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3.2　抛物线的简单几何性质
【课程标准要求】　1.能在直观认识抛物线特点的基础上,用抛物线的标准方程推导出抛物线的简单几何性质,从中体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,了解抛物线的简单几何性质,提升直观想象、数学运算和逻辑推理的核心素养.2.了解抛物线的简单应用,将抛物线的实际问题转化为数学问题,提升数学建模的核心素养.
知识点　抛物线的几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
图象
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点 坐标 (,0) (-,0) (0,) (0,-)
准线 方程 x=- x= y=- y=
顶点坐标 (0,0)
离心率 e=1
题型一　抛物线的几何性质
[例1] (1)(多选)关于抛物线y2=-2x,下列说法正确的是(　　)
A.开口向左
B.焦点坐标为(-1,0)
C.准线方程为x=1
D.对称轴为x轴
(2)下列命题正确的是(　　)
A.抛物线C:y2=-8x的焦点坐标为(2,0)
B.抛物线C:y2=-8x的准线方程为x=-2
C.抛物线C:y2=2px关于x轴对称
D.抛物线C:y2=2px关于y轴对称
1.顶点在原点,对称轴为y轴,顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(　　)
A.x2=16y B.x2=8y
C.x2=±8y D.x2=±16y
2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为(　　)
A.(,±) B.(,±)
C.(,) D.(,)
3.(多选)下列关于抛物线y2=10x的说法正确的是(　　)
A.焦点在y轴上
B.焦点在x轴上
C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足的坐标可能为(2,1)
4.如图是一座抛物线形拱桥,当水面处于l位置时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.当水面下降到宽为6 m时,拱顶到水面的距离为　　　　m.
基础巩固
1.若点 (m,n) 在抛物线 y2=-13x 上,则下列点中,一定在该抛物线上的是(　　)
A.(-m,-n) B.(m,-n)
C.(-m,n) D.(-n,-m)
2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点M(x0,3),点M到抛物线C的焦点F的距离为3,则抛物线C的准线方程为(　　)
A.x=- B.x=-3
C.x=-1 D.x=-2
3.经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为7,那么p=(　　)
A.2 B.14 C. D.
4.在平面直角坐标系中,抛物线C:y2=8x,P为x轴正半轴上一点,线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点,若∠OAP=120°,则四边形OAPB的周长为(　　)
A.64 B.64 C.80 D.80
5.(多选)已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,O为坐标原点,M是C上一点,FM的延长线交 y轴于点N.若M为FN的中点,则(　　)
A.C的准线方程为x=-4
B.点F的坐标为(0,4)
C.|FN|=12
D.△ONF的面积为16
6.(多选)设抛物线C:y2=3x的焦点为F,点A为C上一点.若|FA|=3,则直线FA的倾斜角可能是(　　)
A. B. C. D.
7.已知圆 x2+y2=1 与抛物线 y2=2px(p>0) 交于 A,B 两点,与抛物线的准线交于 C,D 两点,且坐标原点 O 是线段 AC 的中点,则 p 的值为　　　　.
8.如图是一座大桥,该桥是独塔地锚式回转缆悬索桥,大桥主跨OA长约500 m,主塔AB的高约100 m.主缆OB是以O为顶点且开口向上的抛物线C的一部分,则主塔顶端B到抛物线C的焦点F的距离为　　　　m.
9.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
10.已知抛物线y2=8x.
(1)写出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴方程,以及x的取值范围.
(2)设O为坐标原点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
能力提升
11.如图,一个工业凹槽的横断面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的最大半径为(　　)
A. B.1 C.2 D.
12.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0),则抛物线的方程为
　　　　　　.
13.如图,A地在B地东偏北45°方向相距2 km处,且B到高铁线l(近似看成直线)的距离是 4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到l的距离,现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计).
(1)试建立适当的直角坐标系求曲线形公路PQ所在曲线的方程.
(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离),才能使得架设电路所用电线长度最短 并求出最短长度.
应用创新
14.在如图所示的圆锥中,AB为底面圆的直径,M为PB的中点,用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥,所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高|PO|=4,底面半径|OA|=4,则该抛物线的焦点到准线的距离为　　　　. 3.2　抛物线的简单几何性质
【课程标准要求】　1.能在直观认识抛物线特点的基础上,用抛物线的标准方程推导出抛物线的简单几何性质,从中体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,了解抛物线的简单几何性质,提升直观想象、数学运算和逻辑推理的核心素养.2.了解抛物线的简单应用,将抛物线的实际问题转化为数学问题,提升数学建模的核心素养.
