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贵州省毕节市大方县2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的实部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知两条直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.正项等比数列中，，是方程的两根，则的值是( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
7.在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8. 是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若空间向量，，则在上的投影向量为
B. 若空间向量，满足，则与的夹角为锐角
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
10.阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线， 是抛物线 上的动点，焦点，，下列说法正确的是( )
A. 的方程为 B. 的方程为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.类比于数学史上著名的“冰雹猜想”，任取一个正整数，若是奇数，就将该数加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必得到数字如取，则的值依次为，共需个步骤变成，则称该运算为步运算，则下列说法正确的是( )
A. 当时，的值依次为
B. 当时，该运算为步运算
C. 当运算为步运算时，的值可能有个
D. 当运算为步运算时，的最大值与最小值之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数据，，，的方差为，那么数据，，的方差为 ．
13.意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列数列满足，现从数列的前项中随机抽取项，能被除余的概率是 ．
14.已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有个解，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求的值
若的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知为数列的前项和，，．
求的通项公式；
设，数列的前项和为，求证：．
17.本小题分
已知直线，圆，是上一动点．
若点在轴上，求过点且与圆相切的直线方程；
过点作圆的切线，切点分别为，求证：直线恒过定点．
18.本小题分
如图，在四棱柱中，平面，，，，．，分别为，的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
求直线到平面的距离．
19.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点、均不在轴上，的周长为，且的离心率为．
求椭圆的方程；
若直线被椭圆所截的弦长为，求的值；
若点为椭圆的右顶点，过点不同于点且斜率不为的直线与椭圆相交于，两点点在，之间，若点为线段上的点，满足，且，求的值．
1.【答案】
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13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由余弦定理得
，
又，
所以，
即，，
所以由正弦定理得．
因为的面积为，
所以，解得，
则，
所以，则，
所以的周长为．
16.【答案】解：数列中，由，得，
两式相减得，而，则，
又，，因此，数列是首项为，公差为的等差数列
所以的通项公式．
由知，，
所以
．

17.【答案】解：圆的圆心为，半径．
因为点在与轴上，所以的坐标为，
设过点且与圆相切的直线为，
若的斜率不存在，则的方程为，
圆心到的距离等于，故与圆相切；
若的斜率存在，设的方程为，
即，
由与圆相切，得，，
整理得，解得，所以的方程为．
综上所述，过点且与圆相切的直线方程为或．
证明：设的坐标为，则的中点为，
所以，以为直径的圆的方程为，即，
整理得．
由题可知，，故点在以为直径的圆上，又因为点在圆上，故为圆与以为直径的圆的公共弦，
故将圆与圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为，
由，得，
令得即直线恒过定点．

18.【答案】解：取中点，连接，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
以为原点，方向为轴建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有
分别取，则有、、，，
即、，
则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
由知平面；
故点到平面的距离即为到平面的距离；
，平面的法向量为，
则有，
即点到平面的距离为．

19.【答案】解：根据题意可知，所以
所以椭圆的方程为．
设直线与椭圆的两交点的坐标分别为，，
联立，可得，所以
所以弦长为
，
化简得，即，得，所以的值为．
设，，直线的方程为，
联立得，，
所以
设点，因为，可得，
则，得，故，，
又因为，则，可得，
所以，可得，得或舍，所以．

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