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2.2　双曲线的简单几何性质
【课程标准要求】　1.能通过双曲线的标准方程推导出双曲线的简单的几何性质,从中体会用方程研究几何性质的方法,了解双曲线的简单几何性质,提升数学抽象、直观想象、数学运算素养.2.能通过双曲线简单几何性质的应用,将双曲线的实际问题转化为数学问题,提升数学建模素养.
知识点　双曲线的简单几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
图形
性 质 范围 x≤-a或x≥a,且y∈R y≤-a或y≥a,且x∈R
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点坐标 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
轴长 实轴长=2a,实半轴长=a, 虚轴长=2b,虚半轴长=b
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=,e∈(1,+∞),其中c=
a,b,c 间的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
[做一做] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,且离心率为,过点F1作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为M,若△OMF1的面积等于4(O为坐标原点),则实数b的值等于(　　)
A.4 B.1 C.3 D.2
1.双曲线2x2-y2=-8的实轴长是(　　)
A.2 B.4
C.2 D.4
2.(多选)已知双曲线C:-=1,则(　　)
A.双曲线C的离心率为
B.双曲线C的虚轴长为
C.双曲线C的焦点坐标为(0,±3)
D.双曲线C的渐近线方程为y=±x
3.(2025·全国Ⅰ卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍,则C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.2
4.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m等于(　　)
A.1　 B.2　
C.3　 D.4
基础巩固
1.已知双曲线方程为x2-8y2=32,则(　　)
A.实轴长为4,虚轴长为2
B.实轴长为8,虚轴长为4
C.实轴长为2,虚轴长为4
D.实轴长为4,虚轴长为8
2.已知双曲线C:-=1的焦距为4,则C的渐近线方程是(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
3.中心在原点,对称轴为坐标轴且经过点P(1,3),离心率为的双曲线的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
4.(多选)已知双曲线+=1的实轴长是虚轴长的3倍,则m的值可能是(　　)
A.-1 B.2 C.1 D.12
5.设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,α,β分别为C的两条渐近线的倾斜角,已知点F到其中一条渐近线的距离为,且满足β=5α,则双曲线C的焦距为(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
6.(多选)已知F1,F2分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下焦点,点P是其一条渐近线上一点,且以线段F1F2为直径的圆经过点P,则(　　)
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
C.点P的横坐标为±1
D.△PF1F2的面积为
7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,F2关于C的一条渐近线的对称点为P.若|PF1|=2,则△PF1F2的面积为　　 　　.
8.双曲线-=1 (a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为　　　　.
9.已知双曲线E:-=1.
(1)若m=4,求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程;
(2)若双曲线E的离心率为e∈(,),求实数m的取值范围.
10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点A的坐标是(0,b),且△AF1F2的面积为a2,求双曲线C的渐近线方程;
(2)若以F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,且|F1P|=|OP|(O为原点),求双曲线C的离心率.
能力提升
11.过双曲线-=1的左焦点F1作直线与它的两条渐近线分别交于A,B两点,且=
0,=,O是坐标原点,则双曲线的离心率是(　　)
A.2 B. C. D.3
12.已知双曲线C:-x2=1(a>0),过双曲线上一点M(x0,y0)作直线l,分别与双曲线的两条渐近线交于点P,Q,且M为PQ的中点,O为坐标原点,若双曲线的离心率为,则△OPQ的面积为
　 　　　.
13.如图,某野生保护区监测中心设置在点O处,正西、正东、正北处有3个监测点A,B,C,且|OA|=|OB|=|OC|=30 km.一名野生动物观察员在保护区遇险,发出求救信号,3个监测点均收到求救信号,A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 s.(注:信号每秒传播V0 km)
(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程;
(2)若C点信号失灵,现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描,为保证能接收到信号,扫描半径r至少是多少
应用创新
14.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,点M在C的下支上,过点M作C的一条渐近线的垂线,垂足为D.若|MD|>|F1F2|-|MF1|恒成立,则C的离心率的取值范围是
　　　　. 2.2　双曲线的简单几何性质
【课程标准要求】　1.能通过双曲线的标准方程推导出双曲线的简单的几何性质,从中体会用方程研究几何性质的方法,了解双曲线的简单几何性质,提升数学抽象、直观想象、数学运算素养.2.能通过双曲线简单几何性质的应用,将双曲线的实际问题转化为数学问题,提升数学建模素养.