知识点　抛物线的几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
图象
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点 坐标 (,0) (-,0) (0,) (0,-)
准线 方程 x=- x= y=- y=
顶点坐标 (0,0)
离心率 e=1
题型一　抛物线的几何性质
[例1] (1)(多选)关于抛物线y2=-2x,下列说法正确的是(　　)
A.开口向左
B.焦点坐标为(-1,0)
C.准线方程为x=1
D.对称轴为x轴
(2)下列命题正确的是(　　)
A.抛物线C:y2=-8x的焦点坐标为(2,0)
B.抛物线C:y2=-8x的准线方程为x=-2
C.抛物线C:y2=2px关于x轴对称
D.抛物线C:y2=2px关于y轴对称
【解析】 (1)AD　抛物线y2=-2x开口向左,故A正确;焦点坐标为(-,0),故B错误;准线方程为x=,故C错误;对称轴为x轴,故D正确.故选AD.
(2)C　抛物线C:y2=-8x的焦点坐标为(-2,0),故A错误;抛物线C:y2=-8x的准线方程为x=2,故B错误;抛物线C:y2=2px关于x轴对称,故C正确,D错误.故选C.
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口方向:由抛物线的标准方程看图象开口方向,关键是看一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
(3)定值:焦点到准线的距离为p,过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p,离心率恒等于1.
[变式训练] (多选)关于抛物线y=-4x2,下列描述正确的是(　　)
A.开口向下,准线方程为y=
B.开口向下,焦点坐标为(0,-)
C.开口向左,焦点坐标为(-1,0)
D.开口向左,准线方程为x=1
【解析】 AB　由题意知抛物线方程可化为x2=-,
所以图象开口向下,焦点坐标为(0,-),准线方程为y=.
故选AB.
题型二　抛物线的几何性质的应用
[例2] 已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线 y2=2px(p>0)上,求这个三角形的边长.
【解】如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2.又|OA|=|OB|,
所以+=+,
即-+2px1-2px2=0,
整理,得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.
因为x1>0,x2>0,2p>0,
所以x1=x2,
由此可得|y1|=|y2|,
即线段AB关于x轴对称,
由此可得∠AOx=30°.
所以y1=x1.
由解得y1=2p,
所以|AB|=2y1=4p,即这个三角形的边长为4p.
利用抛物线的几何性质可以解决的问题
(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.
[变式训练] (1)(多选)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,|MF|=5,若y轴上存在点A(0,2),使得=0,则p的值可以为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且∠AFO=120°(O为坐标原点),AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是　　　　.
【答案】 (1)AD　(2)4
【解析】 (1)由题意可得,以MF为直径的圆过点A(0,2).设点M(x,y),由抛物线的定义知|MF|=x+=5,得x=5-.
因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式,得圆心的横坐标为=.
由已知可得圆的半径也为,
据此可知该圆与y轴相切于点A(0,2),
故圆心的纵坐标为2,则点M的纵坐标为4,
即点M(5-,4),
代入抛物线方程得p2-10p+16=0,
解得p=2或p=8.
故选AD.
(2)由抛物线方程可知F(1,0),准线l的方程为 x=-1.如图,设点A在第一象限,且其坐标为(x0,y0),过A作AH⊥x轴于点H.
在Rt△AFH中,
|FH|=x0-1.
由∠AFO=120°,得∠AFH=60°,故y0=|AH|=(x0-1),所以点A的坐标为(x0,(x0-1)),代入抛物线方程可得3-10x0+3=0,解得x0=3或x0=(舍去),
所以点A的坐标为(3,2),
故S△AKF=×(3+1)×2=4.
题型三　抛物线的几何性质在实际中的应用
[例3] 如图,探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成,光源位于抛物线的焦点处,这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60 cm,灯的深度为
40 cm.
(1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点,光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方
(2)为了使反射的光更亮,增大反射镜的表面积,将灯口圆的直径增大到66 cm,并且保持光源与顶点的距离不变,求探照灯的深度.
【解】 (1)如图,在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系,以反射镜的顶点为原点,以旋转轴为x轴(抛物线开口方向是x轴的正方向),以1 cm 为单位长度,则可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0).灯口圆与轴截面在第一象限的交点A的坐标为(40,30),代入抛物线方程得302=2p·40,解得p=,则焦点坐标为(,0).故光源应安置在旋转轴上与顶点相距 cm,
即5.625 cm处.
(2)由(1)可得抛物线方程为y2=x,灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为=33,故将y=33代入抛物线方程求得x==48.4.此时,探照灯的深度为48.4 cm.
