资源简介

3.1　空间向量基本定理
基础巩固
1.O,A,B,C为空间四点,且向量,,不能构成空间向量的一组基,则(　　)
A.,,共线
B.,共线
C.,共线
D.O,A,B,C四点共面
【解析】 D　由题意知,向量,,共面,从而O,A,B,C四点共面.故选D.
2.已知a,b,c是空间中的三个单位向量,下列说法正确的是(　　)
A.若a,b是两个不共线向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间向量的一组基
B.若a,b,c两两共面,则a,b,c共面
C.若{a,b,c}是空间向量的一组基,则{a+b,b+c,c+a}也是空间向量的一组基
D.对于空间中的任意一个向量p,总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc
【解析】 C　因为a,b不共线,当c=λa+μb时,a,b,c共面,故A错误;易知B错误;若{a,b,c}是空间向量的一组基,则a+b,b+c,c+a不共面,也可以构成空间向量的一组基,故C正确;对于空间中的任意一个向量p,总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc,当且仅当a,b,c不共面时成立,故D错误.故选C.
3.已知四棱锥PABCD,底面ABCD为平行四边形,M,N分别为棱BC,PD上的点,=,|PN|=|ND|,设 =a,=b,=c,则向量用a,b,c表示为(　　)
A.a+b+c B.-a+b+c
C.a-b+c D.-a-b+c
【解析】 D　=++=-+=-+(-)=--+,即=-a-b+c.故选D.
4.若e1,e2,e3能构成空间向量的一组基,且向量a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+te3不能构成空间向量的一组基,则t等于(　　)
A.-1 B.1
C.0 D.-2
【解析】 A　因为a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+te3不能构成空间向量的一组基,所以存在实数x,y,使得c=xa+yb,则e1+te3=x(e1+e2)+y(e2+e3),即e1+te3=xe1+(x+y)e2+ye3.因为e1,e2,e3能构成空间向量的一组基,所以解得故选A.
5.(多选)下列命题正确的有(　　)
A.若p=xa+yb,则p与a,b共面
B.若p与a,b共面,则p=xa+yb
C.若=x+y,则点M,P,A,B共面
D.若点M,P,A,B共面,则=x+y
【解析】 AC　A正确;B中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立;C正确;D中若M,A,B共线,点P不在此直线上,则=x+y 就不成立.故选AC.
6.(多选)在空间四边形OABC中,E,F分别是OA,BC的中点,P为线段EF上一点,且|PF|=2|EP|,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是(　　)
A.=b+c
B.=-a+b+c
C.=a-b-c
D.=a+b+c
【解析】 ABC　如图,因为F为BC的中点,所以=+=b+c,故选项A正确;
==(-)=-=(b+c)-×a=-a+b+c,故选项B正确;
=-2=-2(-a+b+c)=a-b-c,故选项C正确;=+=a+(-a+b+c)=a+b+c,
故选项D不正确.故选 ABC.
7.设a,b,c是三个不共面的向量,现在从①a+b;②a-b;③a+c;④b+c;⑤a+b+c中选出可以与a,b构成空间向量的一组基的向量,则所有可以选择的向量为　　　　(填序号).
【答案】 ③④⑤
【解析】 根据空间向量基本定理可知,构成空间向量的一组基只要三个向量不共面即可,故①②不符合题意.又因为a,b,c是三个不共面的向量,故只要含有向量c即可,故③④⑤都可以.
8.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ=　　　　.
【答案】
【解析】 若a,b,c三个向量共面,则存在实数m,n满足a=mb+nc,
即2i-j+3k=m(-i+4j-2k)+n(7i+5j+λk),
所以解得
9.如图,在正方体OABCO′A′B′C′中,=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示向量,.
(2)设G,H分别是侧面BB′C′C和上底面O′A′B′C′的中心,用a,b,c表示 .
【解】 (1)=+=++=a+b+c.=+=++=+-=b+c-a.
(2)=+=-+
=-(+)+(+)
=(-)=(c-b).
10.图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形,将其沿OB,OC折起使得A与A1重合,如图②,其中D,E,F,G分别为AB,OB,OC,AC的中点.
(1)用 ,,表示 ,.
(2)用向量方法证明:D,E,F,G四点共面.
(1)【解】 因为D,E,F,G分别为AB,OB,OC,AC的中点,所以==-,
=+=+=(-)-=-(+-).
(2)【证明】 因为=-(+-),==(-),=-,
所以+=(-)-=-(+-),所以=+,故D,E,F,G四点共面.
能力提升
11.(多选)已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外的任一点,则“点M与点A,B,C共面”的充分条件是(　　)
A.=2--
B.=+-
C.=++
D.=++
【解析】 BD　设点M与点A,B,C共面,即=m+n(m,n∈R),由A,B,C三点不共线,得m+n≠1,所以+=m(+)+n(+),所以(m+n-1)=-+m+n,所以==-+·+,不妨令-=x,=y,=z,则此时x+y+z=1.因为2+(-1)+(-1)=0≠1,1+1+(-1)=1,1++=≠1,++=1,所以B,D满足要求.故选BD.
12.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,H分别在棱BB1,BC,BA上,且满足=,=,=,O是平面B1HN,平面ACM与平面B1BDD1的一个公共点,设=x+y+z,则x+y+3z=　　　　.
