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4.1　直线与圆锥曲线的交点
基础巩固
1.直线y=x+1与椭圆+=1的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
【解析】 A　因为直线过点(0,1),且点(0,1)在椭圆内部,所以可推断直线与椭圆相交.故选A.
2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则下列结论正确的是(　　)
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
【解析】 C　因为直线y=kx-k=k(x-1)过定点(1,0),且点(1,0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部,所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.故选C.
3.直线y=x+3与双曲线-=1的公共点个数是(　　)
A.1 B.2 C.1或2 D.0
【解析】 A　因为直线y=x+3与双曲线-=1的一条渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个公共点.故选A.
4.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是(　　)
A.(-,) B.(0,)
C.(-,0) D.(-,-1)
【解析】 D　由消去y,整理,得(k2-1)x2+4kx+10=0.
由题可知,方程(k2-1)x2+4kx+10=0有两个不同的正根,分别设为x1,x2,
则
解得-5.不论k为何值,直线y=kx+1与椭圆+=1有公共点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.[1,+∞)
C.[1,7)∪(7,+∞) D.(0,7)
【解析】 C　法一　由 mx2+7(kx+1)2=7m,
整理可得(m+7k2)x2+14kx+7-7m=0,
所以Δ=(14k)2-4(m+7k2)(7-7m)≥0,
即-1+m+7k2≥0 m≥-7k2+1,
所以m≥(-7k2+1)max=1,
因为m≠7,所以m∈[1,7)∪(7,+∞).故选C.
法二　从所给直线y=kx+1入手可知直线过定点(0,1),所以若过定点的直线均与椭圆有公共点,则该点位于椭圆的内部或椭圆上,所以+≤1.即≤1 m≥1.因为+=1是椭圆,所以m≠7.故m的取值范围是[1,7)∪(7,+∞).故选C.
6.(多选)已知直线l的方程为ax-y+1=0,a∈R,则下列说法正确的是(　　)
A.直线l与抛物线x2=2y有两个公共点
B.直线l与椭圆+y2=1一定有两个公共点
C.直线l与圆(x-1)2+y2=4一定有两个公共点
D.满足与双曲线-y2=1有且只有一个公共点的直线l有2条
【解析】 AC　由题知直线l过定点M(0,1).对于A,因为点M(0,1)在抛物线x2=2y内部且直线l的斜率存在,所以直线l与抛物线x2=2y有两个公共点,故A正确;对于B,M为椭圆的上顶点,则直线l与椭圆相交或相切,即有一个或两个公共点,故B错误;对于C,因为(0-1)2+12=2<4,所以点M在圆内,则直线l与圆一定有两个公共点,故C正确;对于D,满足题意的直线l有4条,其中有2条直线与双曲线相切,有2条直线与双曲线的渐近线平行,故D错误.故选AC.
7.过点P(0,1)且与抛物线y2=2x有且只有1个公共点的直线有　　　　条.
【答案】 3
【解析】 如图,设过点P(0,1)的直线为l,则当直线l与x轴平行时,与抛物线有1个公共点;当直线l和抛物线相切(有两条切线)时,直线与抛物线也只有1个公共点.
综上,过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有1个公共点的直线有3条.
8.已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍,则m=　　　　.
【答案】 -
【解析】 对于y=x+m,令y=0,得x=-m,记M(-m,0).
易得椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),
由△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍,可得|F1M|=2|F2M|,所以|-+m|=2|+m|,
所以m=-或m=-3.
联立消去y,可得4x2+6mx+3m2-3=0,因为直线y=x+m与椭圆C有两个交点,
所以Δ=36m2-16(3m2-3)>0,解得m2<4,所以m=-3不符合题意,故m=-.
9.已知离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),O是坐标
原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线x=ky+3与C交于相异的两点,求k的取值范围.
【解】 (1)依题意得
解得a=,b=2,c=1,
所以椭圆方程为+=1.
(2)将直线方程与椭圆方程联立方程组消去x,
整理,得(4k2+5)y2+24ky+16=0.
因为直线与椭圆C交于相异的两点,所以Δ=(24k)2-64(4k2+5)>0,解得k>1或k<-1,即k的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).
10.已知平面内两个定点A(-2,0),B(2,0),过动点M作直线AB的垂线,垂足为N,且||2=
.
(1)求点M的轨迹E的方程;
(2)若直线l:y=kx+1与曲线E有且仅有一个公共点,求实数k的取值.
【解】 (1)设点M的坐标为(x,y),则N(x,0),
=(0,-y),=(x+2,0),=(x-2,0).
因为||2=·,
所以y2=x2-4,即x2-y2=4.
所以点M的轨迹E的方程为x2-y2=4.
(2)将直线方程与曲线方程联立方程组
消去y, 得(1-k2)x2-2kx-5=0.
①当1-k2=0,即k=±1时,直线l与曲线E的渐近线平行,满足题意;
②当时,直线l与曲线E相切,满足题意,解得k=±.
综上,实数k的取值为±1,±.
