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4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系
基础巩固
1.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为b,若a·b=0,则(　　)
A.l∥α B.l α　
C.l⊥α　 D.l α或l∥α
【解析】 D　因为a·b=0,所以l α或l∥α.故选D.
2.若平面α,β的法向量分别为m=(-,,-1),n=(,-1,3),则(　　)
A.α∥β B.α⊥β
C.α与β相交但不垂直 D.α∥β或α与β重合
【解析】 D　因为n=-3m,所以m∥n,所以α∥β或 α与β重合.故选D.
3.两平面α,β的法向量分别为u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若α⊥β,则y+z的值是(　　)
A.-3 B.6
C.-6 D.-12
【解析】 B　因为α⊥β,所以u·v=0,即(3,-1,z)·(-2,-y,1)=0,所以3×(-2)+(-1)·(-y)+z·1=0,解得y+z=6.故选B.
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于(　　)
A.AC B.BD
C.A1D D. A1A
【解析】 B　如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则C(0,2,0),A1(2,0,2),D(0,0,0),E(1,1,2),A(2,0,0),B(2,2,0),
=(1,-1,2),=(-2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,-2),=(0,0,2).因为·=-2-2+0=-4≠0,所以CE与AC不垂直.因为·=1×2+(-1)×2+2×0=0,所以CE⊥BD.因为·=-2+0-4=
-6≠0,所以CE与A1D不垂直.因为·=4≠0,所以CE与A1A不垂直.故选B.
5.(多选)(2025·全国Ⅰ卷)在正三棱柱ABCA1B1C1中,D为BC的中点,则(　　)
A.AD⊥A1C
B.B1C1⊥平面AA1D
C.AD∥A1B1
D.CC1∥平面AA1D
【解析】 BD　法一　如图,对于A,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,
又AD 平面ABC,所以 AA1⊥AD,
则·=0.
因为△ABC是正三角形,D为BC的中点,所以AD⊥BC,
则·=0.
又=++,
所以·=(++)·=·+·+·=≠0,
则AD⊥A1C不成立,故A错误.
对于B,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,又BC 平面ABC,所以AA1⊥BC.
因为△ABC是正三角形,D为BC的中点,所以 AD⊥BC.
又AA1∩AD=A,AA1,AD 平面AA1D,
所以BC⊥平面AA1D.
又B1C1∥BC,所以B1C1⊥平面AA1D,故B正确.
对于C,在正三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1∥AB,
又AD∩AB=A,所以AD∥A1B1不成立,故C错误.
对于D,在正三棱柱ABCA1B1C1中,CC1∥AA1,
又AA1 平面AA1D,CC1 平面AA1D,
所以CC1∥平面AA1D,故D正确.故选BD.
法二　如图,建立空间直角坐标系,设该正三棱柱的底面边长为2,高为h,
则D(0,0,0),A(,0,0),A1(,0,h),C(0,-1,0),C1(0,-1,h),B1(0,1,h).
对于A,=(-,0,0),=(-,-1,-h),
则·=(-)×(-)+0=3≠0,
所以AD⊥A1C不成立,故A错误;
对于B,D,=(0,-2,0),=(0,0,h),=(0,0,h),=(-,0,0),
设平面AA1D的一个法向量为n=(x,y,z),则得x=z=0,
令y=1,则n=(0,1,0),
所以=(0,-2,0)=-2n,·n=0.
又CC1 平面AA1D,所以B1C1⊥平面AA1D,CC1∥平面AA1D,故B,D正确;
对于C,=(-,0,0),=(-,1,0),则≠,显然AD∥A1B1不成立,故C错误.故选BD.
6.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,等于(　　)
A. B.1 C.2 D.3
【解析】 B　建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形ABCD的边长为1,|PA|=a,则B(1,0,0),E(,1,0),P(0,0,a).设F(0,y,0),则=(-1,y,0),=(,1,-a).因为BF⊥PE,
所以·=(-1)×+y=0,解得y=,即F(0,,0)是AD的中点,故=1.故选B.
7.直线l的方向向量是s=(-1,1,1),平面α的法向量是n=(2,x2+x,-x2),若直线l∥平面α,则x=　　　　.
【答案】 2
【解析】 若直线l∥平面α,则s·n=0,
所以-2+x2+x-x2=x-2=0,解得x=2.