求抛物线实际问题的五个步骤
[变式训练] 如图,一隧道内设双行线公路,其横断面由长方形的三条边和一段抛物线围成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m.
(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,求该抛物线的方程.
(2)若行车道总宽度AB为7 m,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少(精确到 0.1 m).
【解】 (1)根据题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0).由题图可知点(5,-5)在抛物线上,
所以25=10p,即p=.所以该抛物线的方程为x2=-5y(-5≤x≤5).
(2)如图,过点B作BD⊥AB,交抛物线于点D.设车辆高为h m,则|DB|=h+0.5,故D(3.5,h-6.5),代入方程x2=-5y,解得h=4.05,
所以通过隧道的车辆限制高度为4.0 m.
【学海拾贝】
抛物线的焦点弦的性质
(1)如图,抛物线的焦点为F,准线为l,顶点为O,F在准线上的投影为K(|KF|=p),线段KF的垂直平分线为g,过焦点F的弦为AB,A,B在准线l上的投影分别为A′,B′,则:
①以AF为直径的圆与直线g相切,以BF为直径的圆与直线g相切,以AB为直径的圆与准线l相切,以A′B′为直径的圆过点F(四个圆);
②A′,O,B三点共线,B′,O,A三点共线(两组三点共线);
③通径的长度为2p,+=(两个定值).
(2)如果抛物线方程为y2=2px(p>0),焦点为F,焦点弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则
①x1x2=,y1y2=-p2;②|AB|=x1+x2+p;③如果直线AB的倾斜角为α,则 |AB|=(α≠0°),其中较长的焦半径为|AF|=(α≠0°),较短的焦半径为|BF|=.
[典例探究] 已知抛物线y2=2px(p>0),F为其焦点,l为其准线,过点F任作一条直线交抛物线于A,B两点,点A′,B′分别为点A,B在l上的投影,M为A′B′的中点,给出下列命题:
①A′F⊥B′F;②AM⊥BM;③A′F∥BM.
其中真命题是　　　　　　　(填序号).
【答案】 ①②③
【解析】 根据题意,作图如下.
因为A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,由抛物线的定义,得|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|.又A′,B′分别为A,B在l上的投影,所以∠AA′F=∠AFA′=∠A′FO,∠BB′F=∠BFB′=∠B′FO.所以∠A′FO+∠B′FO=90°.所以 A′F⊥B′F,即①正确.
取AB的中点N,连接MN,则|MN|=·(|AF|+|BF|)=|AB|,所以AM⊥BM,
即②正确.
由②得AM平分∠A′AF,
所以A′F⊥AM.
又因为BM⊥AM,
所以A′F∥BM,即③正确.
[应用探究] 已知抛物线C:y2=2px(p>0),其焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交抛物线C于A,B(其中A在x轴上方)两点,A,B两点在抛物线的准线上的投影分别为M,N,若|MF|=2,|NF|=2,则等于(　　)
A. B.2 C.3 D.4
【解析】 C　由抛物线的定义可得|AF|=|AM|,|BF|=|BN|.
设准线与x轴的交点为D(图略),
因为AM∥DF,所以∠AMF=∠MFD.
又|AM|=|AF|,所以∠AMF=∠AFM.
所以∠AFM=∠MFD.
同理可得∠BFN=∠NFD,
所以∠MFN=90°.
所以|MN|2=|MF|2+|NF|2=(2)2+22=16.
所以|MN|=4.
又因为S△MNF=|MN|·|DF|=|MF|·|NF|,
所以|DF|=p=.
所以cos∠MFD===,
即∠MFD=60°,
则∠AFM=60°,
所以直线AB的倾斜角θ=180°-60°-60°=60°.
所以|AF|=,|BF|=.
所以==3.故选C.
当堂检测
1.顶点在原点,对称轴为y轴,顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(　　)
A.x2=16y B.x2=8y
C.x2=±8y D.x2=±16y
【解析】 D　抛物线顶点在原点,对称轴为y轴,则其标准方程为x2=±2py(p>0).已知顶点到准线的距离为4,故=4,解得p=8,因此抛物线的标准方程为x2=±16y.故选D.
2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为(　　)
A.(,±) B.(,±)
C.(,) D.(,)
【解析】 B　设抛物线的焦点为F,顶点为O,点P坐标为(x0,y0).
由条件及抛物线的定义知,|PF|=|PO|,
又 F(,0),所以x0=.
所以=,所以y0=±.故选B.
