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1.1　点在空间直角坐标系中的坐标
1.2　空间两点间的距离公式
基础巩固
1.在空间直角坐标系中,点P(1,-2,5)到zOx平面的距离为(　　)
A.2 B.1
C.5 D.3
2.设z为任一实数,则点(2,2,z)表示的图形是(　　)
A.z轴
B.与xOy平面平行的一直线
C.xOy平面
D.与xOy平面垂直的一直线
3.结晶体的基本单位称为晶胞,如图所示为食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体),其中实心圆点代表钠原子,空心圆圈代表氯原子.建立空间直角坐标系Oxyz后,图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是(　　)
A.(,,1) B.(0,0,1)
C.(1,,1) D.(1,,)
4.(多选)已知点A(-2,3,4),在z轴上求一点B,使|AB|=7,则点B的坐标为(　　)
A.(0,0,10) B.(0,10,0)
C.(0,0,-2) D.(0,0,2)
5.在空间直角坐标系中,记点M(-1,1,2)关于x轴的对称点为N,关于yOz平面的对称点为P,则线段NP的中点坐标为(　　)
A.(1,0,0) B.(-1,-1,0)
C.(1,0,1) D.(0,0,0)
6.已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是(　　)
A.2 B.
C. D.
7.一束光线自点P(1,1,1)出发,被xOy平面反射后经过点Q(3,3,6),那么光从点P出发到点Q所走的距离是　　　　　　.
8.如图是一个正方体截下的一角P-ABC,其中|PA|=a,|PB|=b,|PC|=c.建立空间直角坐标系,则△ABC的重心G的坐标是　 .
9.已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,试建立适当的空间直角坐标系,并写出各顶点的坐标.
10.在空间直角坐标系中,解答下列各题.
(1)在y轴上求一点P,使它与点P0(2,3,4)的距离为6;
(2)在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使它到点N(6,5,1)的距离最短.
能力提升
11.(多选)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,|AB|=5,|AD|=4,|AA1|=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则(　　)
A.点B1的坐标为(5,4,3)
B.点C1关于点B的对称点的坐标为(5,8,-3)
C.点A关于直线BD1的对称点的坐标为(0,5,3)
D.点C关于平面ABB1A1的对称点的坐标为(8,5,0)
12.在空间直角坐标系Oxyz中,点M(1,0,3),N(0,2,0),点P在zOx平面内,且|PM|=|PN|,请写出一个满足条件的点P的坐标:　　　　 　　.
13.已知正四棱锥PABCD的底面边长为4,侧棱长为3,G是PD的中点,求|BG|.
应用创新
14.(多选)在空间直角坐标系中,下列说法正确的是(　　)
A.方程z=0表示xOy平面
B.方程x2+y2+z2=1表示以坐标原点为球心,1为半径的球面
C.方程x2+y2=1表示以坐标原点为圆心,1为半径的圆
D.方程x2+y2=0表示z轴1.1　点在空间直角坐标系中的坐标
1.2　空间两点间的距离公式
基础巩固
1.在空间直角坐标系中,点P(1,-2,5)到zOx平面的距离为(　　)
A.2 B.1
C.5 D.3
【答案】 A　
2.设z为任一实数,则点(2,2,z)表示的图形是(　　)
A.z轴
B.与xOy平面平行的一直线
C.xOy平面
D.与xOy平面垂直的一直线
【解析】 D　(2,2,z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线,即与xOy平面垂直的直线.故选D.
3.结晶体的基本单位称为晶胞,如图所示为食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体),其中实心圆点代表钠原子,空心圆圈代表氯原子.建立空间直角坐标系Oxyz后,图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是(　　)
A.(,,1) B.(0,0,1)
C.(1,,1) D.(1,,)
【解析】 A　设图中最上层中间的钠原子所在位置为点B,以O,B为相对顶点,作出长方体ABCDEFGO,如图.因为平面BFGC经过点B与x轴垂直,所以点B在x轴上的投影为点G,由G(,0,0),得点B的横坐标为;同理可得,点B在y轴上的投影为点E,由E(0,,0),得点B的纵坐标为;点B在z轴上的投影为点D,由D(0,0,1),得点B的竖坐标为1.由此可得点B的坐标为(,,1).故选A.
4.(多选)已知点A(-2,3,4),在z轴上求一点B,使|AB|=7,则点B的坐标为(　　)
A.(0,0,10) B.(0,10,0)
C.(0,0,-2) D.(0,0,2)
【解析】 AC　设点B的坐标为(0,0,c),由空间两点间距离公式可得|AB|=
=7,解得c=-2或c=10,所以点B的坐标为(0,0,10)或(0,0,-2).故选AC.
5.在空间直角坐标系中,记点M(-1,1,2)关于x轴的对称点为N,关于yOz平面的对称点为P,则线段NP的中点坐标为(　　)
A.(1,0,0) B.(-1,-1,0)
C.(1,0,1) D.(0,0,0)
【解析】 D　依题意,点M(-1,1,2)关于x轴的对称点的坐标为N(-1,-1,-2),点M关于yOz平面的对称点的坐标为P(1,1,2),所以线段NP的中点坐标为(0,0,0).故选D.