知识点　双曲线的简单几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
图形
性 质 范围 x≤-a或x≥a,且y∈R y≤-a或y≥a,且x∈R
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点坐标 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
轴长 实轴长=2a,实半轴长=a, 虚轴长=2b,虚半轴长=b
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=,e∈(1,+∞),其中c=
a,b,c 间的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
[做一做] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,且离心率为,过点F1作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为M,若△OMF1的面积等于4(O为坐标原点),则实数b的值等于(　　)
A.4 B.1 C.3 D.2
【解析】 D　由题意知焦点F1到双曲线的一条渐近线的距离为|F1M|=b,因为|OF1|=c,所以|OM|=a.因为e==,所以a=2b,所以=|F1M|·|OM|=b×2b=4,解得b=2.故选D.
知识拓展
(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的开口大小,e越大,开口越大.
(2)焦点到渐近线的距离为b.
(3)等轴双曲线e=,渐近线方程为y=±x.
题型一　双曲线的几何性质
[例1] (1)(多选)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长为6,焦距为10,右焦点为F,则下列结论正确的是(　　)
A.过点F的最短的弦长为
B.双曲线C的离心率为
C.双曲线C上的点到点F距离的最小值为2
D.双曲线C的渐近线方程为y=±x
(2)求双曲线4y2-9x2=-4的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程,并画出该双曲线的草图.
【解析】 (1)CD　因为双曲线C的实轴长为6,焦距为10,故可得2a=6,2c=10,又c2=a2+b2,
故可得a=3,b=4,c=5,则双曲线C的方程为-=1,且F(5,0).
若过点F的直线斜率为零,显然该直线截双曲线的弦长为2a=6<,故A错误;
双曲线的离心率e==,故B错误;
设双曲线上任意一点P(x,y),x∈(-∞,-3]∪[3,+∞),则y2=x2-16,
则|PF|==,
又函数y=x2-10x+9图象的对称轴为直线x=,故当x=3时,|PF|取得最小值2,故C正确;
双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故D正确.故选CD.
(2)【解】 将双曲线化为-=1,可知实半轴长 a==,虚半轴长b=1,
于是有c===,所以焦点坐标为(±,0),
离心率e==,渐近线方程为y=±x,即y=±x.
为画出双曲线的草图,首先在平面直角坐标系中画出渐近线y=±x,且顶点坐标为(±,0),然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标,如取y=1,算出x=≈0.94.由题意,知点(0.94,±1)在双曲线上,将三点(0.94,-1),(,0),(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线,画出第一、第四象限内双曲线的一支,最后由对称性可画出双曲线位于第二、第三象限内的另一支,得双曲线的草图如图所示.
[典例迁移] 若将双曲线的方程变为nx2-my2=mn(m>0,n>0),求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
【解】 把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程为-=1(m>0,n>0),
由此可知,实半轴长a=,
虚半轴长b=,c=,
焦点坐标为(,0),(-,0),
离心率e===,
顶点坐标为(-,0),(,0),
渐近线方程为 y=± x,即y=±x.
由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而得出双曲线的几何性质.
题型二　由双曲线的几何性质求标准方程
[例2] 求符合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上,中心为坐标原点,焦距为6,实轴长为4;
(2)一个焦点为(-,0),一条渐近线方程为y=x;
(3)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1有相同的渐近线,且经过点M(,-).
【解】 (1)设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),焦距为2c,
由题意得
解得a=2,c=3,b2=c2-a2=9-4=5,
故所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)设所求双曲线的方程为2x2-y2=λ(λ≠0),化为标准方程得-=1,
由于该双曲线的一个焦点坐标为(-,0),
则+λ=3,解得λ=2,
因此,该双曲线的标准方程为x2-=1.
