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2026-2027学年天津外国语大学附属滨海外国语学校高二（上）学科练习数学试卷（10月份）
一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。
1.已知直线，则该直线的倾斜角是（　　）
A. 0° B. 30° C. 60° D. 90°
2.若直线2x+ay-1=0与x+4y-2=0的交点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　）
A. （-∞，2） B. （-∞，8） C. （-∞，2] D. （2，8）
3.直线l1的倾斜角为120°，l2的一个方向向量为（1，k），若l1⊥l2，则k=（　　）
A. B. C. D.
4.若直线l1：2x-y+1=0与l2：ax+y+a=0平行，则l1与l2的距离为（　　）
A. B. 2 C. 3 D. 4
5.如图，空间四边形OABC中，=，=，=，且OM=2MA，BN=NC，则等于（　　）
A. ++ B. +-
C. -++ D. -+
6.在空间直角坐标系O-xyz中，A（2，0，2），B（2，1，0），C（0，4，-1），M（0，m,-5）四点共面，则m的值为（　　）
A. 4 B. 1 C. 6 D. -6
7.若点P（x,y）在以A（-3，1），B（-1，0），C（-2，0）为顶点的△ABC的内部运动（包含边界），则的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
8.点A（6，1）到直线l：（5λ-1）x-（27λ-1）y+22λ=0的最大距离是（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D.
9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点（不包含端点），则下列命题正确的个数是（　　）
①对于任意点Q，都有BQ⊥AB1
②对于任意点Q，不存在BQ∥平面MNP
③过点Q且与BN垂直的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面面积的最大值为
④存在点Q，使得三棱锥A1-BDQ体积为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知，且，则x= .
11.已知A（0，1，1），B（1，2，2），C（1，a,2）三点，若∠BAC是锐角，则实数a的取值范围为 .
12.一束光线从点射出，沿倾斜角为60°的直线射到x轴上，经x轴反射后，反射光线所在的直线方程为 .
13.已知+3与7-5垂直，且-4与7-2垂直，则＜，＞= .
14.如图所示，二面角α-l-β为60°，A，B是直线l上的两点，AC，BD分别在半平面内α，β，且AC⊥l,BD⊥l,AB=2，AC=3，BD=4，则CD的长 ．
15.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子P，Q分别在正方形对角线BD和AE上移动，且，则PQ的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知△ABC中，A（-2，1），B（4，3）
（1）若点M（3，1）为边AC的中点，求过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
（2）若C（3，-2），
（i）求BC边上的高AD所在直线的一般式方程；
（ii）求△ABC的面积.
17.(本小题15分)
已知直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，AA′=，点M、N分别为A′B，B′C′的中点.
（1）求证：MN∥平面A′ACC′；
（2）求A′N与平面BCN夹角的正弦值；
（3）求三棱锥C-MNB的体积.
18.(本小题15分)
已知直线l的方程为y=-（a+1）x+a-2（a∈R）：
（1）求证：直线l必过定点，并写出此定点的坐标；
（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
（3）若直线l不经过平面直角坐标系的第二象限，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）求证：PB⊥平面EFD；
（2）求平面CPB与平面PBD的夹角的正弦值；
（3）线段PA上是否存在点Q，使得FQ与DB所成角为30°，若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由.
