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贵州省遵义市2025-2026学年高一上学期学科素养评价
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.一支田径队有运动员人，其中女运动员有人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为的样本如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.一个袋子中有大小和质地相同的个小球，其中有个红球和个白球从袋中不放回地依次随机摸出个小球每次取个小球，记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
6.函数的部分图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.已知，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知，且，则函数在上单调递增的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知幂函数，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 的图象经过第三象限
10.下列结论正确的有( )
A. 若，，则
B. “，”是“”的充分不必要条件
C. 若，，则
D. 若，则
11.设函数，若有个不相等的实根，则的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在上的值域是 ．
13.物理学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．若物体的初始温度是，环境温度是，则经过分钟，物体的温度满足，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，经过分钟，物体的温度为，则再经过分钟，物体的温度为 ．
14.已知数据的平均数，方差为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数且，且．
求的值及的定义域；
求关于的不等式的解集．
16.本小题分
某中学举行了一次“校园学科知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了名学生的竞赛成绩单位：分，得分取正整数，满分为分作为样本进行统计，将成绩整理后，按分成组，得到如图所示的频率分布直方图．

求的值；
估计这次竞赛成绩的平均分各组数据以该组区间的中点值作代表；
若该中学计划奖励竞赛成绩前的学生，求获得奖励的学生竞赛成绩的最低分．
17.本小题分
某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元．
求出该公司本季度增加的利润单位：万元与之间的函数关系式．
若要追加的总成本不超过万元，求的取值范围．
当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？
18.本小题分
某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动。已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立。
若某顾客在两种渠道各抽奖次，求该顾客恰好有次中奖的概率；
若某顾客连续天只参与线上抽奖，每天抽奖次，求该顾客恰好有天中奖的概率；
商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与次线下抽奖，再参与次线上抽奖，若这次抽奖中至少有次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率。
19.本小题分
定义：给定函数，若存在实数、，且、、有意义时，在定义域内恒成立，则称函数具有“”性质．
证明：函数不具有“”性质．
判断函数是否具有“”性质若是，写出、的值；若不是，请说明理由．
设定义域为的奇函数具有“”性质，且当时，，若函数，试讨论在上的零点个数．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意，
则，，
由得，
则定义域为．
由得，，
即，
由于对数函数在单调递增，
则，解得或，
由于，
则关于的不等式的解集为．

16.【答案】解：根据频率分布直方图的性质，可得，
可得，解得．
由知，
由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
，
所以估计这次竞赛成绩的平均分分
由题意知，前的学生对应的频率为，
因为的频率为，的频率为，
所以前的学生的成绩位于之间，
设获得奖励的学生竞赛成绩的最低分为，则，
所以获得奖励的学生竞赛成绩的最低分为分

17.【答案】【详解】由题意，列出函数关系式可得，
，
又因为，
所以；
由题意可知，
因为，
所以，
因为，
所以
，
因为，
所以，
所以的取值范围为；
，
当时，
，
当且仅当时取等号，即时取等号，
即，，
所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大值为万元．

18.【答案】
19.【答案】证明：假设函数具有“”性质，
则存在、使得，
即，
所以，
因为是常数，而不是常数，故等式不成立，
所以函数不具有“”性质 具有，且， 当时，在上的零点个数为个，
当时，在上的零点个数为个，
当时，在上的零点个数为个，
当时，在上的零点个数为个，
当时，在上的零点个数为个
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