(3)在双曲线-=1中,a′=2,b′=,则渐近线方程为y=±x=±x,
因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1有相同的渐近线,所以=,
所以方程可化为-=1,又双曲线C经过点M(,-),代入方程,得-=1,
解得a=1,b=,
所以双曲线C的标准方程为x2-=1.
由双曲线的几何性质求双曲线标准方程的基本思路
根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程可按先定位,再定形的方法,但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用,如在定位方面,可能涉及双曲线的对称轴、对称中心的位置;在定形方面,要注意是否给出了离心率及渐近线方程.解题时,要充分利用这些几何性质.
[变式训练] 与双曲线-y2=1有相同渐近线,且与椭圆+x2=1有共同焦点的双曲线方程是(　　)
A.x2-=1 B.y2-=1
C.-y2=1 D.-x2=1
【解析】 B　因为椭圆+x2=1的焦点(0,±)在y轴上,
所以设所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0),且c2=a2+b2=3,
又双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,所以±=±,即=.
联立解得
所以双曲线方程为y2-=1.故选B.
题型三　求双曲线的离心率
[例3] (1)已知椭圆C1:+=1与双曲线C2:-=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1,F2,且曲线C1,C2在第一象限内的公共点记为P,若∠F1PF2=,则双曲线C2的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
(2)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F和虚轴的一端点B作一条直线,若右顶点A到直线FB的距离等于,则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.2或
C.2或 D.2
【解析】 (1)A　因为椭圆和双曲线有共同的焦点,所以a2+b2=49-7=42,|F1F2|=2.
因为P为两曲线的公共点,所以|PF1|+|PF2|=2=14,|PF1|-|PF2|=2a,
联立得|PF1|=7+a,|PF2|=7-a.
因为∠F1PF2=,所以 cos∠F1PF2==-,
解得a=,则双曲线的离心率为e==.故选A.
(2)D　由题意得S△ABF=|FB|=|AF|b,所以·=(c-a)b,
两边平方整理得5c2-14ac+8a2=0,
所以5e2-14e+8=0,解得e=2或e=(舍去),所以该双曲线的离心率为2.故选D.
求双曲线离心率及取值范围时通常采用的方法
(1)直接法:若可求得a,c,则直接利用e=求解.
(2)解方程法:若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解.
[变式训练] (1)设F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线E与以O为圆心,OF1为半径的圆在第一象限的交点为P,且|PF1|=|PF2|,则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C.13 D.
(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,直线l过原点O且与双曲线C交于P,Q两点,若直线l与直线l′:x-y+2=0相互垂直,且|PQ|=2|FO|,则双曲线C的离心率为(　　)
A.2-1 B.
C.+1 D.2-2
【解析】 (1)D　因为|PF1|=|PF2|,又由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a,
所以|PF1|=6a,|PF2|=4a.
由题意知点P在以F1F2为直径的圆上,
则PF1⊥PF2,
由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
得(6a)2+(4a)2=4c2,
故e2==13,所以e=.故选D.
(2)C　取双曲线的右焦点为F′,连接PF,QF,PF′,QF′,如图.
因为|PQ|=2|FO|,易知四边形PFQF′为矩形,
由题意得直线PQ的斜率k=-,则∠POF=60°,故△POF为等边三角形,则|PF|=c.
在Rt△FPF′中,|PF′|=sin 60°×|FF′|=c,
结合双曲线的定义可得|PF′|-|PF|=c-c=2a,解得e===+1.故选C.
题型四　双曲线简单几何性质的实际应用
[例4] 如图①所示为唐金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工.如图②,该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体.若该金杯主体部分的上杯口外直径为,下底座外直径为,杯高为6,且杯身最细处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍,则双曲线C的离心率为(　　)
A.2 B. C.3 D.4
【解析】 A　因为金杯主体部分的上杯口外直径为,下底座外直径为,杯高为6,且杯身最细处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍,所以 M(,4),N(,-2),且M,N都在双曲线-=1(a>0,b>0)上,所以解得
则c==2,则e==2.故选A.
