资源简介

2.1　从平面向量到空间向量
2.2　空间向量的运算
2.2.1　空间向量的加减法
2.2.2　空间向量的数乘运算
基础巩固
1.下列说法正确的是(　　)
A.两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同
B.若非零向量 和 是共线向量,则A,B,C,D四点共线
C.若空间向量m,n,p满足m与n,n与p为共线向量,则m与p为共线向量
D.零向量与任意向量平行
2.已知A,B,C,D是空间中互不相同的四个点,则 --等于(　　)
A. B.
C. D.
3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列选项化简后为零向量的是(　　)
A.++ B.-+
C.++ D.+
4.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,若 =a,=b,=c,则 等于(　　)
A.a+b-c
B.a-b+c
C.b-a-c
D.b-a+c
5.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是(　　)
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
6.已知a,b,c不共面,e=3a-tb-c,d=-2ta+6b+2c,若e与d共线,则实数t的值为(　　)
A.-3 B.1
C.3 D.-3或3
7.化简:(a+2b-3c)+5(a-b+c)-3(a-2b+c)=　　　　　　　　　　.
8.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AA1的中点,已知=a,=b,=c,用a,b,c表示 ,则 =　　　　　　.
9.如图,在以长、宽、高分别为|AB|=3,|AD|=2,|AA1|=1的长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中:
(1)单位向量共有多少个
(2)试写出模为 的所有向量.
(3)试写出与向量相等的所有向量(不包括向量).
(4)试写出向量的相反向量.
10.如图,四边形ABCD,四边形ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断与 是否共线.
能力提升
11.(多选)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,P为空间一点,且满足=λ+μ,λ,μ∈[0,1],则下列说法正确的是(　　)
A.当λ=0时,点P在棱BB1上
B.当λ=μ时,点P在线段B1C上
C.当μ=1时,点P在棱B1C1上
D.当λ+μ=1时,点P在线段B1C上
12.某墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上底面边长与下底面边长之比为,则++=　　　　.
13.如图,在平行六面体ABCDA′B′C′D′中,E是AA′的中点,F在D′C′上且|D′F|=2|FC′|.
(1)用,,表示 .
(2)设M是底面ABCD的中心,N在侧面BCC′B′的对角线BC′上,且|BN|=3|NC′|,若=α+β+γ,试求α,β,γ的值.
应用创新
14.A,B,C是一个平面上不共线的3个点,O是该平面外一定点,一动点P满足=+λ
(+),λ>0,则直线AP一定经过△ABC的　　　　(选填“外心”“内心”“重心”或“垂心”). 2.1　从平面向量到空间向量
2.2　空间向量的运算
2.2.1　空间向量的加减法
2.2.2　空间向量的数乘运算
基础巩固
1.下列说法正确的是(　　)
A.两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同
B.若非零向量 和 是共线向量,则A,B,C,D四点共线
C.若空间向量m,n,p满足m与n,n与p为共线向量,则m与p为共线向量
D.零向量与任意向量平行
【解析】 D　A项错误,因为两个向量起点相同,且是相等向量,所以终点必相同;B项错误,若 和 共线,则 和 所在直线平行或重合,所以A,B,C,D四点不一定在同一条直线上;C项错误,若n为零向量,则m与p不一定为共线向量;D项正确.故选D.
2.已知A,B,C,D是空间中互不相同的四个点,则 --等于(　　)
A. B.
C. D.
【解析】 B　--=+-=-=.故选B.
3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列选项化简后为零向量的是(　　)
A.++ B.-+
C.++ D.+
【解析】 A　在A选项中,++=(+)+=+=0.
故选A.
4.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,若 =a,=b,=c,则 等于(　　)
A.a+b-c
B.a-b+c
C.b-a-c
D.b-a+c
【解析】 C　=-=(-)-,因为==c,
所以=b-a-c.故选C.
5.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是(　　)
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
【解析】 A　由于+=,+=,所以=,从而||=||,且AB∥DC,所以四边形ABCD是平行四边形.故选A.