3.(多选)下列关于抛物线y2=10x的说法正确的是(　　)
A.焦点在y轴上
B.焦点在x轴上
C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足的坐标可能为(2,1)
【解析】 BD　因为抛物线y2=10x的焦点在x轴上,所以B正确,A错误;
设M(1,y0)是抛物线y2=10x上的一点,则|MF|=1+=1+=≠6,所以C错误;
由于抛物线y2=10x的焦点坐标为(,0),当过该焦点的直线斜率存在时,设其方程为y=k(x-),若由原点向该直线作垂线,垂足的坐标为(2,1)时,k=-2,此时存在符合题意的垂线,所以D正确.故选BD.
4.如图是一座抛物线形拱桥,当水面处于l位置时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.当水面下降到宽为6 m时,拱顶到水面的距离为　　　　m.
【答案】 4.5
【解析】 以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴,建立平面直角坐标系(图略),设抛物线方程为x2=my(m<0),将点(2,-2)代入x2=my,得m=-2,所以x2=-2y.将点(3,y0)代入抛物线方程得9=-2y0,解得y0=-4.5.所以拱顶到水面的距离为4.5 m.
基础巩固
1.若点 (m,n) 在抛物线 y2=-13x 上,则下列点中,一定在该抛物线上的是(　　)
A.(-m,-n) B.(m,-n)
C.(-m,n) D.(-n,-m)
【解析】 B　由抛物线关于x 轴对称易知,点 (m,-n) 一定在该抛物线上.故选B.
2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点M(x0,3),点M到抛物线C的焦点F的距离为3,则抛物线C的准线方程为(　　)
A.x=- B.x=-3
C.x=-1 D.x=-2
【解析】 A　抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,则|MF|=x0+=3.又M在抛物线上,所以9=2px0,联立得9=2p(3-),即p2-6p+9=0,解得p=3,故准线方程为x=-.故选A.
3.经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为7,那么p=(　　)
A.2 B.14 C. D.
【解析】 A　设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB的中点M的横坐标为7,所以x1+x2=14,所以14+p=,所以p=2.故选A.
4.在平面直角坐标系中,抛物线C:y2=8x,P为x轴正半轴上一点,线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点,若∠OAP=120°,则四边形OAPB的周长为(　　)
A.64 B.64 C.80 D.80
【解析】 A　由题意得,线段AB与OP互相垂直平分,则四边形OAPB为菱形.设点P(2t,0),t>0,则线段OP的垂直平分线l的方程为x=t,令l与x轴交于点H,如图.
因为∠OAP=120°,所以∠OAH=∠OAP=60°.所以|AH|==.所以点A的坐标为(t,),将其代入抛物线C:y2=8x的方程,得=8t,所以t=24.在直角三角形OAH中,|OA|=2|AH|=2××24=
16,所以四边形OAPB的周长为4|OA|=64.故选A.
5.(多选)已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,O为坐标原点,M是C上一点,FM的延长线交 y轴于点N.若M为FN的中点,则(　　)
A.C的准线方程为x=-4
B.点F的坐标为(0,4)
C.|FN|=12
D.△ONF的面积为16
【解析】 ACD　如图,不妨设点M位于第一象限,
设抛物线的准线l与x轴交于点F′,作MB⊥l于点B,NA⊥l于点A.
由抛物线的解析式可得准线方程为x=-4,故选项A正确;
由y2=16x,得点F的坐标为(4,0),故选项B不正确;
在直角梯形ANFF′中,由|AN|=4,|FF′|=8,得中位线|BM|==6,
由抛物线的定义知|MF|=|MB|=6,结合题意,有|MN|=|MF|=6,
则|FN|=|FM|+|NM|=6+6=12,故选项C正确;
由|ON|==8,得=×8×4=16,故选项D正确.
故选ACD.
6.(多选)设抛物线C:y2=3x的焦点为F,点A为C上一点.若|FA|=3,则直线FA的倾斜角可能是(　　)
A. B. C. D.
【解析】 AC　设抛物线的准线为l,当点A在x轴上方时,如图,作AH⊥l于点H,则|AH|=|FA|=3.作FE⊥AH于点E,则|AE|=3-=.在Rt△AEF中,cos∠EAF==,所以∠EAF=,即直线FA的倾斜角为.同理,当点A在x轴下方时,直线FA的倾斜角为.故选AC.
7.已知圆 x2+y2=1 与抛物线 y2=2px(p>0) 交于 A,B 两点,与抛物线的准线交于 C,D 两点,且坐标原点 O 是线段 AC 的中点,则 p 的值为　　　　.
【答案】
【解析】 易得抛物线的准线方程为x=-,
所以由对称性得点A(,±p),
代入圆的方程,得+(±p)2=1,
解得p=(负值已舍去).