20.(本小题15分)
如图直线l过点（3，4），与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，△AOB的面积为24．点P为线段AB上一动点，且PQ∥OB交OA于点Q．
（1）求直线AB斜率的大小；
（2）若△APQ的面积S△APQ与四边形OQPB的面积SOQPB满足：时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
（3）在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】
11.【答案】（-1，2）∪（2，+∞）
12.【答案】
13.【答案】60°
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：（1）因为M（3，1）为边AC的中点，且A（-2，1），B（4，3），
所以C（8，1），
分两类求过C且两坐标轴截距相等的直线：
①截距均为0时，直线过原点，斜率，方程为x-8y=0，
②截距不为0时，设直线方程为x+y=a,代入C点得a=9，方程为x+y-9=0，
故所求直线方程为x-8y=0和x+y-9=0．
（2）（i），因AD为BC边上的高，故AD⊥BC，得，
AD过A（-2，1），由点斜式得，即x+5y-3=0，
所以BC边上的高AD所在直线的一般式方程为x+5y-3=0．
（ii）由kBC=5，结合点B（4，3），由点斜式得y-3=5（x-4），故直线BC的方程为5x-y-17=0，
B（4，3）、C（3，-2），得，
直线BC：5x-y-17=0，点A（-2，1），得点A到BC的距离，
故，
所以△ABC的面积是14．
17.【答案】证明如下，
如图．
连接AB′，AC′，
因为四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，
所以AB′与A′B交于点M，M为AB′的中点，
又因为N为B′C′的中点，MN∥AC′，
又因为平面A′ACC′，且AC′ 平面A′ACC′，
所以MN∥平面A′ACC′
18.【答案】解：（1）证明：直线l整理得a（x-1）+（x+y+2）=0，
由，得，所以直线l必过定点，此定点坐标为（1，-3）．
（2）依题意，-（a+1）≠0，在直线l：y=-（a+1）x+a-2中，
令y=0，得，令x=0，得y=a-2；
可得，解得a=0或a=2，
所以a=0或a=2．
（3）直线l：y=-（a+1）x+a-2的斜率为-（a+1），纵截距为a-2，
由直线l不经过平面直角坐标系的第二象限，得，解得a≤-1，
所以a的取值范围是{a|a≤-1}．
19.【答案】（1）证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），
∴，，
∴，
∴，即PB⊥DE，
又EF⊥PB，且DE∩EF=E，DE，EF 平面EFD，
∴PB⊥平面EFD．
（2）解：由（1）知，，，，
设平面PBD的法向量为，则，
令x1=1，得，
设平面CPB的法向量为，则，
令y2=1，得，
设平面CPB与平面PBD的夹角为θ，，
则，
∴，
即平面CPB与平面PBD的夹角的正弦值为．
（3）解：设，则F（2t,2t,2-2t），，
由EF⊥PB，得，即2 2t+2 （2t-1）+（-2） （1-2t）=0，解得，
∴，
设，
由，得Q（2s,0，2-2s），
∴，
由（1）知，
∵异面直线FQ与DB所成角为30°，
∴，
整理得36s2-12s+1=0，解得，
即，
故存在满足条件的点Q，且Q为线段PA上靠近P的六等分点．
20.【答案】解：（1）显然直线l斜率存在，设直线l方程为y-4=k（x-3），
则直线l交x轴的正半轴于点，交y轴的正半轴于点B（0，4-3k），
得，解得，
所以直线AB斜率为；
（2）由（1）知直线l的方程为：，即4x+3y-24=0，B（0，8），
因，则，
又PQ//OB，则△APQ与△ABO相似，于是有，即，得PQ=4，
此时点P为线段AB中点，所以时，点P为线段AB中点，且PQ=4；
（3）假定在y轴上存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，由（1）知直线l的方程为：4x+3y-24=0，如图，
当∠PQM=90°时，而点M在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，则M必与原点O重合，
设Q（t，0），因|MQ|=|PQ|，则P（t，t），于是有4t+3t-24=0，解得，此时M（0，0），
当∠MPQ=90°时，由PQ//OB，|MQ|=|PQ|知四边形OMPQ为正方形，
设Q（t1，0），则P（t1，t1），M（0，t1），
于是有4t1+3t1-24=0，解得，此时，
当∠PMQ=90°时，由PQ//OB，|MQ|=|PQ|得∠OQM=∠PQM=45°，即|OM|=|OQ|，
设Q（t2，0），则M（0，t2），直线l上点，
显然直线QM斜率为-1，则PM斜率必为1，即，解得，此时，
综上，y轴上存在点M（0，0）或或使△MPQ为等腰直角三角形．
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