资源简介

2.2.3　空间向量的数量积
基础巩固
1.在三棱锥ABCD中,|AB|=|AC|=|AD|=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则等于(　　)
A.-2 B.2
C.-2 D.2
【解析】 A　因为=-,所以·=·(-)=·-·=0-2×2×cos 60°=-2.故选A.
2.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.以上都不对
【解析】 D　设a与b的夹角为θ,由a+b+c=0,得a+b=-c,两边平方,得a2+2a·b+b2=c2,
因为|a|=2,|b|=3,|c|=4,所以4+2×2×3cos θ+9=16,解得cos θ=.故选D.
3.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(　　)
A.-6 B.6
C.3 D.-3
【解析】 B　由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.故选B.
4.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,|AC|=2|BD|,则向量在向量方向上的投影向量为(　　)
A.　 B.　
C.　 D.
【解析】 B　由题可知·=·=0,=++,
则·=(++)·=||2,
所以向量在向量方向上的投影向量为·=·=.故选B.
5.已知正四面体ABCD的棱长为1,△ABC的重心为G,则线段DG的长为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】 A　如图,连接AG并延长,交BC于点M,连接DM.因为G是△ABC的重心,所以=,
则=+=+=+(-)=+×=(++),
又=+++2·+2·+2·=1+1+1+2×(cos 60°+
cos 60°+cos 60°)=6,所以||=.故选A.
6.(多选)在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列命题是真命题的是(　　)
A.(++)2=3
B.·(-)=0
C.与的夹角为60°
D.正方体的体积为||
【解析】 AB　如图,(++)2=(++)2==3,故A为真命题;
·(-)=·=0,故B为真命题;与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°,故C是假命题;正方体的体积为||·||·||,故D为假命题.故选AB.
7.如图,已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形,|AB|=4,|AA1|=3,∠BAA1=60°,E为棱C1D1的中点,则 =　 .
【答案】 14
【解析】 由=++,得·
=·+·+=4×3×cos 60°+0+×42=14.
8.在正四棱台ABCDA′B′C′D′中,|AA′|=1,|AB|=2,∠BAA′=,则||=　　　　.
【答案】
【解析】 如图,连接A′C′,AC,
在侧面ABB′A′中,得|A′B′|=|AB|-2|AA′| cos =2-2×1×=1,由==,得|A′C′|=|AC|,
设=a,=b,=c,则|a|=2,|b|=2,|c|=1,
所以=+=+=+(+)=a+b+c,
则||=
=
=
=.
9.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E为B1C1的中点.
(1)求<,>,<,>的大小.
(2)求向量在向量方向上的投影数量.
【解】 (1)在正方体ABCDA1B1C1D1中,因为DD1⊥BC,所以<,>=90°.因为=,所以<,>=<,>=135°.
(2)如图,连接EC.因为DC⊥平面BCC1B1,CE 平面BCC1B1,所以DC⊥CE.又因为AD⊥DC,所以向量在向量方向上的投影向量为.因为|DC|=1,所以向量在向量方向上的投影数量为1.
10.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是边长为的等边三角形.
(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1.
(2)设与的夹角为,求侧棱的长.
(1) 【证明】 =+,=+.
因为BB1⊥平面ABC,
所以·=0,·=0.
又△ABC为正三角形,
所以<,>=π-<,>=π-=.
因为·=(+)·(+)=·+·++·=
||·||·cos<,>+=-1+1=0,
所以AB1⊥BC1.
(2) 【解】 结合(1)知·=||·
||·cos<,>+=-1.
又||===||,所以cos<,>==.
所以||=2,即侧棱长为2.
能力提升
11.设空间中有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【解析】 B　因为+-2=(-)+(-)=+,所以(+)·(-)=||2-||2=0.所以||=||,即△ABC是等腰三角形.故选B.
12.(多选)组成金刚石的每个碳原子,都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看,可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处,而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置,如图所示.这就是说,图中有|AE|=|BE|=|CE|=|DE|,若正四面体ABCD的棱长为2,则下列说法正确的是(　　)
A.||=
B.|++|=
C.cos<,>=
D.=2
【解析】 BD　由题意得点E是四面体ABCD外接球的球心,
设点O是顶点A在下底面的投影,则AO是四面体的高(图略),OB是△BCD的外接圆半径,
则|OB|=,|AO|=,|BE|2=(|AO|-|AE|)2+|BO|2,解得|AE|=,|OE|=,||=|AE|=,故A错误;
因为|AE|=|BE|=|CE|=|DE|,所以+=-(+),所以+++=0,所以|++|=||=||=,故B正确;
cos<,>=cos<,>=-=-,故C错误;
·==2,故D正确.故选BD.
13.如图,已知正四面体VABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.
(1)求证:AO,BO,CO两两垂直.
(2)求<,>.
(1) 【证明】 设=a,=b,=c,正四面体的棱长为1,
则=(a+b+c),=(b+c-5a),
a·b=b·c=a·c,|a|=|b|=|c|=1,
=(a+c-5b),=(a+b-5c),
所以·=(b+c-5a)·(a+c-5b)=(18a·b-9|a|2)=×(18×1×1×cos 60°-9)=0,
所以⊥,即AO⊥BO.
同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO两两垂直.
(2) 【解】 =+=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),
所以||=.
又||=,
·=(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=,
所以cos<,>==.
又<,>∈[0,π],
所以<,>=.
应用创新
14.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,MN是它内切球的一条弦(把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时,的最大值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】 B　设球心为O,连接PO,如图所示.
当弦MN最长时,MN为球的直径,由向量线性运算可知·=(+)·(+)=
+·+·+·=+·(+)+·.因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,则球的半径为1,+=0,·=-1,所以+·(+)+·=-1.因为||∈[1,],所以-1∈[0,2],即·∈[0,2],·的最大值为2.故选B.2.2.3　空间向量的数量积
基础巩固
1.在三棱锥ABCD中,|AB|=|AC|=|AD|=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则等于(　　)
A.-2 B.2
C.-2 D.2
2.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.以上都不对
3.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(　　)
A.-6 B.6
C.3 D.-3
4.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,|AC|=2|BD|,则向量在向量方向上的投影向量为(　　)
A.　 B.　
C.　 D.
5.已知正四面体ABCD的棱长为1,△ABC的重心为G,则线段DG的长为(　　)
A. B.
C. D.
6.(多选)在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列命题是真命题的是(　　)
A.(++)2=3
B.·(-)=0
C.与的夹角为60°
D.正方体的体积为||
7.如图,已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形,|AB|=4,|AA1|=3,∠BAA1=60°,E为棱C1D1的中点,则 =　 .
8.在正四棱台ABCDA′B′C′D′中,|AA′|=1,|AB|=2,∠BAA′=,则||=　　　　.
9.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E为B1C1的中点.
(1)求<,>,<,>的大小.
(2)求向量在向量方向上的投影数量.
10.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是边长为的等边三角形.
(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1.
(2)设与的夹角为,求侧棱的长.
能力提升
11.设空间中有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
12.(多选)组成金刚石的每个碳原子,都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看,可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处,而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置,如图所示.这就是说,图中有|AE|=|BE|=|CE|=|DE|,若正四面体ABCD的棱长为2,则下列说法正确的是(　　)
A.||=
B.|++|=
C.cos<,>=
D.=2
13.如图,已知正四面体VABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.
(1)求证:AO,BO,CO两两垂直.
(2)求<,>.
应用创新
14.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,MN是它内切球的一条弦(把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时,的最大值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4

展开更多......

收起↑