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4.1　直线的方向向量与平面的法向量
基础巩固
1.(多选)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1上不与C1,C重合的任意一点,则能作为直线AA1的方向向量的是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】 ABD　因为∥∥,所以,,都可作为直线AA1的方向向量.
故选ABD.
2.下列说法错误的是(　　)
A.若直线l垂直于平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平面α的法向量
B.若n是平面α的一个法向量,则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直
C.0是任意一个平面的法向量
D.一个平面的法向量是不唯一的
【解析】 C　对于A,根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知,若直线l垂直于平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平面α的法向量,A正确;
对于B,由平面的法向量的定义可知,若n是平面α的一个法向量,则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直,B正确;
对于C,由平面的法向量的定义可知,平面的法向量与平面内任一直线的方向向量垂直,而0的方向是任意的且模为0,所以0是任意一个平面的法向量这个说法是错误的,C错误;
对于D,由平面的法向量的定义可知,一个平面的法向量是不唯一的,D正确.故选C.
3.若=(1,2,3),=(-1,3,4),则下列向量的坐标中,能作为平面OAB的一个法向量的坐标是(　　)
A.(1,7,5)　 B.(1,-7,5)
C.(-1,-7,5)　 D.(1,-7,-5)
【解析】 C　经检验,只有向量a=(-1,-7,5)分别与,垂直.故选C.
4.已知线段AB的两端点坐标分别为 A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面(　　)
A.xOy平行 B.zOx平行
C.yOz平行 D.yOz相交
【解析】 C　因为=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),且xA=xB=9≠0,即AB不在yOz平面内,所以AB∥yOz平面.故选C.
5.已知空间中三点坐标分别为A(1,1,1),B(0,3,0),C(-2,-1,4),点P(-3,x,3)在平面ABC内,则实数x的值为(　　)
A.1 B.-2
C.0 D.-1
【解析】 A　=(1,-2,1),=(-2,-4,4),=(-3,x-3,3).
由题可设=y+z(y,z∈R),
则故选A.
6.(多选)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是(　　)
A.与是共线向量
B.与同向的单位向量的坐标是(,,0)
C.平面ABC的一个法向量的坐标是(1,-2,5)
D.与夹角的余弦值是-
【解析】 BCD　由=(2,1,0),=(-1,2,1),可知≠λ(λ∈R),所以与不共线,A错误;因为=(2,1,0),所以||=,
所以=(,,0),即与同向的单位向量的坐标是(,,0),B正确;
设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),
由=(-3,1,1),得
令x=1,解得y=-2,z=5,所以n=(1,-2,5),
即平面ABC的一个法向量的坐标为(1,-2,5),C正确;
cos<,>===-,故与夹角的余弦值为-,D正确.故选BCD.
7.已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2x2,6x)(x≠0)都是直线l的方向向量,则x的值是　 .
【答案】 -1
【解析】 由题意设λa=b(λ∈R),即(-4,2x2,6x)=λ(2,-1,3),即解得
8.平面α内一条直线l的一个方向向量为a=(2,3,-1),平面α的一个法向量为n=(-1,1,m),则m=　　　.
【答案】 1
【解析】 易知a·n=0,即-2+3-m=0,
解得m=1.
9.如图,已知长方体ABCDA′B′C′D′的棱长|AB|=2,|AD|=4,|AA′|=3.以点D为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,并均以1为单位长度,建立空间直角坐标系,求下列直线的一个方向向量:
(1)AA′.(2)BD′.
【解】 (1)由已知可得,长方体顶点A,B,A′,D′的坐标分别为A(4,0,0),B(4,2,0),A′(4,0,3),D′(0,0,3).因为向量=(0,0,3),所以直线AA′的一个方向向量为=(0,0,3).
(2)因为向量=(-4,-2,3),所以直线BD′的一个方向向量为=(-4,-2,3).
10.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,|PA|=|AD|=1,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)建立适当的空间直角坐标系,写出向量的坐标.
(2)求证:为平面PCD的一个法向量.
(1) 【解】 由PA⊥平面ABCD,知PA,AB,AD两两垂直,以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(-1,1,0),D(-1,0,0).
因为M,N分别是AB,PC的中点,
所以M(0,,0),N(-,,).
所以=(-,0,).
(2) 【证明】 由(1)知=(-,0,),
=(-1,1,-1),=(-1,0,-1),
所以·=-×(-1)+0×1+×(-1)=0,
·=-×(-1)+0×0+×(-1)=0.
所以⊥,⊥,
从而MN⊥PC,MN⊥PD.
又PC∩PD=P,PC 平面PCD,
PD 平面PCD,
所以MN⊥平面PCD.
所以为平面PCD的一个法向量.
能力提升
11.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,F是DB的中点,G在棱CD上,|CG|=|CD|,H是C1G的中点,直线HF与平面ADD1A1交于点P,则点P的坐标为(　　)
A.(,0,-) B.(,0,-)
C.(,0,-) D.(-,,)
【解析】 B　易知D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C1(0,1,1).因为F是DB的中点,所以F(,,0).因为G在棱CD上,|CG|=|CD|,H是C1G的中点,所以G(0,,0),H(0,,).所以=(-,,).设P(x,0,z),则=λ(λ∈R),则(-x,,-z)=λ(-,,),解得所以P(,0,-).故选B.
