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4.2　直线与圆锥曲线的综合问题
基础巩固
1.直线y=x+1 被椭圆 +=1 所截得的线段中点的坐标是 (　　)
A.(,) B.(,)
C.(-,) D.(-,-)
2.已知垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A,B两点,且|AB|=4,则直线AB的方程为(　　)
A.x=3 B.x=
C.y=3 D.y=
3.已知斜率为1的直线过椭圆+y2=1的右焦点交椭圆于A,B两点,则弦AB的长是(　　)
A. B. C. D.
4.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(　　)
A.x=- B.x=-1
C.x=- D.x=-2
5.已知双曲线C:x2-y2=2,过右焦点的直线交双曲线于A,B两点,若AB中点的横坐标为4,则弦AB的长为 (　　)
A.3 B.4 C.6 D.6
6.(多选)已知点O为坐标原点,直线y=x-1 与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,则下列说法正确的是(　　)
A.|AB|=8
B.OA⊥OB
C.△AOB的面积为2
D.线段AB的中点到直线x=0的距离为2
7.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,点A在B的上方,若|AF|=4|BF|,则直线AB的斜率为　　　　.
8.已知直线l交椭圆+=1于M,N两点,椭圆与y轴的正半轴交于点B,若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线l的方程是　　　　　　　　　.
9.椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(,1)且离心率为,F为椭圆的右焦点,过F的直线交椭圆C于M,N两点,定点A(-4,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若△AMN面积为3,求直线MN的方程.
10.在平面直角坐标系中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足kAM-kBM=-2.
(1)求点M的轨迹C的方程.
(2)设斜率存在的直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点.
能力提升
11.(多选)已知椭圆的方程为+y2=1,斜率为k的直线l不经过原点O,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.直线AB与OM一定垂直
B.若点M坐标为(1,-1),则直线l的方程为x-4y-5=0
C.若直线l的方程为y=x+1,则点M的坐标为(3,)
D.若直线l过椭圆焦点,则1<|AB|<4
12.已知双曲线C:x2-=1(t>0)的离心率为,A,B分别是C的左、右顶点,P是C上异于A,B的一动点,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,请写出所有满足条件=0的定点Q的坐标:　　　　　　　.
13.①离心率e=;②椭圆C过点(1,);③△PF1F2面积的最大值为.从以上三个条件中任选一个,补充在下面横线处,并解决下列两个问题.
设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P,Q两点,已知椭圆C的短轴长为2,　　　　.(填序号)
(1)求椭圆C的方程.
(2)若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点N,求证:为定值.
应用创新
14.过双曲线C:-=1(0基础巩固
1.直线y=x+1 被椭圆 +=1 所截得的线段中点的坐标是 (　　)
A.(,) B.(,)
C.(-,) D.(-,-)
【解析】 C　联立方程组 消去 y 并整理,得 3x2+4x-2=0.
设直线与椭圆的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点 M(x0,y0),
所以x1+x2=-,x0==-,
y0=x0+1=,
所以中点的坐标为(-,).故选C.
2.已知垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A,B两点,且|AB|=4,则直线AB的方程为(　　)
A.x=3 B.x=
C.y=3 D.y=
【解析】 A　垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A,B两点,且|AB|=4,又抛物线y2=4x关于x轴对称,则A(x,2),B(x,-2).将点A坐标代入抛物线方程可得12=4x,解得x=3.故选A.
3.已知斜率为1的直线过椭圆+y2=1的右焦点交椭圆于A,B两点,则弦AB的长是(　　)
A. B. C. D.
【解析】 B　因为椭圆方程为+y2=1,所以椭圆右焦点的坐标为(,0),
所以直线AB的方程为y=x-.
由得5x2-8x+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,
于是|AB|=|x1-x2|=×=.故选B.
4.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(　　)
A.x=- B.x=-1
C.x=- D.x=-2
【解析】 B　抛物线的焦点为F(,0),
所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,
即x=y+,代入y2=2px,消去x,
得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0,
由根与系数的关系得=p=2(y1,y2分别为点A,B的纵坐标),
所以抛物线的标准方程为y2=4x,准线方程为x=-1.故选B.