8.如图,已知点E,F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,AA1的中点,点M,N分别是线段D1E,C1F上的点,则与平面ABCD垂直的直线MN有　　　　条.
【答案】 1
【解析】 假设存在满足条件的直线MN,建立空间直角坐标系如图所示,不妨设正方体的棱长为2,则C(0,0,0),B(0,2,0),D(2,0,0),D1(2,0,2),E(1,2,0),
设M(x,y,z),=m(0≤m≤1),所以(x-2,y,z-2)=m(-1,2,-2),
则x=2-m,y=2m,z=2-2m,所以M(2-m,2m,2-2m),同理,设=n(0≤n≤1),可得N(2n,2n,2-n),
所以=(m+2n-2,2n-2m,2m-n),又因为MN⊥平面ABCD,=(2,0,0),=(0,2,0),
所以即解得
所以存在满足条件的直线MN,有且只有一条.
9.如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为正方形ABCD的中心,A1O⊥平面ABCD,|AB|=|AA1|=.求证:平面A1BCD1⊥平面BB1D1D.
【证明】 如图,以O为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.
因为|AB|=|AA1|=,所以|OA|=|OB|=|OA1|=1,所以 A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).所以=(0,1,-1),=(-1,-1,0),=(0,-2,0),=(-1,1,0).由=,得B1(-1,1,1),
所以=(-1,0,1).
设平面A1BCD1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则
令x1=1,则m=(1,-1,-1).
设平面BB1D1D的一个法向量为n=(x2,y2,z2),
则
令x2=1,则n=(1,0,1).
因为m·n=0,所以平面A1BCD1⊥平面BB1D1D.
10.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,|AB|=4,|BC|=3,|CC1|=2.
(1)求证:平面A1C1B∥平面ACD1.
(2)在线段B1C上,是否存在点P,使得 A1P∥平面ACD1
(1) 【证明】 因为长方体ABCDA1B1C1D1中DA,DC,DD1两两相互垂直,如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
由题知A(3,0,0),B(3,4,0),C(0,4,0),A1(3,0,2),B1(3,4,2),C1(0,4,2),D1(0,0,2),
则=(-3,4,0),=(0,4,-2),=(-3,4,0),=(-3,0,2).
设平面A1C1B的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=4,得n=(4,3,6).
设平面ACD1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则
令x1=4,得m=(4,3,6).
因为n∥m,所以平面A1C1B∥平面ACD1.
(2) 【解】 设线段B1C上存在点P使得A1P∥平面ACD1,且=t(0≤t≤1).
由(1)得=(0,4,0),=(-3,0,-2),
平面ACD1的一个法向量为m=(4,3,6),
所以=+=+t=(-3t,4,-2t).
由m·=-3t·4+4×3+(-2t)·6=0,解得t=,即当P为线段B1C的中点时,A1P∥平面ACD1.
能力提升
11.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,|AB|=,|AF|=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为(　　)
A.(1,1,1) B.(,,1)
C.(,,1) D.(,,1)
【解析】 C　如图,设AC与BD相交于点O,连接OE.因为AM∥平面BDE,且AM 平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,
所以AM∥EO.又O是正方形ABCD对角线的交点,所以M为线段EF的中点.在空间直角坐标系中,E(0,0,1),F(,,1).由中点坐标公式,知点M的坐标为(,,1).故选C.
12.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,|AC|=2a,
|BB1|=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使 CE⊥平面B1DE,则|AE|=　　　　　　.
【答案】 a或2a
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,0,3a),D(,,3a),C(0,a,0).
设E(a,0,z)(0≤z≤3a),则=(a,-a,z),=(a,0,z-3a),=(,,0).
由题意得·=0,·=2a2+z2-3az=0,解得z=a或2a,故|AE|=a或2a.
13.如图,在三棱锥PABC中,AB⊥BC,|AB|=|BC|=k|PA|,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥
底面ABC.
(1)求证:OD∥平面PAB.
(2)当k取何值时,点O在平面PBC内的投影恰好为△PBC的重心
(1) 【证明】 连接OB,
因为OP⊥平面ABC,
|OA|=|OC|,
|AB|=|BC|,
所以OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.
以O为原点,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系(如图).
设|AB|=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),
O(0,0,0),C(-a,0,0).
设|OP|=h,则P(0,0,h).