12.若直线a和b是异面直线,它们的方向向量的坐标分别是(1,1,1)和(2,-3,-2),则直线a和b的公垂线的一个方向向量的坐标是　　 　　.
【答案】 (1,4,-5)(答案不唯一)
【解析】 设公垂线的一个方向向量的坐标是(x,y,z),
则有(x,y,z)·(1,1,1)=0,
且(x,y,z)·(2,-3,-2)=0,
即
令x=1,得y=4,z=-5,
则(1,4,-5)为直线a和b的公垂线的一个方向向量的坐标.
13.已知点A(2,4,0),B(1,3,3),如图,P,Q为直线l上的两点,求分别满足下列条件的点P和点Q的坐标.
(1)|AP|∶|PB|=1∶2.
(2)|AQ|∶|QB|=2∶1.
【解】 (1)由已知,得=2或=-2,当=2时,有-=2(-),=+.设点P的坐标为(x,y,z),则上式换用坐标表示,得(x,y,z)=(2,4,0)+(1,3,3),即x=+=,y=+=,
z=0+1=1,因此,点P的坐标是(,,1).同理,当=-2时,点P的坐标是(3,5,-3).综上,点P的坐标是(,,1)或(3,5,-3).
(2)因为|AQ|∶|QB|=2∶1,
所以=-2或=2,当=-2时,有-=-2(-),=-+2.设点Q的坐标为(x′,y′,z′),则上式换用坐标表示,得(x′,y′,z′)=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),即x′=0,y′=2,z′=6.因此,点Q的坐标是(0,2,6).同理,当=2时,点Q的坐标是(,,2).综上,点Q的坐标是(0,2,6)或(,,2).
应用创新
14.我们知道,方程x=1在一维空间中表示一个点;在二维空间中,它表示一条直线;在三维空间中,它表示一个平面.那么,过点P0(1,2,1)且以u=(-2,1,3)为法向量的平面的方程为(　　)
A.x+2y-z-4=0
B.2x-y+3z-3=0
C.x+2y+z-6=0
D.2x-y-3z+3=0
【解析】 D　设P(x,y,z)是该平面内的任意一点,则=(x-1,y-2,z-1),过点P0(1,2,1)且法向量为u=(-2,1,3)的平面的方程为-2(x-1)+(y-2)+3(z-1)=0,整理得2x-y-3z+3=0.故选D.4.1　直线的方向向量与平面的法向量
基础巩固
1.(多选)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1上不与C1,C重合的任意一点,则能作为直线AA1的方向向量的是(　　)
A. B.
C. D.
2.下列说法错误的是(　　)
A.若直线l垂直于平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平面α的法向量
B.若n是平面α的一个法向量,则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直
C.0是任意一个平面的法向量
D.一个平面的法向量是不唯一的
3.若=(1,2,3),=(-1,3,4),则下列向量的坐标中,能作为平面OAB的一个法向量的坐标是(　　)
A.(1,7,5)　 B.(1,-7,5)
C.(-1,-7,5)　 D.(1,-7,-5)
4.已知线段AB的两端点坐标分别为 A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面(　　)
A.xOy平行 B.zOx平行
C.yOz平行 D.yOz相交
5.已知空间中三点坐标分别为A(1,1,1),B(0,3,0),C(-2,-1,4),点P(-3,x,3)在平面ABC内,则实数x的值为(　　)
A.1 B.-2
C.0 D.-1
6.(多选)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是(　　)
A.与是共线向量
B.与同向的单位向量的坐标是(,,0)
C.平面ABC的一个法向量的坐标是(1,-2,5)
D.与夹角的余弦值是-
7.已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2x2,6x)(x≠0)都是直线l的方向向量,则x的值是　 .
8.平面α内一条直线l的一个方向向量为a=(2,3,-1),平面α的一个法向量为n=(-1,1,m),则m=　　　.
9.如图,已知长方体ABCDA′B′C′D′的棱长|AB|=2,|AD|=4,|AA′|=3.以点D为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,并均以1为单位长度,建立空间直角坐标系,求下列直线的一个方向向量:
(1)AA′.(2)BD′.
10.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,|PA|=|AD|=1,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)建立适当的空间直角坐标系,写出向量的坐标.
(2)求证:为平面PCD的一个法向量.
能力提升
11.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,F是DB的中点,G在棱CD上,|CG|=|CD|,H是C1G的中点,直线HF与平面ADD1A1交于点P,则点P的坐标为(　　)
A.(,0,-) B.(,0,-)
C.(,0,-) D.(-,,)
12.若直线a和b是异面直线,它们的方向向量的坐标分别是(1,1,1)和(2,-3,-2),则直线a和b的公垂线的一个方向向量的坐标是　　 　　.
13.已知点A(2,4,0),B(1,3,3),如图,P,Q为直线l上的两点,求分别满足下列条件的点P和点Q的坐标.
(1)|AP|∶|PB|=1∶2.
(2)|AQ|∶|QB|=2∶1.
应用创新
14.我们知道,方程x=1在一维空间中表示一个点;在二维空间中,它表示一条直线;在三维空间中,它表示一个平面.那么,过点P0(1,2,1)且以u=(-2,1,3)为法向量的平面的方程为(　　)
A.x+2y-z-4=0
B.2x-y+3z-3=0
C.x+2y+z-6=0
D.2x-y-3z+3=0

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