能力提升
11.已知点P是抛物线y2=2x上任意一点,则点P到直线l:x-y+=0的距离的最小值为(　　)
A. B.
C. D.2
【解析】 D　设与抛物线相切,且与直线l平行的直线方程为x-y+m=0(m≠).由整理,得y2-2y+2m=0,所以Δ=4-8m=0,解得m=.所以满足条件的切线方程为x-y+=0,切线与直线l之间的距离d==2,即点P到直线l的距离的最小值为2.
故选D.
12.若椭圆x2+=a2(a>0)和连接A(1,1),B(2,3)两点的线段恒有公共点,则实数a的取值范围为　　　　　　　.
【答案】 [,]
【解析】 线段AB与椭圆有公共点,其等价条件是点A在椭圆内或边界上,点B在椭圆外或边界上.由此得解得≤a≤.
应用创新
13.已知点A(0,-3)和点P(3,)在椭圆C:+=1(a>b>0)上.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)若点B为直线x-2y+6=0与椭圆C的公共点,求△ABP的面积.
【解】 (1)因为点A(0,-3)和点P(3,)在椭圆C:+=1(a>b>0)上,
所以
解得即
所以椭圆C的标准方程为+=1,
所以c2=a2-b2=3,所以c=,
所以椭圆C的离心率为e==.
(2)联立消去x得2y2-9y+9=0,解得y=或y=3,所以B(-3,)或B(0,3),如图所示.
当B(-3,)时,由点P(3,)知直线BP方程为y=,且|PB|=6,
点A(0,-3)到直线BP的距离为+3=,
所以△ABP的面积为×6×=;
当B(0,3)时,由点A(0,-3)知直线AB的方程为x=0,且|AB|=6,
点P(3,)到直线AB的距离为3,
所以△ABP的面积为×6×3=9.
综上,△ABP的面积为或9.
14.已知点M(0,1),直线l:y=-2,若某直线上存在点P,使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1,则称该直线为“最远距离直线”,则下列所有正确结论的序号是　　　　.
①点P的轨迹是一条线段;
②点P的轨迹与直线l:y=-2没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点);
③y=x-是“最远距离直线”;
④y=-2x-6不是“最远距离直线”.
【答案】 ②③④
【解析】 对于①,由题意可得,点P到点M的距离比到直线l的距离小1,即等价于点P到点M的距离等于到直线l′:y=-1的距离,所以点P的轨迹是以M(0,1)为焦点,直线l′:y=-1为准线的抛物线,其方程为x2=4y,故①错误;
对于②,由①知,点P的轨迹方程为x2=4y,而无解,所以点P的轨迹与直线l:y=-2没有交点,即两者没有交会的轨迹,故②正确;
对于③,因为要满足“最远距离直线”,则直线必须与上述抛物线x2=4y有交点,由得x2-4x+2=0,Δ=(-4)2-4×1×2=8>0,所以方程组有解,所以y=x-是“最远距离直线”,故③正确;
对于④,由得x2+8x+24=0,Δ=82-4×1×24=-32<0,所以方程组无解,所以y=-2x-6不是“最远距离直线”,故④正确.4.1　直线与圆锥曲线的交点
基础巩固
1.直线y=x+1与椭圆+=1的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则下列结论正确的是(　　)
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
3.直线y=x+3与双曲线-=1的公共点个数是(　　)
A.1 B.2 C.1或2 D.0
4.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是(　　)
A.(-,) B.(0,)
C.(-,0) D.(-,-1)
5.不论k为何值,直线y=kx+1与椭圆+=1有公共点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.[1,+∞)
C.[1,7)∪(7,+∞) D.(0,7)
6.(多选)已知直线l的方程为ax-y+1=0,a∈R,则下列说法正确的是(　　)
A.直线l与抛物线x2=2y有两个公共点
B.直线l与椭圆+y2=1一定有两个公共点
C.直线l与圆(x-1)2+y2=4一定有两个公共点
D.满足与双曲线-y2=1有且只有一个公共点的直线l有2条
7.过点P(0,1)且与抛物线y2=2x有且只有1个公共点的直线有　　　　条.
8.已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍,则m=　　　　.
9.已知离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),O是坐标
原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线x=ky+3与C交于相异的两点,求k的取值范围.
10.已知平面内两个定点A(-2,0),B(2,0),过动点M作直线AB的垂线,垂足为N,且||2=
.
(1)求点M的轨迹E的方程;
(2)若直线l:y=kx+1与曲线E有且仅有一个公共点,求实数k的取值.
能力提升
11.已知点P是抛物线y2=2x上任意一点,则点P到直线l:x-y+=0的距离的最小值为(　　)
A. B.
C. D.2
12.若椭圆x2+=a2(a>0)和连接A(1,1),B(2,3)两点的线段恒有公共点,则实数a的取值范围为　　　　　　　.
应用创新
13.已知点A(0,-3)和点P(3,)在椭圆C:+=1(a>b>0)上.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)若点B为直线x-2y+6=0与椭圆C的公共点,求△ABP的面积.
14.已知点M(0,1),直线l:y=-2,若某直线上存在点P,使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1,则称该直线为“最远距离直线”,则下列所有正确结论的序号是　　　　.
①点P的轨迹是一条线段;
②点P的轨迹与直线l:y=-2没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点);
③y=x-是“最远距离直线”;
④y=-2x-6不是“最远距离直线”.

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