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3.1　抛物线及其标准方程
【课程标准要求】　1.能从几何情境中认识抛物线的几何特征,了解抛物线的定义和几何图形,提升直观想象的核心素养.2.能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程,运用坐标法推导出抛物线的标准方程,了解抛物线的标准方程,并能用它解决简单的问题,进一步体会建立曲线方程的方法,提升直观想象、数学运算的核心素养.
知识点一　抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线.这个定点F叫作抛物线的焦点,这条定直线l叫作抛物线的准线.
[思考] 在抛物线的定义中,如果定直线l经过定点F,则满足到定点和定直线距离相等的点的轨迹是什么图形
提示: 过点F且与直线l垂直的直线.
知识点二　抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px(p>0) (,0) x=-
y2=-2px(p>0) (-,0) x=
x2=2py(p>0) (0,) y=-
x2=-2py(p>0) (0,-) y=
[做一做] 焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为　　　　　　　　.
【答案】 x2=10y或x2=-10y
【解析】 设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,即m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y或x2=-10y.
知识拓展
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.
(2)抛物线的开口大小及方向取决于一次项变量(x或y)的系数及其符号.
题型一　抛物线的定义
[例1] (1)在平面内,“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　.
【答案】 (1)B　(2)9
【解析】 (1)当定点在定直线上时,点P的轨迹可以是过该定点且与该定直线垂直的直线;若点P的轨迹为抛物线,则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离,故应为必要不充分条件.故选B.
(2)设M(x0,y0),由题意x0+1=10,得x0=9.
理解抛物线的定义是解决问题的关键,要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征,但要注意的是定点不在定直线上.
[变式训练] (1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,经过点A(x0,2),且F为抛物线C的焦点,若|AF|=3|OF|,则p等于(　　)
A. B.1 C. D.2
(2)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在抛物线C上,若M到直线x=-3的距离为7,则|MF|等于(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】 (1)C　如图,因为点A(x0,2)在抛物线上,
|AF|=3|OF|,
所以x0+=,
所以x0=p,
所以A(p,2),所以4=2p2,解得p=.故选C.
(2)B　抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,如图,
因为点M在C上,且M到直线x=-3的距离为7,
可得M到直线x=-1的距离为7-2=5,即点M到准线的距离为5,
根据抛物线的定义,可得点M到焦点的距离等于点M到准线的距离,
所以|MF|=5.故选B.
题型二　抛物线的标准方程
角度1　利用定义求方程
[例2] (1)已知动圆M经过定点A(1,0),且和直线x=-1相切,则点M的轨迹方程为(　　)
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=-2x D.y2=-4x
(2)若点P与点(2,0)之间的距离比点P到直线x=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为(　　)
A.y2=4x B.x2=4y
C.y2=8x D.x2=8y
【解析】 (1)B　因为动圆M经过定点A(1,0),且和直线x=-1相切,所以点M到点A(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,即点M的轨迹为以点A(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,所以=1,解得p=2,所以点M的轨迹方程为y2=4x.故选B.
(2)C　由题意得,点P与点(2,0)之间的距离等于点P到直线x=-2的距离,所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线,设其方程为y2=2px(p>0),则=2,解得p=4,所以点P的轨迹方程是y2=8x.故选C.
根据题意转化为抛物线的定义,然后找到焦点和准线的距离,即可求得抛物线的标准方程.
[变式训练] 已知圆C与过点(-1,0)且垂直于x轴的直线l仅有1个公共点,且与圆C′:x2+y2-6x+5=0外切,则点C的轨迹方程为(　　)
A.y2=12x B.y2=6x
C.+=1 D.+y2=1
【解析】 A　由题意得,直线l:x=-1,
且圆C′:(x-3)2+y2=4,
设点C到直线l的距离为r,
则点C到l′:x=-3与点C到C′的距离相等,都是r+2,故点C的轨迹是以C′为焦点,以l′为准线的抛物线,故方程为y2=12x.故选A.
角度2　待定系数法求方程
[例3] 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)已知抛物线的顶点在坐标原点,准线方程为y=.
(2)开口朝右的抛物线上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5.
【解】 (1)由题意得焦点在y轴的负半轴上,所以设抛物线的方程为x2=-2py(p>0).因为=,所以p=,故抛物线的标准方程为x2=-y.
(2)由条件知抛物线开口朝右,所以设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
M到准线的距离等于它到焦点的距离,则3+=5.所以p=4.
