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第一章 空间向量与立体几何
空间向量的数量积及最值
（题型突破）
题型01 求空间向量的夹角
1.核心逻辑
（1）变形余弦公式，通过余弦正负区分锐角、直角、钝角、平角。
（2）坐标法：用坐标分别求出、、，再代入余弦公式求夹角。
2.解题步骤
（1）分步求出、、三个基础量；
①代入余弦公式算出；
②结合反三角函数求出夹角，夹角范围固定。
（2）坐标法
①用坐标计算两向量数量积；
②分别算出两个向量的模；
③代入余弦公式，写出夹角。
3.易错提醒
混淆向量夹角与三角形内角；公式分母只写单个模，遗漏相乘。
【例3】（2026高二·全国·暑假作业）若，则_________．
【答案】
【详解】设，
依题意，，解得
同理可得，
则，
因此，
所以．
【变式1-1】（2026高一·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为3，则，，，，
所以，，
故，
所以向量与夹角的余弦值为.
【变式1-2】（2026高二·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为______.

【答案】
【分析】根据垂直关系可得平面，，根据空间向量数量积求得，，根据夹角公式即可得结果.
【详解】因为平面平面，，
且平面平面，平面，可得平面，
又因为平面，则，
即，，，
则，，且，，，
因为，
则，
即，
又因为，
可得，
所以向量与夹角的余弦值为.
故答案为：.
【变式1-3】（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：

(1)的长；
(2)直线与AC所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】选取基底向量 ，利用向量的数量积运算求解线段长度及异面直线夹角的余弦值.
【详解】（1）设，由题意可得，，
所以
，
所以，即的长为；
（2）因为，
所以
，
又，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为.
▌题型02 求空间向量的模
1.核心逻辑
（1）恒等式；和差模公式，必须先平方再开根号。
（2）坐标法：向量三个坐标分别平方求和，再开算术平方根。
2.解题步骤
（1）对目标向量整体平方，转化为数量积运算；
①展开平方式子，代入已知模长、数量积；
②算出平方结果，开算术平方根，模长只保留非负根。
（2）坐标法
①提取向量坐标；
②计算；
③整体开根号得到向量模长。
3.易错提醒
计算时漏掉交叉项；开方后误取负值。
【例2】（2026高二·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【详解】由向量加法得，
所以.
【变式2-1】（2026高二·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解.
【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
所以，
所以，
所以，
所以．
【变式2-2】（2026高二·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点.
(1)设，试用向量表示；
(2)求线段的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可；
（2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解，
【详解】（1）
.
（2）依题意，，
则
.
【变式2-3】（2026高二·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，平方后求解即可．
【详解】点是的重心，以为起点，则
，
，，
故选：D．
题型03 计算空间向量数量积
1.核心逻辑
（1）依靠数量积定义式与运算律展开计算；满足交换律、分配律、数乘结合律；互相垂直的向量数量积直接为0，简化运算。
（2）坐标法：已知两个向量坐标时，对应坐标相乘后全部相加，快速算出实数结果。
2.解题步骤
（1）拆分复杂向量组合，用分配律全部展开；
①式子中出现垂直向量，直接替换为0简化；
②代入已知模长、夹角余弦值，化简算出最终实数。
（2）坐标法
①写出两个向量坐标；
②分别计算三组坐标乘积；
③三组乘积相加，得到数量积数值。
3.易错提醒
数量积运算结果是实数，不是向量；展开多项式时容易漏项、符号写错。
【例1】（2026高二·福建漳州·期末）已知向量 ，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．0
【答案】A
【详解】 ，故选项A正确．
【变式3-1】（2026高二·甘肃兰州·期中）已知向量，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案.
【详解】由题意，所以.
【变式3-2】（2026高二·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】把用表示，然后根据向量数量积的运算律结合正四面体的性质即可求解.
【详解】因为分别是的中点，所以，
所以
.