6.已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是(　　)
A.2 B.
C. D.
【解析】 C　取AC的中点O,以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则E(,,0),F(0,0,2),所以|EF|==.故选C.
7.一束光线自点P(1,1,1)出发,被xOy平面反射后经过点Q(3,3,6),那么光从点P出发到点Q所走的距离是　　　　　　.
【答案】
【解析】 点P关于xOy平面的对称点为P′(1,1,-1),则光线所走的距离为|P′Q|=
=.
8.如图是一个正方体截下的一角P-ABC,其中|PA|=a,|PB|=b,|PC|=c.建立空间直角坐标系,则△ABC的重心G的坐标是　 .
【答案】 (,,)
【解析】 由题意知A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c).由重心坐标公式得点G的坐标为(,,).
9.已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,试建立适当的空间直角坐标系,并写出各顶点的坐标.
【解】 如图,取AC的中点O和A1C1的中点O1,可得BO⊥AC,OO1⊥AC,分别以OB,OC,OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.因为三棱柱各棱长均为1,
所以|OA|=|OC|=|O1A1|=|O1C1|=, |OB|=.
因为A,B,C均在坐标轴上,
所以A(0,-,0),B(,0,0),C(0,,0).
因为点A1与C1在yOz平面内,
所以A1(0,-,1),C1(0,,1).
因为点B1在xOy平面内的投影为点B,且|BB1|=1,所以B1(,0,1).
综上,该三棱柱各顶点的坐标为A(0,-,0),B(,0,0),C(0,,0),A1(0,-,1),
B1(,0,1),C1(0,,1).
10.在空间直角坐标系中,解答下列各题.
(1)在y轴上求一点P,使它与点P0(2,3,4)的距离为6;
(2)在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使它到点N(6,5,1)的距离最短.
【解】 (1)设P(0,y,0).
由题意,得|P0P|==6,
解得y=7或y=-1.
所以点P的坐标为(0,7,0)或(0,-1,0).
(2)由已知,可设M(x0,1-x0,0).
则|MN|=
=.
所以当x0=1时,
|MN|min=.
此时点M的坐标为(1,0,0).
能力提升
11.(多选)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,|AB|=5,|AD|=4,|AA1|=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则(　　)
A.点B1的坐标为(5,4,3)
B.点C1关于点B的对称点的坐标为(5,8,-3)
C.点A关于直线BD1的对称点的坐标为(0,5,3)
D.点C关于平面ABB1A1的对称点的坐标为(8,5,0)
【解析】 CD　根据题意可得B1(4,5,3),故A不正确;
因为C1(0,5,3),B(4,5,0),所以点C1关于点B的对称点的坐标为(8,5,-3),故B不正确;
根据长方体的性质,点A关于直线BD1的对称点为C1(0,5,3),故C正确;
点C(0,5,0)关于平面ABB1A1的对称点的坐标为(8,5,0),故D正确.故选CD.
12.在空间直角坐标系Oxyz中,点M(1,0,3),N(0,2,0),点P在zOx平面内,且|PM|=|PN|,请写出一个满足条件的点P的坐标:　　　　 　　.
【答案】 (0,0,1)(答案不唯一,形如(x,0,z),且x+3z=3即可)
【解析】 结合题意设P(x,0,z),则由|PM|=|PN|,
得=,
化简,得x+3z=3,故可取P(0,0,1)(答案不唯一,形如(x,0,z),且x+3z=3即可).
13.已知正四棱锥PABCD的底面边长为4,侧棱长为3,G是PD的中点,求|BG|.
【解】 因为正四棱锥PABCD的底面边长为4,侧棱长为3,所以正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点,过原点且平行于AB,BC的直线分别为y轴、x轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则正四棱锥的顶点B,D,P的坐标分别为B(2,2,0),D(-2,-2,0),P(0,0,1),所以点G的坐标为G(-1,-1,).所以|BG|= =.
应用创新
14.(多选)在空间直角坐标系中,下列说法正确的是(　　)
A.方程z=0表示xOy平面
B.方程x2+y2+z2=1表示以坐标原点为球心,1为半径的球面
C.方程x2+y2=1表示以坐标原点为圆心,1为半径的圆
D.方程x2+y2=0表示z轴
【解析】 ABD　设空间一点的坐标为(x,y,z),方程z=0 说明点在xOy平面内,故A正确;方程x2+y2+z2=1可化为=1,表示以坐标原点为球心,1为半径的球面,故B正确;方程x2+y2=1可化为=1,表示以z轴为旋转轴,1为底面半径的圆柱面,故C不正确;由方程x2+y2=0可得x=y=0,所以该方程表示z轴,故D正确.
故选ABD.

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