解决和双曲线有关的实际问题的思路
(1)通过数学抽象,找出实际问题中涉及的双曲线,将原问题转化为数学问题.
(2)确定双曲线的位置及要素,并利用双曲线的方程或几何性质求出数学问题的解.
(3)用解得的结果说明原来的实际问题.
[变式训练] 如图是一个落地青花瓷花瓶,其中底座和瓶口的直径相等,其外形被称为单叶双曲面,可以看成是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶最小横截面的直径为40 cm,最大横截面的直径为60 cm,双曲线的离心率为,则该花瓶的高为(　　)
A.90 cm B.100 cm
C.110 cm D.120 cm
【解析】 B　由该花瓶最小横截面的直径为40 cm,得a=20,又由双曲线的离心率为,得c=20,则b=20,可得双曲线的方程为-=1,当x=30时,可得y=±50,故该花瓶的高为100 cm.故选B.
【学海拾贝】
结论:椭圆、双曲线上任意一点与该曲线上关于中心对称的两点的连线的斜率之积为定值.特别是椭圆C1:+=1(a>b>0)上任意一点与长轴端点的连线的斜率之积为定值-;双曲线C2:
-=1(a>0,b>0)上任意一点与实轴端点连线的斜率之积为定值.
[典例探究] 已知点A(1,0),B(-1,0),动点M满足:直线AM与直线BM的斜率之积为定值m(m≠0).
(1)若点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去点A,B),则m的取值范围是　　　　　　　　;
(2)若点M的轨迹是焦距为4的双曲线(除去点A,B),则m=　 　　.
【答案】 (1)(-∞,-1)　(2)3
【解析】 (1)因为点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆,所以m=-<-1,
即m的取值范围为(-∞,-1).
(2)因为点M的轨迹是焦距为4的双曲线(除去点A,B),所以=m,
又因为a2+b2=c2,a=1,c=2,
所以m=3.
[应用探究] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),A,B是双曲线C上关于原点对称的两点,P是双曲线C上异于A,B的一点,若直线PA与直线PB的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值2,则双曲线的离心率是(　　)
A. B.
C.2 D.
【解析】 B　由结论可知,=2,
所以e===.
故选B.
当堂检测
1.双曲线2x2-y2=-8的实轴长是(　　)
A.2 B.4
C.2 D.4
【解析】 B　双曲线的标准方程为-=1,故实轴长为2a=4.故选B.
2.(多选)已知双曲线C:-=1,则(　　)
A.双曲线C的离心率为
B.双曲线C的虚轴长为
C.双曲线C的焦点坐标为(0,±3)
D.双曲线C的渐近线方程为y=±x
【解析】 ACD　由双曲线的方程-=1,得a=,b=,则c==3,
所以离心率为e==,A正确;虚轴长为2b=2,B错误;
焦点坐标为(0,±3),C正确;
渐近线方程为y=±x=±x,D正确.故选ACD.
3.(2025·全国Ⅰ卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍,则C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.2
【解析】 D　设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c,
由题知,b=a,
于是a2+b2=c2=a2+7a2=8a2,则c=2a,
即e==2.故选D.
4.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m等于(　　)
A.1　 B.2　
C.3　 D.4
【解析】 D　方程9y2-m2x2=1(m>0)可化为-=1(m>0),则a=,b=,取顶点(0,),一条渐近线方程为mx-3y=0,
所以=,
则m2+9=25.因为m>0,所以m=4.
故选D.
基础巩固
1.已知双曲线方程为x2-8y2=32,则(　　)
A.实轴长为4,虚轴长为2
B.实轴长为8,虚轴长为4
C.实轴长为2,虚轴长为4
D.实轴长为4,虚轴长为8
【解析】 B　双曲线方程x2-8y2=32化为标准方程为-=1,可得a=4,b=2,所以双曲线的实轴长为8,虚轴长为4.故选B.
