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贵州省遵义市2025-2026学年高二第一学期学科素养评价数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若集合A={x|x＞7}，B={x|x＜2}，则{x|2≤x≤7}=（　　）
A. A∩B B. A∪B C. R（A∩B） D. R（A∪B）
2.已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
3.圆：与圆：的位置关系为（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含
4.若抛物线C：x2=4y上的点P到焦点F的距离为13，则点P的纵坐标为（　　）
A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
5.在平行四边形中，，，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知过点P（3，1）的直线l与双曲线C：交于A，B两点，且P为AB的中点，则l的斜率为（　　）
A. 5 B. 6 C. D.
7.在正三棱柱ABC-A1B1C1容器中，，AA1=11，能够放入该三棱柱的球的最大半径为R，将一些半径为R的小球放入该三棱柱（球要全部进入三棱柱中），则放入的小球个数最多为（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8.已知直线：与圆：交于，两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知F1，F2分别为双曲线C：x2-2y2=6的左、右焦点，P为C上的一点，则（　　）
A. C的虚轴长为 B.
C. C的焦距为3 D. C的渐近线方程为
10.已知点A（1，2，3），B（-1，-1，2），C（2，3，4），则（　　）
A. +=（-1，-2，0）
B.
C. 在上的投影向量为（2，2，2）
D. 点B到直线AC的距离为
11.定义：当x1≠x2且f(x1)f(x2)＞0时，恒成立，则称f(x)是同号增函数．下列函数是同号增函数的是
A. B. f(x)＝tan x C. D. f(x)＝lg(2x-1)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线3x-y=0与直线x+ay-11=0平行，则a= .
13.已知复数z的模为，且z2为纯虚数，请写出一个满足条件的复数：z= .
14.已知F是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，关于原点对称的两点P，Q均在C上，且|QF|+|PF|=6a,∠PFQ=，则C的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某款智能汽车具备“自动泊车”和“自动辅助变道”两项功能.已知该款汽车成功完成“自动泊车”的概率为0.8，成功完成“自动辅助变道”的概率为0.9.假设这两项功能的工作状态相互独立.现对该款智能汽车进行一次变道测试和一次泊车测试.
(1)求汽车两项功能测试都成功的概率；
(2)求汽车恰有一项功能测试成功的概率.
16.(本小题15分)
已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，且是周长为的直角三角形．
(1)求的方程．
(2)设直线：与交于，两点．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求四边形的面积．
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥中，平面，，为的中点，为的中点，为的中点，点在线段上，且，．
(1)证明：平面．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知函数（，）的最小正周期为，最大值为2．
(1)求，；
(2)求的单调递增区间；
(3)已知的三个角，，的对边分别为，，，且，的角平分线，求的最小值．
19.(本小题17分)
已知抛物线C:=mx的准线方程为2x+1=0.
(1)求C的方程.
(2)过点(0,-1)且斜率为k的直线与C交于A,B两个不同的点,O为坐标原点.
(ⅰ)求k的取值范围;
(ⅱ)若k>m,求的取值范围;
(ⅲ)过点A作x轴的垂线,交直线OB于点D,证明:线段AD的中点在一条定直线上.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】AB
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】2+2i,（答案不唯一，只需a=±2，b=±2即可）．
14.【答案】
15.【答案】解：（1）记事件成功完成“自动泊车”，事件成功完成“自动辅助变道”，事件相互独立，
则，汽车两项功能测试都成功的事件为，
所以汽车两项功能测试都成功的概率.
（2）汽车恰有一项功能测试成功的事件为，
因此，
所以汽车恰有一项功能测试成功的概率为0.26.

16.【答案】解：（1）因为是周长为的直角三角形，再由椭圆的定义可得，即.
又因为为直角三角形，且为上顶点，所以为等腰直角三角形，故.
又由，即，代入，解得.
故的方程为.
（2）（ⅰ）将直线：代入，消去x得，
，.
所以.
（ⅱ）由（ⅰ）知，且与异号，
所以..
所以
.
所以四边形的面积为.

17.【答案】解：(1)
因为平面，，故以为原点，
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
已知，则，，，，
因为为的中点，所以点坐标为，即，
又因为为的中点，所以点坐标为，即，
因为为的中点，所以点坐标为，即，
因为，所以，，则，
所以点坐标为，
则，平面的一个法向量为，
因为，所以，
又因为不在平面内，所以平面，
（2）由（1）知，，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，，所以，
因为，设直线与平面所成角为，
因为，
，
，
所以，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.

18.【答案】解：（1）
因为函数的最小正周期为，最大值为2．，
所以，，解得
（2）由（1）可知，
令，解得：，
所以的单调增区间为.
（3）因为，所以，
结合，解得，
由为角平分线，，，
由面积法：
化简得，由余弦定理
设，则，代入得
由均值不等式（当且仅当时取等号）.
在时单调递增，故时，最小，即的最小值为.

19.【答案】解：(1)因为C的准线方程为x=-,
所以-=-,即p=1,
所以m=2p=2,
则C的方程为=2x.
(2)(i)解:依题意得直线l的方程为y=kx-1,
代入=2x,得-(2k+2)x+1=0,
则=4-=8k+4>0,且k0,
所以k的取值范围是(-,0)(0,+).
(ii)设A(,),B(,),
则+=,=,
所以=+
=+(-1)(-1)
=(1+)-k(+)+1
=-+1
=-，
若k>m,即k>2,则0<<,
则-=-1(-,0),
即的取值范围是(-,0).
(iii)证明:因为直线OB的方程为y=x,
所以点D的坐标为(,).
设线段AD的中点为N(,),
则=,=+,
则+=++
=
=
=
==0,
所以点N(,)在直线x+y=0上,
故线段AD的中点在一条定直线上.
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