所以抛物线的标准方程为y2=8x.
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
[变式训练] 求经过点P(-2,-4)的抛物线的标准方程.
【解】 如图,因为点P在第三象限,所以满足条件的抛物线的标准方程有两种情形y2=-2p1x(p1>0)和x2=-2p2y(p2>0).
分别将点P的坐标代入方程可以解得p1=4,p2=.
因此,满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为y2=-8x,x2=-y.
题型三　抛物线的定义与标准方程的应用
[例4] (1)已知抛物线y2=16x的焦点为F,定点 A(4,3),点P为抛物线上一点,则|PA|+|PF|的最小值为(　　)
A.8 B.8
C.6 D.6
(2)(2025·全国Ⅱ卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】 (1)A　如图,抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),其准线方程为l:x=-4,作PN⊥l于点N,作AB⊥l于点B,
所以|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|=4-(-4)=8,当且仅当P为AB与抛物线的交点时取得等号,所以|PA|+|PF|的最小值为8.故选A.
(2)C　如图,对lBF:y=-2x+2,令y=0,
则x=1,
所以F(1,0),p=2,即抛物线C:y2=4x,故抛物线的准线方程为x=-1,
故B(-1,4),则yA=4,代入抛物线C:y2=4x得xA=4.
所以|AF|=|AB|=xA+=4+1=5.故选C.
(1)在抛物线方程中,焦点到准线的距离p称为焦参数,求抛物线方程只要确定p值即可.
(2)如果抛物线的标准方程是y2=2px(p>0),那么抛物线上的点P(x0,y0)到焦点的距离为x0+.
(3)抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等,据此可以实现“距离”的转化,常用于解决一些最值问题.
[变式训练] 已知抛物线C:y2=12x的焦点为F,准线为l,点A在C上,AB⊥l于B,若∠FAB=,则|AF|等于(　　)
A.4 B.12
C. D.2
【解析】 B　如图,由题知抛物线C:y2=12x,开口向右,p=6,记准线l与x轴交于点D,
因为AB⊥l,根据抛物线的定义有|AF|=|AB|,
因为∠FAB=,
所以△ABF为正三角形,
所以∠AFB=,∠AFx=,
所以∠BFD=.
因为焦点到准线的距离为p=6,
所以|BF|=12,所以|AF|=12.
故选B.
当堂检测
1.焦点坐标为(-1,0)的抛物线的标准方程是(　　)
A.y2=-2x B.x2=2y
C.x2=-4y D.y2=-4x
【解析】 D　因为抛物线的焦点坐标是(-1,0),所以可设抛物线方程为y2=-2px(p>0),所以-=-1,则p=2,所以抛物线的标准方程为y2=-4x.故选D.
2.若抛物线y2=16x上的点M到焦点的距离为8,则点M到y轴的距离是(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
【解析】 A　因为抛物线的方程为y2=16x,所以2p=16,解得p=8,所以准线方程为x=-=-4.
又因为点M到焦点的距离为8,所以点M到准线的距离为8,则点M到y轴的距离为8-4=4.故选A.
3.已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点P(2,t)在C上且|PF|=4,则F的坐标为(　　)
A.(2,0) B.(-2,0)
C.(4,0) D.(-4,0)
【解析】 A　因为F是抛物线C:y2=2px的焦点,所以 F(,0).又|PF|=4,由抛物线的定义可知 |PF|=2+=4,解得p=4,所以F(2,0).故选A.
4.若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,正三角形OAB的面积为4,则该抛物线的方程是　　　　.
【答案】 y2=x
【解析】 由题可知AB⊥x轴,由于正三角形OAB的面积是4,故|AB|2=4,故|AB|=4,正三角形OAB的高为2,故可设点A的坐标为(2,2),代入抛物线方程得4=4p,解得p=,故所求抛物线的方程为y2=x.
基础巩固
1.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　)
A.圆 B.椭圆
C.直线 D.抛物线
【解析】 D　由题意可知,动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等,满足抛物线的定义.故选D.
2.抛物线y2=8px(p>0),F为焦点,则p表示(　　)
A.F到准线的距离
B.F到准线距离的
C.F到准线距离的
D.F到y轴的距离
【解析】 B　设y2=2mx(m>0),则m表示焦点到准线的距离,又2m=8p,所以p=.故选B.