故选：C
【变式3-3】（2026高二·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则（ ）
A． B．8 C．-4 D．4
【答案】C
【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】因为，，
所以
.
故选：C.
▌题型04 由空间向量夹角求参数
1.核心逻辑
（1）已知夹角条件，代入余弦等式或不等式；直角满足，锐角，钝角。
（2）坐标法：向量坐标含参数，用参数表示、、，列方程或不等式求解。
2.解题步骤
（1）用参数表示、、；
①根据夹角要求列出等式或不等式；
②求解参数，检验模长不能为0，剔除增根。
（2）坐标法
①写出含参向量坐标，计算数量积与两个模；
②结合夹角条件列关系式；
③解方程/不等式，钝角需额外排除两向量反向共线的情况。
3.易错提醒
求钝角只写，忽略反向共线；不检验模长不为0造成分母无意义。
【例4】（2026高二·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】若共线则存在实数使得，
则，
即，方程组无解，即不存在实数使得共线.
所以若与的夹角为锐角，则，解得.
故实数的取值范围是.
【变式4-1】（2026高二·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则
【答案】C
【分析】设，得出方程组无解，即可判断A，根据判断B，根据判断C，根据投影向量的定义判断D.
【详解】对于A：因为，且，所以，
即，方程组无解，故不存在使得，故A错误；
对于B：若，则，解得，故B错误；
对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确；
对于D：因为，，
若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误；
故选：C
【变式4-2】【多选】（2026高二·广东潮州·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若为钝角，则
D．若在上的投影向量为，则
【答案】BD
【分析】利用空间向量平行建立方程，求解参数判断A，利用空间向量垂直求解方程判断B利用夹角为钝角并结合空间向量数量积的坐标运算可判断C，利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D即可.
【详解】由题意得向量，
对于A，若，则，解得，故A错误；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，若为钝角，则且，
解得且，故C错误，
对于D，若在上的投影向量为，
即，
则，解得，故D正确．
故选：BD．
【变式4-3】（2026高二·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】以为原点建系，根据得出即可判断.
【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
因为，所以，则，
则，
故，
因为为钝角，所以，即，
又一元二次函数，，所以恒成立，
故，得，
故只有B选项满足题意.
故选：B

▌题型05 求投影向量
1.核心逻辑
（1）在上投影向量：；
（2）坐标法：坐标算出投影系数，再乘坐标得到投影向量。
2.解题步骤
（1）计算与；
①算出投影系数，再乘以得到投影向量。
（2）坐标法
①用坐标计算、；
②求出系数；
③系数乘的坐标，写出投影向量坐标。
【例5】（2026高二·四川广安·阶段检测）已知向量，，，且，．
(1)求，，；
(2)求向量与所成夹角的余弦值；
(3)求在上的投影向量（用坐标表示）．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【详解】（1），，，，
又，，.
因此，，.
（2），.
，.
.
因此向量与所成夹角的余弦值为.
（3）在上的投影向量为.
【变式5-1】（2026高二·上海·期中）给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______.
【答案】
【详解】根据向量坐标的计算公式，，
根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为，
即.
【变式5-2】（2026高二·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案.
【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得，
则所求的投影向量为在上的投影向量，易得，
则，所以在上的投影向量为.
故选：C.
【变式5-3】（2026高二·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为.
【详解】因为在正方体中，,
所以正三角形，过点作，垂足为.
则，所以向量在上的投影向量为.
故选：B
▌题型06 利用数量积证明垂直关系
1.核心逻辑
（1）两个非零向量垂直的充要条件；线线、线面垂直均可转化为方向向量数量积为0。
（2）坐标法：两向量坐标对应相乘相加，结果等于0即可证垂直。
2.解题步骤
（1）选取两条直线对应的方向向量；
①展开并化简两个向量的数量积；
②计算结果等于0，补充说明两向量均非零，得出垂直结论。
（2）坐标法
①写出两条直线方向向量的坐标；
②计算坐标形式的数量积；
③结果为0，直接判定向量垂直，对应直线垂直。
3.易错提醒
不说明向量为非零向量；仅观察坐标符号，不完整计算数量积。
【例6】（2026高一·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【分析】根据空间向量共线与垂直的坐标表示，逐一检验即可.