5.已知双曲线C:x2-y2=2,过右焦点的直线交双曲线于A,B两点,若AB中点的横坐标为4,则弦AB的长为 (　　)
A.3 B.4 C.6 D.6
【解析】 D　由双曲线C:-=1,得c2=4.
设双曲线C 的右焦点为 F,则 F(2,0).
根据题意得过点F 的直线斜率存在,且不为±1,设直线方程为 y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),
由化简,
得(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0,
所以xA+xB=,xAxB=.
因为AB 中点的横坐标为 4,
所以xA+xB==8,
解得 k2=2.
所以xAxB==10,
则=-4xAxB=82-4×10=24,
则|AB|===6.故选D.
6.(多选)已知点O为坐标原点,直线y=x-1 与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,则下列说法正确的是(　　)
A.|AB|=8
B.OA⊥OB
C.△AOB的面积为2
D.线段AB的中点到直线x=0的距离为2
【解析】 AC　设A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线C:y2=4x,得p=2,则焦点坐标为(1,0),易知直线y=x-1 过焦点.由 消去y,得x2-6x+1=0, 则x1+x2=6,x1x2=1,
所以y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-4.|AB|=x1+x2+p=6+2=8,故A正确.
因为·=x1x2+y1y2=1-4=-3≠0,所以OA与OB不垂直,故B错误.
因为原点到直线y=x-1的距离d=,所以△AOB的面积S=·d·|AB|=××8=2,故C正确.
线段AB的中点到直线x=0的距离为==3,故D错误.故选AC.
7.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,点A在B的上方,若|AF|=4|BF|,则直线AB的斜率为　　　　.
【答案】
【解析】如图所示,分别过A,B作准线l的垂线,垂足分别为M,N,
AB交抛物线的准线l于点C,
设|AF|=4t,则|BF|=t,|BN|=t,|AM|=4t,==,解得|BC|=,|NC|=,所以tan∠CBN=,
又因为∠CBN=∠CFO=∠AFx,故直线AB的斜率为.
8.已知直线l交椭圆+=1于M,N两点,椭圆与y轴的正半轴交于点B,若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线l的方程是　　　　　　　　　.
【答案】 6x-5y-28=0
【解析】 设点M(x1,y1),N(x2,y2),椭圆右焦点为F(2,0),B(0,4),
所以即
设l的方程为y=kx+m,代入椭圆方程+=1,得(4+5k2)x2+10kmx+5m2-80=0,Δ=80(20k2+16-m2),
所以x1+x2=-=6,①
y1+y2=6k+2m=-4,②
联立①②,解得
所以l的方程为6x-5y-28=0,经检验,满足Δ>0.
9.椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(,1)且离心率为,F为椭圆的右焦点,过F的直线交椭圆C于M,N两点,定点A(-4,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若△AMN面积为3,求直线MN的方程.
【解】 (1)由题意可知解得所以椭圆C的方程为+=1.
(2)当直线MN的斜率为0时,显然不符合题意;
因为F(2,0),设直线MN的方程为x=my+2,M(x1,y1),N(x2,y2),如图所示,
联立可得(m2+3)y2+4my-2=0,则Δ=16m2+8(m2+3)=24m2+24>0,
y1+y2=-,y1y2=-,因为S△AMN=·|AF|·|y1-y2|=3,
所以S△AMN=3==3,解得m=±1,
所以直线MN的方程为x±y-2=0.
10.在平面直角坐标系中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足kAM-kBM=-2.
(1)求点M的轨迹C的方程.
(2)设斜率存在的直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点.
(1) 【解】 设M(x,y),又A(-2,2),B(2,2),
所以kAM-kBM=-==-2,
可得x2=2y(x≠±2),
则M的轨迹C的方程为x2=2y(x≠±2).
(2) 【证明】 设P(m,),Q(n,),m≠±2,n≠±2,m≠n.
又A(-2,2),可得kAP·kAQ=·=·=-2,
即有mn-2(m+n)=-12,
即mn=2(m+n)-12.
由直线l的斜率为kPQ==,
得直线l的方程为y-=(x-m),
化为y=x-,
可得y-6=(x-2),
可得直线l恒过定点(2,6).
