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重庆市江北中学校2026 2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．[5分]已知直线，则该直线的倾斜角是（ ）
A． B．
C． D．
2．[5分]若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（ ）
A． B．
C． D．
3．[5分]已知直线与直线.“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．[5分]过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
5．[5分]直线与间的距离是（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．[5分]在四面体中，是的重心.记，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．[5分]已知直线的方向向量为，点在直线l上，则点到直线的距离为（ ）
A． B．
C． D．
8．[5分]如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．[6分]下列说法正确的是（ ）
A．若空间中的非零向量，夹角为钝角，则
B．任意空间中的非零向量，，满足
C．所有的直线都有倾斜角
D．若两直线垂直，则它们的斜率互为负倒数
10．[6分]如图所示，长方体，底面是边长为1的正方形，高为2，是的中点，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．平面平面
D．三棱锥的外接球的表面积为
11．[6分]古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为
三、填空题（本大题共3小题）
12．[5分]已知直线，则其在轴上的截距为________.
13．[5分]已知两点到直线的距离相等，则____________．
14．[5分]对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中，_____；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是_____．
四、解答题（本大题共5小题）
15．[15分]已知向量，．
（1）求；
（2）若与垂直，求实数t的值.
16．[15分]已知直线与直线交于点P．
（1）直线过点P且垂直于直线，求直线的方程；
（2）直线经过点P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程．
（注：结果都写成直线方程的一般式）
17．[15分]如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小．
18．[15分]已知直线．
（1）当k变化时,求直线l经过定点P的坐标;
（2）求点到直线距离的最大值,并求此时直线的方程;
（3）若直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点,为坐标原点,求的面积的最小值,并求此时直线的方程．
19．[15分]如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动．
（1）若，证明：平面；
（2）若，且，证明：平面平面；
（3）求二面角的余弦值的最小值．
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】AC
10．【答案】BD
11．【答案】BD
12．【答案】
13．【答案】或
14．【答案】
15．【答案】（1）
（2）
16．【答案】（1）
（2）或
17．【答案】（1）因为平面 ，平面 ，所以，
由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ，
根据线面垂直的判定定理，可得 平面
（2）
18．【答案】（1）;
（2）;
（3）4,.
19．【答案】（1）如图，作出符合题意的图形，
连接，相交于点，连接，
四边形为菱形，所以为中点，
又为中点，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）如图，作出符合题意的图形，
因为，有，
所以，得，
有是靠近的三等分点，则，
又，，，所以，
，，
则，即，，
又，，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（3）

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