【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误；
对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误；
对于C，当时，，，故C正确；
对于D，当时，，，故D错误.
【变式6-1】（2026高二·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（ ）
A．－9 B．－1 C．1 D．9
【答案】B
【详解】由于，故，故，
，
故的竖坐标为.
【变式6-2】（2026高二·全国·暑假作业）如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点．
(1)求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先判断出是等边三角形，则有，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）利用向量的线性运算和数量积运算证明即可.
【详解】（1）因为，，
所以是等边三角形，
所以，
又因为N是的中点，
所以,
在中，.
（2）由已知
，
所以，
所以.
【变式6-3】（2026高二·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点.
(1)若对角线的长度为时，求的值；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)
由题意得，
则
，故.
【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解；
（2），由数量积的运算律证明即可.
【详解】（1）设，三个向量不共线，
则构成空间的一个基底，且，

，则，故.
（2）略
▌题型07 求空间向量数量积的最值
1.核心逻辑
（1）模固定时，；含参数向量通过平方、配方求取值范围。
（2）坐标法：向量含参数时，数量积转化为关于参数的二次函数，配方法求最值。
2.解题步骤
（1）把数量积整理为含或含参数的代数式；
①利用确定上下边界；
②写出最大值、最小值，标注取等时向量位置关系。
（2）坐标法
①用坐标写出数量积关于参数的二次函数；
②配方，结合参数取值范围确定最值；
③验证取等条件对应的参数真实存在。
3.易错提醒
忽略限制，算出超出合理范围的最值。
【例7】（2026高二·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围.
【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱，
如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，
设，其中，，又，，
所以，，
，
当，且或1时，取得最大值1，
当，且时，取最小值，所以的取值范围为.
解法二：
取CC1中点为D，由极化恒等式得，
又，，
所以的取值范围为.
【变式7-1】（2026高二·天津·阶段检测）P是棱长为2的正方体上底面上的一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，得到向量和，利用向量的数量积化简得到，结合，即可求解.
【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，由正方体的棱长为2，且为上底面上一点，
可设，其中，且，
所以，
则，
因为，可得，
所以取得最小值为，最大值为，所以取值范围为.
故选：C.
【变式7-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为1.
(1)求的值；
(2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解.
（2）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解.
【详解】（1）依题意，．
（2）取中点，则．
而，则，所以．
【变式7-3】（2026高二·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长，
所以，所以，
又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以
所以，
所以，
所以的最大值是.
▌题型08 求空间向量模的最值
1.核心逻辑
（1）模的最值等价于模平方的最值，结合取值范围约束求解。
（2）坐标法：向量坐标含参数，模平方是二次函数，配方求出平方最值后再开算术平方根。
2.解题步骤
（1）对目标向量整体平方，展开为数量积组合；
①结合求出平方的最大、最小值；
②对平方最值开算术平方根，得到模长最值。
（2）坐标法
①写出含参向量坐标，计算模的平方；
②二次函数配方，确定平方区间；
③开根号得到模的最值，标注参数取等条件。
3.易错提醒
求出模平方的最值后，忘记开根号直接当作模长答案。
【例8】在正方体中，，动点满足，则当时，________；当时，的取值范围是________．
【答案】 0
【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标, ，当时，，．，．从而当时，取得最小值，最小值为1；当或，时，取得最大值，最大值为．
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，，，
，，
所以当时，，．
因为，，所以，
所以，，．
所以，
所以，．
当时，取得最小值，最小值为1；
当或，时，取得最大值，最大值为．
所以．
故答案为：0，

【变式8-1】（2026高二·江苏扬州·期中）在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，根据，利用向量数量积的坐标表示得到，最后利用二次函数的性质求解即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设，，其中，，
则，，
，，
据此可得，，，
由空间中两点之间距离公式可得
，
当时，，当时，，
结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为.
