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期中能力测评卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1.在 -4,0,6这四个数中，属于负整数的是( )
A.6
C.0 D.-4
2.在代数式 中，多项式有 ( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.1个
3.已知等式 则下列等式不一定成立的是( )
C. ax =12a
4.根据《2025 中国茶叶区域公用品牌价值评估报告》评估，黄山毛峰茶叶品牌价值增至约56.7亿元.数据“56.7亿”用科学记数法表示为 ( )
5.根据你的生活经验，下列选项中能正确解释代数式a-3b的是 ( )
A.小明第一季度有零花钱a元，拿出b元捐给希望工程，平均每月剩余的零花钱
B.某校七年级共有 a名学生，其中有b名男同学，男生的三分之一去参加篮球比赛，班级剩余的人数
C.某种汽车油箱装满油为 a升，每小时耗油b升，行驶了3 个小时，油箱剩余油量
D.某商品原价每件a元，商场打折，现价每件b元，现买3件可以省下的钱
6.我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……问物几何 ”意思是：有一些物体不知个数，每3 个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……问这些物体共有多少个 设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程 ( )
A.3x+2=5y+3 B.5x+2=3y+3
C.3x-2=5y-3 D.5x-2=3y-3
7.若有理数a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是 ( )
A.|b|>-a B.|a|>-b
C. b>a D. |a|>|b|
8.如图1，将一个边长为a 的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”形的图案，如图2所示，则这个“S”形的图案的周长可表示为( )
A.4a-8b B.8a-8b
C.8a-4b D.4a-10b
9.已知 若无论x，y为何值，A-2B 的值始终不变，则ba的值为( )
A.16 B.-16 C. - 4 D.4
10.将连续的奇数1,3,5,7,9,…,按如图所示方式排列.图中的“T”字框框住了四个数，若将“T”字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是 ( )
A.22 B.70 C.182 D.206
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11.请写出 2m 的一个同类项:
12.在解关于x，y的二元一次方程组 时，若①+②可以直接消去一个未知数，则m，n之间的数量关系可以用等式表示为 .
13.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2,则 的值是
14.如果一个四位自然数 abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足( 那么称这个四位数为“递减数”.例如：四位数4 129,因为41-12 =29,所以4129是“递减数”;又如:四位数5324,因为53-32=21≠24,所以5 324 不是“递减数”.
(1)若一 个“递减数”为 则 这个数为
(2)若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数 bcd的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15.解下列方程(组)：
16.计算：
下面是小聪的解答过程，请认真阅读并完成下列问题：
解：
第一步
第二步
第三步
=(-8)÷1…第四步
= -8.…第五步
(1)小聪的解答过程共存在两处错误，分别在第 步和第 步；
(2)请写出正确的解答过程.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.某工厂去年的总产值比总支出多500万元，由于今年总产值比去年增加了15%，总支出比去年节约了10%，因此，今年总产值比总支出多950万元.
(1)设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，请填写下表：
总产值/万元 总支出/万元 差/万元
去年 x y 500
今年 (1+15%)x (1-10%)y 950
(2)今年的总产值和总支出各为多少万元
18.先化简，再求值： 其中x，y满足
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19.一题多解小林积极参加体育锻炼，天天坚持跑步，他每天以1 000 m为标准，超过的记作正数，不足的记作负数.下表是一周内小林跑步情况的记录：
星期 一 二 三 四 五 六 日
跑步情况/m +420 +460 -100 -210 -330 +200 0
(1)星期三小林跑了多少米
(2)小林跑步最少的一天跑了多少米 跑步最多的一天比最少的一天多跑了多少米
(3)若小林跑步的平均速度为240 m/min，求本周内小林用于跑步的时间.
20.做大、小两个长方体纸盒，长、宽、高的尺寸如图所示(单位: cm).
(1)求小纸盒的表面积；
(2)做这两个纸盒共用多少平方厘米材料
(3)当c=2时，用含有a的代数式表示做大纸盒比做小纸盒多用多少平方厘米材料.
六、(本题满分12分)
21.为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A 型篮球和 B 型篮球.已知A 型篮球的标价比 B 型篮球的标价每个贵30元，购买8个 A 型篮球和10个 B 型篮球共需1 320元.
(1)A型篮球和 B 型篮球的标价分别是多少
(2)该体育用品店推出了以下优惠方案：
方案一：所有商品按标价的九折销售；
方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2 000元时，超过部分按七折收费.
学校计划在该店购买20个 A 型篮球和30个B 型篮球，选择哪种方案更合算 请说明理由.
七、(本题满分12分)
22.综合与实践：钢管堆砌与图形规律探究
【项目主题】某校数学实践小组在参观钢结构加工厂时，发现钢管常按一定规律堆砌存放.为了优化仓库空间使用，提高效率，他们决定对钢管的堆砌规律展开数学研究.
【项目准备】1.观察现象
钢管的横截面堆砌成如下形状(图示n=1，2，3，4的情形)，其中上方的数字表示该位置钢管的总数量；
2.规律猜想
小组初步猜想：第n个图的钢管总数 S 可以按“行”来观察，并尝试用算式表达.