3.已知抛物线y2=8x上一点P到焦点F的距离为6,则PF的中点到y轴的距离为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】 A　已知抛物线y2=8x,则p=4,焦点F(2,0),准线l:x=-2,结合抛物线定义可知,点P到准线的距离为xP+=6,则xP=4,所以PF的中点的横坐标为=3,即PF的中点到y轴的距离为3.故选A.
4.已知某抛物线的顶点为坐标原点,焦点在直线x-2y-2=0上,则该抛物线的标准方程为(　　)
A.y2=8x
B.x2=-4y
C.y2=-8x或x2=4y
D.y2=8x或x2=-4y
【解析】 D　直线x-2y-2=0与x轴的交点为(2,0),与y轴的交点为(0,-1),当抛物线的焦点在x轴上时,可得焦点坐标为(2,0),此时抛物线的标准方程为y2=8x;当抛物线的焦点在y轴上时,可得焦点坐标为(0,-1),此时抛物线的标准方程为x2=-4y.故选D.
5.记抛物线E:y2=4x的焦点为F,点A在E上,B(2,1),则|AF|+|AB|的最小值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】 B　过点A作直线x=-1的垂线,垂足为D,
则|AF|=|AD|,
则|AF|+|AB|=|AD|+|AB|≥3,当且仅当A为BD与抛物线的交点时,等号成立,
如图所示.
所以|AF|+|AB|的最小值为3.
故选B.
6.已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,若抛物线C的准线l与x轴的交点为M,P为抛物线上一点,且|FM|=|FP|=2,则△PFM的面积为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 B　抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(,0),准线l:x=-,M(-,0),由|FM|=2,得p=2,抛物线C:y2=4x,设点P(x0,y0),由|FP|=2,得x0+1=2,解得x0=1,因此PF⊥FM,所以△PFM的面积S△PFM=|FM||FP|=2.故选B.
7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P为抛物线C上一点,过点P作抛物线的准线的垂线,垂足为M,且∠MPF=,则|PF|=　　　　.
【答案】
【解析】如图,由抛物线定义可知|PF|=|PM|,所以△PMF为等腰三角形,
因为∠MPF=,
所以∠MFO=,
则|MF|==4,
所以|PF|=.
8.已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为　　　　.
【答案】 6
【解析】 设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),因为弦AB的中点的横坐标为2,所以x1+x2=4,由抛物线的定义可知,|AF|+|BF|=x1+x2+2=6,故|AF|+|BF|≥|AB|,即|AB|≤6,当AB过焦点F时取得最大值6.
9.抛物线的焦点F在x轴正半轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5,求抛物线的标准方程.
【解】 抛物线的开口向右,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),当y=-3时,x=,
则|AF|=+=5,
即p2-10p+9=0,
解得p=1或p=9,
所以抛物线的标准方程为y2=2x或y2=18x.
10.已知动点M到点F(2,0)的距离比它到直线x=-3的距离小1.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)求点M与点A(6,0)的距离的最小值,并指出此时点M的坐标.
【解】 (1)因为动点M到点F(2,0)的距离比它到直线x=-3的距离小1,所以动点M到点F(2,0)的距离与它到直线x=-2的距离相等,所以动点M的轨迹是以F(2,0)为焦点,以直线x=-2为准线的抛物线,所以动点M的轨迹方程为y2=8x.
(2)设M(,m),则|MA|===,
当m2=16,即m=±4时,|MA|取得最小值4,所以当点M的坐标为(2,4)或(2,-4)时,
点M与点A的距离最小,最小值为4.
能力提升
11.(多选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,顶点为O,点M(x0,y0)在抛物线C上,若 |MF|=3,则(　　)
A.x0=2 B.y0=2
C.|OM|= D.S△OMF=
【解析】 AD　由题意可知F(1,0),由|MF|=x0+1=3,可得x0=2,故A正确;
当x=2时,y2=8,解得y=±2,
即y0=±2,故B错误;
|OM|===2,故C错误;
S△OMF=×|OF|×|y0|=×1×2=,故D正确.故选AD.
12.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若=2,
|AF|=3,则此抛物线方程为　　　　　　.
【答案】 y2=3x
【解析】 如图,作AE⊥准线于点E,BD⊥准线于点D,
设|BD|=a,
由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a,|CB|=2|BF|=2a,
故∠BCD=30°.
在直角三角形ACE中,因为|AE|=|AF|=3,|AC|=|AF|+|FC|=3+3a,所以3+3a=6,从而得a=1.
设准线与x轴交于点G,则|FG|=|FC|=,所以p=,则抛物线方程为y2=3x.