【答案】
【解析】 由题意可得=x+y+z=x+y+z=x+y+z.因为O,A,C,M四点共面,O,H,N,B1四点共面,所以所以x+y=,z=,所以x+y+3z=+=.
13.已知向量a,b,c是空间中不共面的三个向量,=a-2b+c,=pa+b+qc,=2a+b-2c.
(1)若=m,m∈R,求p,q的值;
(2)若O,A,B,C四点共面,求3p+5q的值.
【解】 (1)由题可得,=-=pa+b+qc-(a-2b+c)=(p-1)a+3b+(q-1)c,=-=2a+b-2c-(a-2b+c)=a+3b-3c,因为=m,所以(p-1)a+3b+(q-1)c=m(a+3b-3c),即解得所以p,q的值分别为2,-2.
(2)因为O,A,B,C四点共面,所以存在λ,μ∈R,使得=λ+μ,
即pa+b+qc=λ(a-2b+c)+μ(2a+b-2c)=(λ+2μ)a+(μ-2λ)b+(λ-2μ)c,于是有
所以3p+5q=3(λ+2μ)+5(λ-2μ)=8λ-4μ=4(2λ-μ)=-4,即3p+5q的值为-4.
应用创新
14.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为正方体内一动点(包括表面),若=
x+y+z,且0≤x≤y≤z≤1,则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是　　　　,表面积是　　　　.
【答案】 　1+
【解析】 如图,根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理知,
满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACDA1C1D1 内(包括表面),满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1BB1C1内(包括表面),故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分内,即三棱锥AA1C1D1内(包括表面),其体积是××1×1×1=,其表面积是2××1×1+2××1×=1+.3.1　空间向量基本定理
基础巩固
1.O,A,B,C为空间四点,且向量,,不能构成空间向量的一组基,则(　　)
A.,,共线
B.,共线
C.,共线
D.O,A,B,C四点共面
2.已知a,b,c是空间中的三个单位向量,下列说法正确的是(　　)
A.若a,b是两个不共线向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间向量的一组基
B.若a,b,c两两共面,则a,b,c共面
C.若{a,b,c}是空间向量的一组基,则{a+b,b+c,c+a}也是空间向量的一组基
D.对于空间中的任意一个向量p,总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc
3.已知四棱锥PABCD,底面ABCD为平行四边形,M,N分别为棱BC,PD上的点,=,|PN|=|ND|,设 =a,=b,=c,则向量用a,b,c表示为(　　)
A.a+b+c B.-a+b+c
C.a-b+c D.-a-b+c
4.若e1,e2,e3能构成空间向量的一组基,且向量a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+te3不能构成空间向量的一组基,则t等于(　　)
A.-1 B.1
C.0 D.-2
5.(多选)下列命题正确的有(　　)
A.若p=xa+yb,则p与a,b共面
B.若p与a,b共面,则p=xa+yb
C.若=x+y,则点M,P,A,B共面
D.若点M,P,A,B共面,则=x+y
6.(多选)在空间四边形OABC中,E,F分别是OA,BC的中点,P为线段EF上一点,且|PF|=2|EP|,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是(　　)
A.=b+c
B.=-a+b+c
C.=a-b-c
D.=a+b+c
7.设a,b,c是三个不共面的向量,现在从①a+b;②a-b;③a+c;④b+c;⑤a+b+c中选出可以与a,b构成空间向量的一组基的向量,则所有可以选择的向量为　　　　(填序号).
8.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ=　　　　.
9.如图,在正方体OABCO′A′B′C′中,=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示向量,.
(2)设G,H分别是侧面BB′C′C和上底面O′A′B′C′的中心,用a,b,c表示 .
10.图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形,将其沿OB,OC折起使得A与A1重合,如图②,其中D,E,F,G分别为AB,OB,OC,AC的中点.
(1)用 ,,表示 ,.
(2)用向量方法证明:D,E,F,G四点共面.
能力提升
11.(多选)已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外的任一点,则“点M与点A,B,C共面”的充分条件是(　　)
A.=2--
B.=+-
C.=++
D.=++
12.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,H分别在棱BB1,BC,BA上,且满足=,=,=,O是平面B1HN,平面ACM与平面B1BDD1的一个公共点,设=x+y+z,则x+y+3z=　　　　.
13.已知向量a,b,c是空间中不共面的三个向量,=a-2b+c,=pa+b+qc,=2a+b-2c.
(1)若=m,m∈R,求p,q的值;
(2)若O,A,B,C四点共面,求3p+5q的值.
应用创新
14.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为正方体内一动点(包括表面),若=
x+y+z,且0≤x≤y≤z≤1,则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是　　　　,表面积是　　　　.

展开更多......

收起↑