因为D为PC的中点,
所以=(-a,0,h).
又=(a,0,-h),所以=-.
所以∥.因为OD 平面PAB,
所以OD∥平面PAB.
(2) 【解】 因为△PBC的重心为G(-a,a,h),
所以=(-a,a,h).
因为OG⊥平面PBC,所以⊥.
又=(0,a,-h),
所以·=a2-h2=0,所以h=a,
所以||==a,即k=1.
检验,当k=1时,三棱锥OPBC为正三棱锥,此时点O在平面PBC内的投影为△PBC的重心.
应用创新
14.如图,在正四面体ABCD中,E,F是棱AC的三等分点,P是棱AB的中点,G是直线BD上的动点,则(　　)
A.存在点G,使PG⊥EF成立
B.存在点G,使FG⊥EP成立
C.不存在点G,使平面EFG⊥平面ACD成立
D.不存在点G,使平面EFG⊥平面ABD成立
【解析】 B　将正四面体补充成正方体,并建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2,则P(1,1,2),E(,2,),F(,2,).设G(a,0,a),a∈R,则=(a-1,-1,a-2),=
(,0,-).假设⊥,则·(a-1)+0+(-)·(a-2)=0,此方程无解,所以不存在点G,使PG⊥EF成立,A错误.=(a-,-2,a-),=(,-1,),假设⊥,则·(a-)+2+·(a-)=0,解得a=-,
即在直线BD上存在点G,使FG⊥EP成立,B正确.设平面EFG的一个法向量为m=(x,y,z),
则 即
令x=1,
则m=(1,a-1,1);同理可得平面ACD的一个法向量为n=(1,-1,1).假设平面EFG⊥平面ACD,则m·n=1-(a-1)+1=0,解得 a=3,所以存在点G,使平面EFG⊥平面ACD成立,C错误.同理可得D错误.
故选B.4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系
基础巩固
1.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为b,若a·b=0,则(　　)
A.l∥α B.l α　
C.l⊥α　 D.l α或l∥α
2.若平面α,β的法向量分别为m=(-,,-1),n=(,-1,3),则(　　)
A.α∥β B.α⊥β
C.α与β相交但不垂直 D.α∥β或α与β重合
3.两平面α,β的法向量分别为u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若α⊥β,则y+z的值是(　　)
A.-3 B.6
C.-6 D.-12
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于(　　)
A.AC B.BD
C.A1D D. A1A
5.(多选)(2025·全国Ⅰ卷)在正三棱柱ABCA1B1C1中,D为BC的中点,则(　　)
A.AD⊥A1C
B.B1C1⊥平面AA1D
C.AD∥A1B1
D.CC1∥平面AA1D
6.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,等于(　　)
A. B.1 C.2 D.3
7.直线l的方向向量是s=(-1,1,1),平面α的法向量是n=(2,x2+x,-x2),若直线l∥平面α,则x=　　　　.
8.如图,已知点E,F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,AA1的中点,点M,N分别是线段D1E,C1F上的点,则与平面ABCD垂直的直线MN有　　　　条.
9.如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为正方形ABCD的中心,A1O⊥平面ABCD,|AB|=|AA1|=.求证:平面A1BCD1⊥平面BB1D1D.
10.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,|AB|=4,|BC|=3,|CC1|=2.
(1)求证:平面A1C1B∥平面ACD1.
(2)在线段B1C上,是否存在点P,使得 A1P∥平面ACD1
能力提升
11.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,|AB|=,|AF|=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为(　　)
A.(1,1,1) B.(,,1)
C.(,,1) D.(,,1)
12.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,|AC|=2a,
|BB1|=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使 CE⊥平面B1DE,则|AE|=　　　　　　.
13.如图,在三棱锥PABC中,AB⊥BC,|AB|=|BC|=k|PA|,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥
底面ABC.
(1)求证:OD∥平面PAB.
(2)当k取何值时,点O在平面PBC内的投影恰好为△PBC的重心
应用创新
14.如图,在正四面体ABCD中,E,F是棱AC的三等分点,P是棱AB的中点,G是直线BD上的动点,则(　　)
A.存在点G,使PG⊥EF成立
B.存在点G,使FG⊥EP成立
C.不存在点G,使平面EFG⊥平面ACD成立
D.不存在点G,使平面EFG⊥平面ABD成立

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