13.已知圆C与两圆C1:x2+(y+4)2=1,C2:x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;
(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.
【解】 (1)由题意,两圆C1:x2+(y+4)2=1,C2:x2+(y-2)2=1,可得两圆半径都为1,
两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得|CC1|=|CC2|,
可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,
又因为C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,
所以圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.
(2)因为m=n,
所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,
故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,
点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,
从而=1,
即p=2,
所以点M的轨迹Q的方程是x2=4y.
应用创新
14.已知抛物线方程为y2=16x,焦点为F.圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1,设P为抛物线上的点, Q为圆上的一点,则|PF|+|PQ|的最小值为(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】 C　如图,由抛物线方程为y2=16x,得焦点F(4,0),准线方程为x=-4,过点P作准线的垂线,垂足为N,因为点P在抛物线上,所以|PF|=|PN|,
所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|,当Q点固定不动时,P,Q,N三点共线,即QN垂直于准线时和最小,
又Q在圆上运动,由圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1得圆心M(5,1),半径r=1,
所以|QN|min=|MN|-r=8.
故选C.3.1　抛物线及其标准方程
【课程标准要求】　1.能从几何情境中认识抛物线的几何特征,了解抛物线的定义和几何图形,提升直观想象的核心素养.2.能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程,运用坐标法推导出抛物线的标准方程,了解抛物线的标准方程,并能用它解决简单的问题,进一步体会建立曲线方程的方法,提升直观想象、数学运算的核心素养.
知识点一　抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线.这个定点F叫作抛物线的焦点,这条定直线l叫作抛物线的准线.
[思考] 在抛物线的定义中,如果定直线l经过定点F,则满足到定点和定直线距离相等的点的轨迹是什么图形
提示: 过点F且与直线l垂直的直线.
知识点二　抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px(p>0) (,0) x=-
y2=-2px(p>0) (-,0) x=
x2=2py(p>0) (0,) y=-
x2=-2py(p>0) (0,-) y=
[做一做] 焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为　　　　　　　　.
1.焦点坐标为(-1,0)的抛物线的标准方程是(　　)
A.y2=-2x B.x2=2y
C.x2=-4y D.y2=-4x
2.若抛物线y2=16x上的点M到焦点的距离为8,则点M到y轴的距离是(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
3.已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点P(2,t)在C上且|PF|=4,则F的坐标为(　　)
A.(2,0) B.(-2,0)
C.(4,0) D.(-4,0)
4.若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,正三角形OAB的面积为4,则该抛物线的方程是　　　　.
基础巩固
1.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　)
A.圆 B.椭圆
C.直线 D.抛物线
2.抛物线y2=8px(p>0),F为焦点,则p表示(　　)
A.F到准线的距离
B.F到准线距离的
C.F到准线距离的
D.F到y轴的距离
3.已知抛物线y2=8x上一点P到焦点F的距离为6,则PF的中点到y轴的距离为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
4.已知某抛物线的顶点为坐标原点,焦点在直线x-2y-2=0上,则该抛物线的标准方程为(　　)
A.y2=8x
B.x2=-4y
C.y2=-8x或x2=4y
D.y2=8x或x2=-4y
5.记抛物线E:y2=4x的焦点为F,点A在E上,B(2,1),则|AF|+|AB|的最小值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
6.已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,若抛物线C的准线l与x轴的交点为M,P为抛物线上一点,且|FM|=|FP|=2,则△PFM的面积为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P为抛物线C上一点,过点P作抛物线的准线的垂线,垂足为M,且∠MPF=,则|PF|=　　　　.
8.已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为　　　　.
9.抛物线的焦点F在x轴正半轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5,求抛物线的标准方程.
10.已知动点M到点F(2,0)的距离比它到直线x=-3的距离小1.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)求点M与点A(6,0)的距离的最小值,并指出此时点M的坐标.
能力提升
11.(多选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,顶点为O,点M(x0,y0)在抛物线C上,若 |MF|=3,则(　　)
A.x0=2 B.y0=2
C.|OM|= D.S△OMF=
12.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若=2,
|AF|=3,则此抛物线方程为　　　　　　.
13.已知圆C与两圆C1:x2+(y+4)2=1,C2:x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;
(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.
应用创新
14.已知抛物线方程为y2=16x,焦点为F.圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1,设P为抛物线上的点, Q为圆上的一点,则|PF|+|PQ|的最小值为(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9

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