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江西省九江市武宁县振风高级中学2026 2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．[5分]已知集合，，下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．[5分]命题：，，命题：，则是的（ ）条件
A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
3．[5分]已知角的终边上一点，则（ ）
A． B． C．1 D．-1
4．[5分]已知函数，则是（）
A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数
C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数
5．[5分]记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．59 B．61 C．63 D．65
6．[5分]已知向量，若，则的值为（ ）
A．1 B． C．4 D．
7．[5分]已知双曲线方程为：，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．[5分]现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．[6分]已知圆台的上、下底面圆半径分别为1和3，母线与底面所成的角为，则（ ）
A．该圆台的母线长为4
B．该圆台的侧面积为
C．该圆台的体积为
D．能在该圆台中自由转动的最大的球的半径为
10．[6分]在中，、、是角、、的对应边，满足，，，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为
11．[6分]已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ）
A．
B．存在点 使
C． 构成的三角形面积最大值为
D．若 恒成立，则 的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．[5分]已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则________．
13．[5分]的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
14．[5分]已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______．
四、解答题（本大题共5小题）
15．[15分]某商场进行抽奖促销活动，抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有 “A”“B”“C”“D”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次．规定：若取出“D”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“A”“B”“C”“D”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“A”“B”“C”三个字的球为三等奖．
（1）求分别获得一、二、三等奖的概率；
（2）设摸球次数为，求 的分布列和数学期望．
16．[15分]在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求;
（2）若，，为的中点，求的长.
17．[15分]如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，满足？若存在，求出的值：若不存在，说明理由．
18．[15分]已知抛物线 ： （ ）的焦点为，点 在抛物线 上，，且的最小值为3．
（1）求抛物线 的方程．
（2）依次构造点列，，， （）．设 ，，．如图，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点．
①求数列和的通项公式；
②记的面积为，当 时，求证：．
19．[15分]已知．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若 ，求实数a的取值范围；
（3）证明：
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】ACD
10．【答案】AC
11．【答案】AD
12．【答案】
13．【答案】-28
14．【答案】64
15．【答案】（1），，
（2）
1 2 3 4
16．【答案】（1）
（2）
17．【答案】（1）取的中点，连接.因为点为棱的中点，
所以，且，又因为，，
所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）
（3）在棱上存在点，满足，此时
18．【答案】（1）
（2）①，；
②由①可得，，
代入得，化简得，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，．
因为，其中，
则，
故，
，得证.
19．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）
（3）令，
．
由（2）可知，当时，，
则.所以 ．
因为，所以在上单调递增，所以，
即．

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