2.已知双曲线C:-=1的焦距为4,则C的渐近线方程是(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
【解析】 A　由题意得解得
即双曲线C的方程为-=1,所以C的渐近线方程是y=±x.故选A.
3.中心在原点,对称轴为坐标轴且经过点P(1,3),离心率为的双曲线的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】 D　由离心率为,所以e2===1+=2,即a=b,
所以设所求双曲线的标准方程为x2-y2=λ(λ≠0),又点P(1,3)在双曲线上,
则λ=1-9=-8,所以所求双曲线的标准方程为-=1.故选D.
4.(多选)已知双曲线+=1的实轴长是虚轴长的3倍,则m的值可能是(　　)
A.-1 B.2 C.1 D.12
【解析】 BD　当双曲线的焦点在x轴上时,11-m>0,m-3<0,所以m<3,则a=,b=,则2=3×2,解得m=2;当双曲线的焦点在y轴上时,11-m<0,m-3>0,所以m>11,
则a=,b=,则2=3×2,解得m=12.故选BD.
5.设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,α,β分别为C的两条渐近线的倾斜角,已知点F到其中一条渐近线的距离为,且满足β=5α,则双曲线C的焦距为(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
【解析】 C　双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0.
因为α,β分别为C的两条渐近线的倾斜角,所以α+β=π.又因为β=5α,所以α=,所以=tan α=.
又双曲线的右焦点F(c,0)到其中一条渐近线bx+ay=0(不妨取这条)的距离为,
所以==b=,所以a=3,c===2,
所以双曲线C的焦距为2c=4.故选C.
6.(多选)已知F1,F2分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下焦点,点P是其一条渐近线上一点,且以线段F1F2为直径的圆经过点P,则(　　)
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
C.点P的横坐标为±1
D.△PF1F2的面积为
【解析】 ACD　双曲线C:y2-x2=1的渐近线方程为y=±x,故A正确.由双曲线的方程可知|F1F2|=2,所以以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误.点P(x0,y0)在圆x2+y2=2上,不妨设点P(x0,y0)在渐近线y=x上,所以解得|x0|=1,则点P的横坐标为±1,故C正确.由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1=,故D正确.故选ACD.
7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,F2关于C的一条渐近线的对称点为P.若|PF1|=2,则△PF1F2的面积为　　 　　.
【答案】 4
【解析】 如图,设PF2与渐近线y=x交于点M,则F2M⊥OM,tan∠MOF2=,sin∠MOF2=,
所以|F2M|=|OF2|sin∠MOF2=b,|OM|==a.因为O,M分别为F1F2与PF2的中点,
所以OM∥PF1且|OM|=|PF1|=1,即a=1.由e==,得c=,b==2.
所以=4=4××2×1=4.
8.双曲线-=1 (a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为　　　　.
【答案】 (1,3]
【解析】 由题意知在双曲线上存在一点P,使得|PF1|=2|PF2|,如图所示.
又|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=2a,
即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|=2a,
即|AF2|≤2a.
所以|OF2|-|OA|=c-a≤2a,
所以c≤3a.
又c>a,
所以a所以1<≤3,
即19.已知双曲线E:-=1.
(1)若m=4,求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程;
(2)若双曲线E的离心率为e∈(,),求实数m的取值范围.
【解】 (1)当m=4时,双曲线方程化为-=1,所以a=2,b=,c=3.所以焦点坐标为(-3,0),(3,0),顶点坐标为(-2,0),(2,0),渐近线方程为 y=±x.
(2)因为e2===1+,e∈(,),所以<1+<2,解得5所以实数m的取值范围是(5,10).
10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点A的坐标是(0,b),且△AF1F2的面积为a2,求双曲线C的渐近线方程;
(2)若以F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,且|F1P|=|OP|(O为原点),求双曲线C的离心率.