故选：B.
【变式8-2】（2026高二·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量坐标运算求出，，再由两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点，
所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，
因为，设，，
，
所以，
所以，
所以，，
所以，
当时，有最小值，当时，有最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【变式8-3】（2026高三·四川·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是______．
【答案】
【分析】首先利用向量垂直的坐标表示，求得点的轨迹方程，再代入两点间的距离公式，求线段长度的取值范围.
【详解】以D为原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，
设，则，
，又，所以，
即，则．
当时，，设，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF，
所以，，
，
当时，，当时，，
所以线段的长度的取值范围是．
故答案为：
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第一章 空间向量与立体几何
空间向量的数量积及最值
（题型突破）
题型01 求空间向量的夹角
1.核心逻辑
（1）变形余弦公式，通过余弦正负区分锐角、直角、钝角、平角。
（2）坐标法：用坐标分别求出、、，再代入余弦公式求夹角。
2.解题步骤
（1）分步求出、、三个基础量；
①代入余弦公式算出；
②结合反三角函数求出夹角，夹角范围固定。
（2）坐标法
①用坐标计算两向量数量积；
②分别算出两个向量的模；
③代入余弦公式，写出夹角。
3.易错提醒
混淆向量夹角与三角形内角；公式分母只写单个模，遗漏相乘。
【例3】（2026高二·全国·暑假作业）若，则_________．
【变式3-1】（2026高一·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2026高二·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为______.

【变式3-3】（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：

(1)的长；
(2)直线与AC所成角的余弦值.
▌题型02 求空间向量的模
1.核心逻辑
（1）恒等式；和差模公式，必须先平方再开根号。
（2）坐标法：向量三个坐标分别平方求和，再开算术平方根。
2.解题步骤
（1）对目标向量整体平方，转化为数量积运算；
①展开平方式子，代入已知模长、数量积；
②算出平方结果，开算术平方根，模长只保留非负根。
（2）坐标法
①提取向量坐标；
②计算；
③整体开根号得到向量模长。
3.易错提醒
计算时漏掉交叉项；开方后误取负值。
【例2】（2026高二·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【变式2-1】（2026高二·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2026高二·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点.
(1)设，试用向量表示；
(2)求线段的长度.
【变式2-3】（2026高二·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（ ）
A． B． C． D．
题型03 计算空间向量数量积
1.核心逻辑
（1）依靠数量积定义式与运算律展开计算；满足交换律、分配律、数乘结合律；互相垂直的向量数量积直接为0，简化运算。
（2）坐标法：已知两个向量坐标时，对应坐标相乘后全部相加，快速算出实数结果。
2.解题步骤
（1）拆分复杂向量组合，用分配律全部展开；
①式子中出现垂直向量，直接替换为0简化；
②代入已知模长、夹角余弦值，化简算出最终实数。
（2）坐标法
①写出两个向量坐标；
②分别计算三组坐标乘积；
③三组乘积相加，得到数量积数值。
3.易错提醒
数量积运算结果是实数，不是向量；展开多项式时容易漏项、符号写错。
【例1】（2026高二·福建漳州·期末）已知向量 ，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．0
【变式1-1】（2026高二·甘肃兰州·期中）已知向量，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式1-2】（2026高二·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（ ）
A．0 B． C． D．
【变式1-3】（2026高二·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则（ ）
A． B．8 C．-4 D．4
▌题型04 由空间向量夹角求参数
1.核心逻辑
（1）已知夹角条件，代入余弦等式或不等式；直角满足，锐角，钝角。
（2）坐标法：向量坐标含参数，用参数表示、、，列方程或不等式求解。
2.解题步骤
（1）用参数表示、、；
①根据夹角要求列出等式或不等式；
②求解参数，检验模长不能为0，剔除增根。
（2）坐标法
①写出含参向量坐标，计算数量积与两个模；
②结合夹角条件列关系式；
③解方程/不等式，钝角需额外排除两向量反向共线的情况。
3.易错提醒
求钝角只写，忽略反向共线；不检验模长不为0造成分母无意义。
【例4】（2026高二·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．
【变式4-1】（2026高二·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则
【变式4-2】【多选】（2026高二·广东潮州·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若为钝角，则
D．若在上的投影向量为，则
【变式4-3】（2026高二·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
▌题型05 求投影向量
1.核心逻辑
（1）在上投影向量：；
（2）坐标法：坐标算出投影系数，再乘坐标得到投影向量。
2.解题步骤
（1）计算与；
①算出投影系数，再乘以得到投影向量。
（2）坐标法
①用坐标计算、；
②求出系数；
③系数乘的坐标，写出投影向量坐标。
【例5】（2026高二·四川广安·阶段检测）已知向量，，，且，．
(1)求，，；
(2)求向量与所成夹角的余弦值；
(3)求在上的投影向量（用坐标表示）．
【变式5-1】（2026高二·上海·期中）给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______.