6.已知a,b,c不共面,e=3a-tb-c,d=-2ta+6b+2c,若e与d共线,则实数t的值为(　　)
A.-3 B.1
C.3 D.-3或3
【解析】 C　e=3a-tb-c,d=-2ta+6b+2c,若e与d共线,则存在实数λ,使e=λd,即
解得则t的值为3.故选C.
7.化简:(a+2b-3c)+5(a-b+c)-3(a-2b+c)=　　　　　　　　　　.
【答案】 a+b-c
【解析】 原式=a+b-c+a-b+c-3a+6b-3c=(+-3)a+(1-+6)b+(-+-3)c=a+b-c.
8.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AA1的中点,已知=a,=b,=c,用a,b,c表示 ,则 =　　　　　　.
【答案】 -a-b+c
【解析】 =++=--+=--+.
因为M是AA1的中点,
所以=.
所以=--+.
因为=a,=b,=c,
所以=-a-b+c.
9.如图,在以长、宽、高分别为|AB|=3,|AD|=2,|AA1|=1的长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中:
(1)单位向量共有多少个
(2)试写出模为 的所有向量.
(3)试写出与向量相等的所有向量(不包括向量).
(4)试写出向量的相反向量.
【解】 (1)由于长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的向量,,,,,,
, 都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.
(2)由于长方体的左、右两个面的对角线长均为,故模为的向量有,,,,,
,,.
(3)与向量相等的向量有 ,,.
(4)向量的相反向量有,,,.
10.如图,四边形ABCD,四边形ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断与 是否共线.
【解】 因为M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,所以=++=++.又因为=+++=-+--,所以++=-+--.所以=+2+=2(++)=2,即=2.所以与 共线.
能力提升
11.(多选)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,P为空间一点,且满足=λ+μ,λ,μ∈[0,1],则下列说法正确的是(　　)
A.当λ=0时,点P在棱BB1上
B.当λ=μ时,点P在线段B1C上
C.当μ=1时,点P在棱B1C1上
D.当λ+μ=1时,点P在线段B1C上
【解析】 ACD　对于A,当λ=0时,=μ,μ∈[0,1],所以∥,则点P在棱BB1上,故A正确;
对于B,当λ=μ时, =λ(+),λ∈[0,1],即=λ,即∥,所以点P在线段BC1上,故B错误;
对于C,当μ=1时,=λ+,λ∈[0,1],所以λ=-,所以=λ=λ,即∥,所以点P在棱B1C1上,故C正确;
对于D,当λ+μ=1时,=λ+(1-λ),λ∈[0,1],所以-=λ-λ,即=λ,
即∥,所以点P在线段B1C上,故D正确.故选ACD.
12.某墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上底面边长与下底面边长之比为,则++=　　　　.
【答案】
【解析】 如图,延长EA,FB,GC,HD相交于一点O,则=,=,且=,
所以++=++=++=+=+=.
13.如图,在平行六面体ABCDA′B′C′D′中,E是AA′的中点,F在D′C′上且|D′F|=2|FC′|.
(1)用,,表示 .
(2)设M是底面ABCD的中心,N在侧面BCC′B′的对角线BC′上,且|BN|=3|NC′|,若=α+β+γ,试求α,β,γ的值.
【解】 (1)因为E是AA′的中点,
所以=.
因为点F在D′C′上,|D′F|=2|FC′|,
所以==.
所以=++=++.
(2)连接BD(图略),因为M为底面ABCD的中心,
所以M是BD的中点,
则=+=+
=(+)+(+)
=(-+)+(+)
=++.
所以α=,β=,γ=.
应用创新
14.A,B,C是一个平面上不共线的3个点,O是该平面外一定点,一动点P满足=+λ
(+),λ>0,则直线AP一定经过△ABC的　　　　(选填“外心”“内心”“重心”或“垂心”).
【答案】 重心
【解析】 取BC的中点E,连接AE(图略),则+=2.由动点P满足=+λ(+),λ>0,得=2λ,则直线AP一定经过△ABC的重心.

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