命题乙：关于x的不等式x2+（k-1）x+4＞0的解集为R，
则Δ=（k-1）2-16＜0，解得-3＜k＜5，
所以命题乙为真，则-3＜k＜5，
因为命题甲、乙中有且只有一个是真命题，
所以当甲真乙假时，此时k∈ ，
当甲假乙真时，即k∈（-3，0）∪[1，5）
综上所述，k的取值范围为（-3，0）∪[1，5）．
20.【答案】解：不等式等价于，
即，即（x+1）（x-3）＜0，
即-1＜x＜3，
又不等式|x-1|+|x-2a|＞1对任意x∈R恒成立，
由绝对值三角不等式可得|x-1|+|x-2a|≥|2a-1|，
则|2a-1|＞1，
则a＜0或a＞1，
则P∩Q=（-1，0）∪（1，3）．
21.【答案】解：（1）由题意：，
且当t=0时，x=1．
所以k=2，即．
当年销量为x万件时，成本为3+32x（万元）．
化妆品的售价为（万元/万件）
所以年利润y=（万元）
把
代入整理得到，其中t≥0．
（2）去分母整理得到：t2+2（y-49）t+2y-35=0．
该关于t的方程在[0，+∞）上有解．
当2y-35≤0，即y≤17.5时，必有一解．
当2y-35＞0时，该关于t的方程必须有两正根
所以．解得：17.5＜y≤42．
综上，年利润最大为42万元，此时促销费t=7（万元）．
所以当促销费定在7万元时，企业的年利润最大．…（12分）
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