【变式5-2】（2026高二·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2026高二·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
▌题型06 利用数量积证明垂直关系
1.核心逻辑
（1）两个非零向量垂直的充要条件；线线、线面垂直均可转化为方向向量数量积为0。
（2）坐标法：两向量坐标对应相乘相加，结果等于0即可证垂直。
2.解题步骤
（1）选取两条直线对应的方向向量；
①展开并化简两个向量的数量积；
②计算结果等于0，补充说明两向量均非零，得出垂直结论。
（2）坐标法
①写出两条直线方向向量的坐标；
②计算坐标形式的数量积；
③结果为0，直接判定向量垂直，对应直线垂直。
3.易错提醒
不说明向量为非零向量；仅观察坐标符号，不完整计算数量积。
【例6】（2026高一·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【变式6-1】（2026高二·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（ ）
A．－9 B．－1 C．1 D．9
【变式6-2】（2026高二·全国·暑假作业）如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点．
(1)求的长；
(2)求证：．
【变式6-3】（2026高二·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点.
(1)若对角线的长度为时，求的值；
(2)求证：.
▌题型07 求空间向量数量积的最值
1.核心逻辑
（1）模固定时，；含参数向量通过平方、配方求取值范围。
（2）坐标法：向量含参数时，数量积转化为关于参数的二次函数，配方法求最值。
2.解题步骤
（1）把数量积整理为含或含参数的代数式；
①利用确定上下边界；
②写出最大值、最小值，标注取等时向量位置关系。
（2）坐标法
①用坐标写出数量积关于参数的二次函数；
②配方，结合参数取值范围确定最值；
③验证取等条件对应的参数真实存在。
3.易错提醒
忽略限制，算出超出合理范围的最值。
【例7】（2026高二·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________.
【变式7-1】（2026高二·天津·阶段检测）P是棱长为2的正方体上底面上的一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为1.
(1)求的值；
(2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围．
【变式7-3】（2026高二·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
▌题型08 求空间向量模的最值
1.核心逻辑
（1）模的最值等价于模平方的最值，结合取值范围约束求解。
（2）坐标法：向量坐标含参数，模平方是二次函数，配方求出平方最值后再开算术平方根。
2.解题步骤
（1）对目标向量整体平方，展开为数量积组合；
①结合求出平方的最大、最小值；
②对平方最值开算术平方根，得到模长最值。
（2）坐标法
①写出含参向量坐标，计算模的平方；
②二次函数配方，确定平方区间；
③开根号得到模的最值，标注参数取等条件。
3.易错提醒
求出模平方的最值后，忘记开根号直接当作模长答案。
【例8】在正方体中，，动点满足，则当时，________；当时，的取值范围是________．
【变式8-1】（2026高二·江苏扬州·期中）在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2026高二·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是__________．
【变式8-3】（2026高三·四川·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是______．
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