能力提升
11.(多选)已知椭圆的方程为+y2=1,斜率为k的直线l不经过原点O,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.直线AB与OM一定垂直
B.若点M坐标为(1,-1),则直线l的方程为x-4y-5=0
C.若直线l的方程为y=x+1,则点M的坐标为(3,)
D.若直线l过椭圆焦点,则1<|AB|<4
【解析】 BD　对于A项,因为在椭圆中,当k≠0时,k·kOM=-≠-1,所以A项不正确;
对于B项,由A项分析可知,k=,所以直线l的方程为y+1=(x-1),即x-4y-5=0,所以B项正确;
对于C项,若直线l的方程为y=x+1,点M(3,),则k·kOM=1×=≠-,所以C项不正确;
对于D项,因为椭圆方程+y2=1的通径长是最短的,最短为1,最长为长轴长,由于l有斜率且不经过原点O,故等号取不到,所以D项正确.故选BD.
12.已知双曲线C:x2-=1(t>0)的离心率为,A,B分别是C的左、右顶点,P是C上异于A,B的一动点,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,请写出所有满足条件=0的定点Q的坐标:　　　　　　　.
【答案】 (,0),(-,0)
【解析】 因为双曲线C的离心率e==,
所以t=2,即双曲线C:x2-=1,所以A(-1,0),B(1,0).
设P(x0,y0)(y0≠0),则kPA=,kPB=,所以直线PA:y=(x+1),PB:y=(x-1),
所以M(0,),N(0,-).
设Q(x,y),则=(-x,-y),=(-x,--y),
所以·=x2-(-y)(+y)=x2+y2-+y=0.
又-=1,所以x2+y2-2+y=0,
所以解得所以定点Q的坐标为(,0),(-,0).
13.①离心率e=;②椭圆C过点(1,);③△PF1F2面积的最大值为.从以上三个条件中任选一个,补充在下面横线处,并解决下列两个问题.
设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P,Q两点,已知椭圆C的短轴长为2,　　　　.(填序号)
(1)求椭圆C的方程.
(2)若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点N,求证:为定值.
(1) 【解】 选①,
由题意可得解得
所以椭圆C的方程为+=1.
选②,依题意得2b=2,所以b=,
所以椭圆的方程为+=1.
又点(1,)在椭圆上,所以+=1,
解得a2=4,故椭圆C的方程为+=1.
选③,由题意得当P为上、下顶点时,最大,
因此,×2c·b=,即bc=.
又2b=2,所以b=,所以c=1,
从而a2=1+3=4.
故椭圆C的方程为+=1.
(2) 【证明】 (ⅰ)当k=0时,由(1)可得|PQ|=2a=4,|NF1|=c=1,
所以==4.
(ⅱ)当k≠0时,由(1)可得F1(-1,0).
设直线PF1的方程为y=k(x+1),
由消去y,
得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
显然Δ>0,且x1+x2=-,
x1x2=,
所以|PQ|===.
因为y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2k=+2k=,
所以线段PQ的中点坐标为(-,),
则线段PQ的垂直平分线的方程为y-=-(x+),
令y=0,可得x=-,
即N(-,0).
又F1(-1,0),
所以|NF1|=|-+1|=.
所以==4.
综上,为定值4.
应用创新
14.过双曲线C:-=1(0【答案】 (,4]
【解析】 双曲线C:-=1的实半轴长为2,虚半轴长为b(0由C的离心率为,得e2===,
即b=1,
所以c==,
椭圆方程为+y2=1.如图,
不妨取双曲线的左焦点F1(-,0),由图可知,直线l截椭圆所得弦长的最大值为4.
设过点F1的直线方程为y=k(x+),
由
得(4k2+1)x2+8k2x+20k2-4=0.
由Δ=(8k2)2-4(4k2+1)(20k2-4)=16-16k2≥0,得-1≤k≤1.
可知当k=±1时,直线与椭圆相切.要使直线与双曲线C两支都相交,则k∈(-,),
因此k的取值范围是(-,).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
所以|AB|=·=·=4.
当k=时,|AB|=.
故|AB|的取值范围是(,4].

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