【项目分析】1.统一符号：设第n个图的钢管总数为 Sn.
2.任务分解：
任务一：按“行”的方式写出n=3和n=4的算式，归纳 Sn的表达式.
任务二：换一种分割方式(如按“列”或“斜线”)，重新表达 Sn.
任务三：建立第n个图钢管总数的通用公式，并用于计算较大 n时的数量.
【项目实施】问题一：按行分割的规律归纳
1.请补全下表：
图形 n =1 n=2 n=3 n=4
算式 S=1+2 S=2+3+4 S=① S=②
2.根据规律，写出第 n个图的算式(不化简)：
问题二：换一种眼光看图形
请你对n=3的图形进行另一种方式的分割(如按“列”或“斜线”)，并在下表中写出你发现的算式表达：
图形 n=1 n=2 n=3 n=4
算式 S=2+1 S=3×2+2+1 S=④ S=⑤
问题三:建立通用公式【提示:1+2+3+…+n=
将你在问题一中得到的第n个图的算式化简，写出 Sn关于n的代数表达式：
根据以上信息，完成下面内容：
将上方空白内容补充完整：
①3+4+5+6;
②4+5+6+7+8;
④4×3+3+2+1;
⑤5×4+4+3+2+1;
八、(本题满分14分)
23.定义:关于x的方程 ax-b=0与方程 bx-a=0(a,b均为不等于0的常数)互为“反对方程”.例如：方程2x-1=0与方程x-2=0互为“反对方程”.
(1)若方程2x-3=0与方程3x-c=0互为“反对方程”,则c= .
(2)若关于x的方程4x+3m+1 =0与方程5x-n+2=0互为“反对方程”,求m,n的值.
(3)若关于x的方程2x+3b-1 =0与其“反对方程”的解都是整数，求常数b的值.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B D D C A A C A D
11. -m(答案不唯一) 12. m+n=0 13. 5 14.(1) 4312 ;(2) 8165
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15.解下列方程(组)：
解:(1)去分母,得3(x+1)-(x+2) =6+4x.
去括号,得3x+3-x-2=6+4x.
移项,得3x-x-4x=6+2-3.
合并同类项,得-2x=5.
两边同除以-2，得 (4分)
(2)原方程组可化为
②-①×2,得5y=9,解得
把 代入①，得 解得 (8分)
所以
16.计算：
下面是小聪的解答过程，请认真阅读并完成下列问题：
解：
第一步
第二步
第三步
=(-8)÷1…第四步
= -8.…第五步
(1)小聪的解答过程共存在两处错误，分别在第 一 步和第 四 步；
(2)请写出正确的解答过程.
解： (8分)
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.某工厂去年的总产值比总支出多500万元，由于今年总产值比去年增加了15%，总支出比去年节约了10%，因此，今年总产值比总支出多950万元.
(1)设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，请填写下表：
总产值/万元 总支出/万元 差/万元
去年 x y 500
今年 (1+15%)x (1-10%)y 950
(2)今年的总产值和总支出各为多少万元
解：(2)根据题意，
得
解得
则(1 + 15%) × 2 000 =2 300 (万元), (1 -10%)×1500=1350(万元).
答：今年的总产值为 2 300 万元，总支出为1 350 万元.(8分)
18.先化简，再求值： 其中x，y满足
解：
(4分)
因为
所以 所以
(6分)
所以原式 (8分)
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19.一题多解小林积极参加体育锻炼，天天坚持跑步，他每天以1 000 m为标准，超过的记作正数，不足的记作负数.下表是一周内小林跑步情况的记录：
星期 一 二 三 四 五 六 日
跑步情况/m +420 +460 -100 -210 -330 +200 0
(1)星期三小林跑了多少米
(2)小林跑步最少的一天跑了多少米 跑步最多的一天比最少的一天多跑了多少米
(3)若小林跑步的平均速度为240 m/min，求本周内小林用于跑步的时间.
解:(1)1 000-100=900(m),
所以星期三小林跑了900 m. (3分)
(2)小林跑步最少的一天跑了 1 000 -330=670(m),
跑步最多的一天比最少的一天多跑了460-(-330)=790(m). (6分)
(3)通解 小林星期一跑了1 000+420=1 420(m),星期二跑了1 000+460=1 460(m),
星期三跑了1 000-100=900(m),
星期四跑了1 000-210=790(m),
星期五跑了1 000-330=670(m),
星期六跑了1 000+200=1 200(m),
星期日跑了1 000+0=1 000(m),
所以本周内小林用于跑步的时间是(1 420 +1 460+900 +790+670+1 200 + 1 000) ÷240 =31(min). (10分)
另解 ( +420) +( +460) +( - 100) +( - 210) +(-330) +( +200) +0=440(m),
(1 000×7+440)÷240=7 440÷240=31(min),所以本周内小林用于跑步的时间是31 min.
(10分)
20.做大、小两个长方体纸盒，长、宽、高的尺寸如图所示(单位: cm).