8.如图是一座大桥,该桥是独塔地锚式回转缆悬索桥,大桥主跨OA长约500 m,主塔AB的高约100 m.主缆OB是以O为顶点且开口向上的抛物线C的一部分,则主塔顶端B到抛物线C的焦点F的距离为　　　　m.
【答案】 725
【解析】 以O为坐标原点,过O且与主塔AB平行的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,连接BF,则B(500,100).
设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则5002=2p·100,解得p=1 250,
所以抛物线C的准线方程为y=-625,|BF|=100+625=725(m).
9.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
【解】 设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题知M(0,-).
因为|AF|=3,
所以y0+=3.
因为|AM|=,
所以+=17,
所以=8,代入方程x2=2py,得8=2p·(3-),解得p=2或p=4.故所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
10.已知抛物线y2=8x.
(1)写出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴方程,以及x的取值范围.
(2)设O为坐标原点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
【解】 (1)顶点坐标为(0,0),焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2,对称轴方程为y=0,x的取值范围为[0,+∞).
(2)由|OA|=|OB|可知点A,B关于x轴对称,不妨设A(x1,y1),y1>0,则B(x1,-y1),
若焦点F(2,0)是△OAB的重心,则=2,所以x1=3,代入y2=8x,解得y1=2(舍去负值),
所以|OA|=|OB|==,|AB|=4,所以△OAB的周长为2+4.
能力提升
11.如图,一个工业凹槽的横断面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的最大半径为(　　)
A. B.1 C.2 D.
【解析】 B　如图,设钢球的圆心为(0,y0)(y0>0).若钢球触及凹槽的最底部,则钢球的半径r=y0.抛物线上的点(x,y)与圆心之间的距离的平方为d2=x2+(y-y0)2=2y+(y-y0)2=y2+2(1-y0)y+,若d2的最小值在 y=0 处取到,则钢球触及凹槽的最底部,
故此二次函数图象的对称轴应满足1-y0≥0,所以y0≤1,
所以012.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0),则抛物线的方程为
　　　　　　.
【答案】 y2=8x
【解析】 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
则其准线方程为x=-.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
因为|AF|+|BF|=8,
所以x1++x2+=8,即x1+x2=8-p.
因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,
所以|QA|=|QB|,
即=.
又=2px1,=2px2,
所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.
因为AB与x轴不垂直,所以x1≠x2,
故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,
即p=4.从而抛物线方程为y2=8x.
13.如图,A地在B地东偏北45°方向相距2 km处,且B到高铁线l(近似看成直线)的距离是 4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到l的距离,现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计).
(1)试建立适当的直角坐标系求曲线形公路PQ所在曲线的方程.
(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离),才能使得架设电路所用电线长度最短 并求出最短长度.
【解】 (1)如图,
取经过点B且垂直于l的直线为y轴,垂足为K,
并使原点与线段BK的中点重合,建立直角坐标系,则B(0,2),A(2,4).
因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到直线l的距离,
所以PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点,l为准线的抛物线.
设抛物线方程为x2=2py(p>0),则p=4.
所以曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2=8y.
(2)要使架设电路所用电线长度最短,
即|MA|+|MB|最小,
过M作MH⊥l,垂足为H,
所以|MA|+|MB|=|MA|+|MH|,
当A,M,H三点共线时,|MA|+|MB|取得最小值,此时M(2,),位于A地正南方且与A地相距 km处,架设电路所用电线最短长度为6 km.
应用创新
14.在如图所示的圆锥中,AB为底面圆的直径,M为PB的中点,用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥,所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高|PO|=4,底面半径|OA|=4,则该抛物线的焦点到准线的距离为　　　　.
【答案】 2
【解析】 如图,连接OM.因为AB为底面圆的直径,|PO|=4,|OA|=4,所以|PA|=|PB|=4,则|PA|2+|PB|2=|AB|2,所以AP⊥PB,则△PAO和△PAB都是等腰直角三角形.因为M是PB的中点,O是AB的中点,所以PA∥OM,|OM|=|PA|=2.截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M,故O在截面上,根据对称性可知抛物线的对称轴为OM,焦点在OM上.建立以M为原点,OM为x轴,过点M的垂线为y轴的平面直角坐标系,设抛物线与圆锥底面交点为E,
则xE=|OM|=2,yE=|OA|=4,设抛物线方程为y2=2px(p>0),则16=2p×2,解得p=2.
故该抛物线焦点(,0)到准线x=-的距离为p,即2.

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