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贵州省毕节市2025-2026学年高二上学期期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知正项等比数列，若，则( )
A. B. C. D.
2.设直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转后得直线，有下列四个值：；；；则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.平面与三个坐标面围成四面体的体积是( )
A. B. C. D.
4.在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为( )
A. B. C. D.
5.在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则( )
A. B.
C. D.
6.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 与夹角的余弦值为 D. 若，则共面
10.已知等差数列的前项和为，若，，则
A. 公差 B.
C. 的最大值为 D. 满足的的最小值为
11.双曲线：的左、右焦点分别为，，过上一点作切线与轴交于点，直线与的两条渐近线分别交于点，，满足，则( )
A. B. 满足条件的点有个
C. D. 点为外接圆圆心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在上的最大值为，则实数的值为 ．
13.已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为 ．
14.数列中，定义：使数列的前项的积为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是．
求点的坐标；
求的外接圆的标准方程．
16.本小题分
已知椭圆的离心率为，长轴长为．
求的方程；
过点的直线与交于两点，为坐标原点，若的面积为，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，为矩形，底面，，，为棱的中点，为棱上一点，且，连接，，．

求证：；
求直线与平面所成角的正弦值；
若平面与四棱锥的棱交于点，求的值．
18.本小题分
已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数．
证明：；
若，求；
是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知抛物线过点的动直线与交于两点在第一象限，且为坐标原点．
求的值；
设抛物线在处的切线交于点，求面积的最小值；
面积最小时，过作直线交抛物线于两点．轴且的中点在直线上，证明：直线过定点．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：设，
因为边的高线所在直线方程是，所以，
又，所以，
又点在直线上，所以，
由解得，，所以点的坐标为；
设，则的中点坐标为，
将代入直线的方程得，
将代入直线的方程得，
将联立解得，，即，
设的外接圆的一般方程为，
则，解得
所以的外接圆的一般方程为，
所以的外接圆的标准方程为．

16.【答案】解：由题意椭圆焦点在轴上，且椭圆的长轴长为，
因此，解得．
由可得．
根据椭圆的性质，解得，
则椭圆的方程为：；
依题意过点的直线的斜率存在，
可设直线的方程为，设．
联立直线与椭圆方程得到：，
化简整理得到：，
则，化简得，，
且，，
，解得，
又
，
即，
，
解得，符合的条件，
所以．
17.【答案】【详解】因为底面，底面，所以，
又底面为矩形，所以，
又平面，平面，且、相交于点，
所以平面，又平面，所以，
又，为棱的中点，所以，
又平面，平面，且、相交于点，
所以平面，又平面，所以；
由可得，，，，
所以，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，，，

则，，，
设平面的法向量为，则，即
令，解得，，即平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，则；
因为平面与四棱锥的棱交于点，
设，则，
设，则，，则
所以，所以，
由得，平面的法向量为，
所以，即，解得，
所以的值为．

18.【答案】解：数列的各项均为正数，，则，
两式相减，整理得，而，
所以．
解法：当时，由得，
则，，
于是，数列是公差为的等差数列，
由，，得，则，
．
解法：由，，得，
当时，由得，
因此数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列，
偶数项构成首项为，公差为的等差数列，
．
由，，得，
由知：，则，
假设存在使得数列为等差数列，
则，即，解得，
下面证明：当时，数列为等差数列．
由，，，
得数列是首项为，公差为的等差数列，，
数列是首项为，公差为的等差数列，
因此，，
所以存在使得数列为等差数列，．

19.【答案】解：设，
联立方程
．
由知，故处切线方程为：，即．
同理，点处切线方程为：联立解得．
由及可得．
方程中，．
点到直线的距离．
故，当且仅当时等号成立，故面积的最小值为．
证明如下：
由知，此时，设，
联立方程
，令，得，
，
又
，即，
所以三点共线，故直线过定点．

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