(1)求小纸盒的表面积；
(2)做这两个纸盒共用多少平方厘米材料
(3)当c=2时，用含有a的代数式表示做大纸盒比做小纸盒多用多少平方厘米材料.
解:(1)小纸盒的表面积是 2(3a + ac + 3c) =(6a+2ac+6c)(cm ). (3分)
(2)大纸盒的表面积是2(9a+3ac+12c)=(18a+6ac+24c)(cm ),所以做这两个纸盒共用材料18a+6ac + 24c + 6a + 2ac+ 6c = (24a + 8ac +30c)(cm ). (6分)
(3)(18a+6ac+24c) -(6a+2ac+6c) = 18a+6ac+24c-6a-2ac-6c=12a+4ac+18c,
当c = 2 时,12a +4ac + 18c = 12a + 8a + 36 =20a+36.
答：做大纸盒比做小纸盒多用(20a+36)cm 材料. (10分)
六、(本题满分12分)
21.为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A 型篮球和 B 型篮球.已知A 型篮球的标价比 B 型篮球的标价每个贵30元，购买8个 A 型篮球和10个 B 型篮球共需1 320元.
(1)A型篮球和 B 型篮球的标价分别是多少
(2)该体育用品店推出了以下优惠方案：
方案一：所有商品按标价的九折销售；
方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2 000元时，超过部分按七折收费.
学校计划在该店购买20个 A 型篮球和30个B 型篮球，选择哪种方案更合算 请说明理由.
解：(1)设每个A 型篮球的标价为x元，则每个B型篮球的标价为(x-30)元.
根据题意,得8x+10(x-30)= 1 320.解得x=90.
所以x-30=90-30=60.
答：每个A 型篮球的标价为90元，每个 B 型篮球的标价为60元. (6分)
(2)选择方案二更合算.理由如下： (7分)
90×20+60×30=3 600(元),
所以按标价购买20个A 型篮球和30个B型篮球的总费用为3 600元，
选择方案一，总费用为 (元),
选择方案二，总费用为 3120(元),因为3 120<3 240,所以选择方案二更合算.(12分)
七、(本题满分12分)
22.综合与实践：钢管堆砌与图形规律探究
【项目主题】某校数学实践小组在参观钢结构加工厂时，发现钢管常按一定规律堆砌存放.为了优化仓库空间使用，提高效率，他们决定对钢管的堆砌规律展开数学研究.
【项目准备】1.观察现象
钢管的横截面堆砌成如下形状(图示n=1，2，3，4的情形)，其中上方的数字表示该位置钢管的总数量；
2.规律猜想
小组初步猜想：第n个图的钢管总数 S 可以按“行”来观察，并尝试用算式表达.
【项目分析】1.统一符号：设第n个图的钢管总数为 Sn.
2.任务分解：
任务一：按“行”的方式写出n=3和n=4的算式，归纳 Sn的表达式.
任务二：换一种分割方式(如按“列”或“斜线”)，重新表达 Sn.
任务三：建立第n个图钢管总数的通用公式，并用于计算较大 n时的数量.
【项目实施】问题一：按行分割的规律归纳
1.请补全下表：
图形 n =1 n=2 n=3 n=4
算式 S=1+2 S=2+3+4 S=① S=②
2.根据规律，写出第 n个图的算式(不化简)：
问题二：换一种眼光看图形
请你对n=3的图形进行另一种方式的分割(如按“列”或“斜线”)，并在下表中写出你发现的算式表达：
图形 n=1 n=2 n=3 n=4
算式 S=2+1 S=3×2+2+1 S=④ S=⑤
问题三:建立通用公式【提示:1+2+3+…+n=
将你在问题一中得到的第n个图的算式化简，写出 Sn关于n的代数表达式：
根据以上信息，完成下面内容：
将上方空白内容补充完整：
①3+4+5+6;
②4+5+6+7+8;
④4×3+3+2+1;
⑤5×4+4+3+2+1;
八、(本题满分14分)
23.定义:关于x的方程 ax-b=0与方程 bx-a=0(a,b均为不等于0的常数)互为“反对方程”.例如：方程2x-1=0与方程x-2=0互为“反对方程”.
(1)若方程2x-3=0与方程3x-c=0互为“反对方程”,则c= 2 .
(2)若关于x的方程4x+3m+1 =0与方程5x-n+2=0互为“反对方程”,求m,n的值.
(3)若关于x的方程2x+3b-1 =0与其“反对方程”的解都是整数，求常数b的值.
解:(2)将4x+3m+1=0写成4x-(-3m-1) =0的形式，
将5x-n+2=0写成5x-(n-2) =0的形式,
因为关于x 的方程4x+3m+1 =0与方程5x-n+2=0互为“反对方程”,
所以 所以 (8分)
(3)2x+3b-1=0的“反对方程”为(1-3b)x-2=0,由2x+3b-1=0得
由(1-3b)x-2=0得 (10 分)
因为2x+3b-1=0与(1-3b)x-2=0的解均为整数，所以 与 都为整数，
所以当1-3b=2,即 时 =1, 都为整数；
当1-3b=-2,即b=1时, 都为整数.
综上，b的值为 或1. (14分)

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