【解】 (1)因为A(0,b),△AF1F2的面积为a2,所以×2c×b=a2,两边平方结合c2=a2+b2,
则(a2+b2)b2=2a4,所以()2+()4=2,解得()2=1或()2=-2(舍去),所以=1,
所以双曲线C的渐近线方程是y=±x.
(2)因为以F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,所以|OF1|=|OP|=c,
所以|F1P|=|OP|=c.
在△POF1中,由余弦定理可得cos∠POF1===-,
所以∠POF1=,则∠POF2=,所以=tan∠POF2=,即b=a.
又b2=c2-a2,所以c2=4a2,所以e==2,所以双曲线C的离心率为2.
能力提升
11.过双曲线-=1的左焦点F1作直线与它的两条渐近线分别交于A,B两点,且=
0,=,O是坐标原点,则双曲线的离心率是(　　)
A.2 B. C. D.3
【解析】 A　如图,由题意可得双曲线的渐近线的方程为y=±x.
由·=0,=,
因为A为线段F1B的中点,OA⊥F1B,
所以OB=OF1=c,则△BOF1为等腰三角形.
所以∠AOF1=∠BOA,
连接F2B,由双曲线的渐近线的性质可得∠AOF1=∠F2OB,
所以∠AOF1=∠BOA=∠F2OB=60°,
所以=tan 60°=,即b2=3a2.
所以双曲线的离心率为e====2,所以e=2.故选A.
12.已知双曲线C:-x2=1(a>0),过双曲线上一点M(x0,y0)作直线l,分别与双曲线的两条渐近线交于点P,Q,且M为PQ的中点,O为坐标原点,若双曲线的离心率为,则△OPQ的面积为
　 　　　.
【答案】 2
【解析】 因为双曲线的离心率为,可得e==,解得a=2,所以双曲线的方程为-x2=1,可得其渐近线方程为y=±2x,不妨设P(m,2m),Q(n,-2n),则M(,m-n),
因为点M在C上,所以-()2=1,
可得mn=-1,设直线OP的倾斜角为θ,则tan θ=2,
可得sin∠POQ=sin(π-2θ)=2sin θcos θ==,
所以S△OPQ=|OP||OQ|sin∠POQ=·××=2.
13.如图,某野生保护区监测中心设置在点O处,正西、正东、正北处有3个监测点A,B,C,且|OA|=|OB|=|OC|=30 km.一名野生动物观察员在保护区遇险,发出求救信号,3个监测点均收到求救信号,A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 s.(注:信号每秒传播V0 km)
(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程;
(2)若C点信号失灵,现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描,为保证能接收到信号,扫描半径r至少是多少
【解】 (1)设观察员可能出现的位置为点P(x,y),由题意,得|PB|-|PA|=×V0=40<|AB|=60,
故点P的轨迹为双曲线的左支,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0,x<0),又2a=40,2c=60,
所以b2=c2-a2=500,故点P的轨迹方程为-=1(x<0).
(2)设轨迹上一点为M(x,y),则|MC|==,又-=1,
所以x2=y2+400,所以|MC|==≥20,
当且仅当y=时,|MC|取得最小值20,故扫描半径r至少是20 km.
应用创新
14.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,点M在C的下支上,过点M作C的一条渐近线的垂线,垂足为D.若|MD|>|F1F2|-|MF1|恒成立,则C的离心率的取值范围是
　　　　.
【答案】 (1,)
【解析】 如图,过点F2作渐近线的垂线,垂足为E,设|F1F2|=2c,
则点F2到渐近线y=±x的距离|EF2|==b.由双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=2a,
故|MF1|=|MF2|+2a,所以|MD|+|MF1|=|MD|+|MF2|+2a≥|EF2|+2a=b+2a,
即|MD|+|MF1|的最小值为2a+b,因为|MD|>|F1F2|-|MF1|恒成立,所以|MD|+|MF1|>|F1F2|恒成立,
即2a+b>2c恒成立,所以b>2c-2a,即b2>4c2+4a2-8ac,即c2-a2>4c2+4a2-8ac,
所以3c2+5a2-8ac<0,即3e2-8e+5<0,解得1

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