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4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系
4.3.1　空间中的角
基础巩固
1.已知两条异面直线的方向向量分别是μ=(-3,-1,2),v=(3,2,1),则这两条异面直线的夹角θ满足(　　)
A.sin θ= B.sin θ=
C.cos θ= D.cos θ=
2.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos=-,则l与α的夹角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.(多选)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的二面角的平面角为(　　)
A.45° B.135° C.30° D.90°
4.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,|PA|=|AB|=|BC|=|AD|=1,BC∥AD,已知Q是棱PD上靠近点P的四等分点,则CQ与平面PAB的夹角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
5.把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角ABDC,若|AB|=1,|AD|=,|AC|=,则平面ABD与平面BCD的夹角为(　　)
A.30°　 B.60°　 C.120°　 D.90°
6.已知动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1(不含端点)上,设=λ,若∠APC为钝角,则实数λ的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(0,)
C.(,1) D.(,1)
7.在空间中,已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0,a)(a>0),若平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=　　　　.
8.在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,1,t),B(2,2,4),P(0,0,5),若平面ABC的一个法向量为m=
(3,1,-1),则直线AB的一个方向向量的坐标为　　　　　　,直线AP与平面ABC的夹角的正弦值为 　　　　.
9.在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,|AC|=2|BC|,A1B⊥B1C,求B1C与侧面A1ABB1的夹角的余弦值.
10.条件①:图(a)中,tan B=2.条件②:图(a)中,3=2+.条件③:图(b)中,|CD|>|BD|,S△BCD=1.从以上三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并加以解答.
如图(a)所示,在△ABC中,∠ACB=45°,|BC|=3,过点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90°(如图(b)),点M为棱AC的中点.已知条件　　　　(填序号),在棱CD上取一点N,使得|CN|=3|DN|,求锐二面角 MBNC的平面角的余弦值.
能力提升
11.(多选)如图,在四棱锥 PABCD中,侧面PAD为等边三角形,平面PAD⊥平面ABCD,
AD∥BC,AB⊥AD,|AB|=|AD|=2|BC|=4,E,F分别为PD,AB的中点,则下列选项正确的是(　　)
A.直线PA与CD的夹角的余弦值为
B.直线PA与CD的夹角的余弦值为
C.直线PA与平面EFC的夹角的正弦值为
D.直线PA与平面EFC的夹角的正弦值为
12.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,|PA|=|AB|=|BC|=|AD|=1,BC∥AD,已知Q是四边形ABCD内部一点(包括边界),且二面角QPDA的平面角为,则△ADQ面积的取值范围是　　　　.
13.如图①,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,|AB|=|AC|=2,|BC|=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,如图②.
(1)求证:A1O⊥BD.
(2)线段A1C上是否存在点F,使得直线DF和BC夹角的余弦值为 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
应用创新
14.在正三棱柱ABCA1B1C1中,|AB|=2,E,F分别为A1C1,A1B1的中点,当AE和BF夹角的余弦值为 时,AE与平面BCC1B1夹角的正弦值为　　　　. 4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系
4.3.1　空间中的角
基础巩固
1.已知两条异面直线的方向向量分别是μ=(-3,-1,2),v=(3,2,1),则这两条异面直线的夹角θ满足(　　)
A.sin θ= B.sin θ=
C.cos θ= D.cos θ=
【解析】 C　由已知得μ·ν=-3×3-1×2+2×1=-9,|μ|=,
|ν|==,所以cos θ=|cos<μ,ν>|=.故选C.
2.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos=-,则l与α的夹角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】 A　设l与α的夹角为θ,且θ∈[0°,90°],
则sin θ=|cos|=,所以θ=30°.故选A.
3.(多选)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的二面角的平面角为(　　)
A.45° B.135° C.30° D.90°
【解析】 AB　cos=,
即=45°,其补角为135°,所以两平面的二面角的平面角为45°或135°.故选AB.
4.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,|PA|=|AB|=|BC|=|AD|=1,BC∥AD,已知Q是棱PD上靠近点P的四等分点,则CQ与平面PAB的夹角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】 C　因为PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,所以AB,AD,AP两两垂直,所以以A为坐标原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(1,1,0),Q(,0,),
所以=(-,-1,).易知平面PAB的一个法向量为n=(1,0,0).设CQ与平面PAB的夹角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=.故选C.
5.把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角ABDC,若|AB|=1,|AD|=,|AC|=,则平面ABD与平面BCD的夹角为(　　)
A.30°　 B.60°　 C.120°　 D.90°
【解析】 B　过点A作AE⊥BD于点E,过点C作CF⊥BD于点F(图略),
则|AE|=|CF|=,|BE|=|DF|=,所以|EF|=1.因为=++,
所以||2=||2+||2+||2+2||||·cos<,>.所以cos<,>=-.
所以平面ABD与平面BCD的夹角为60°.故选B.
6.已知动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1(不含端点)上,设=λ,若∠APC为钝角,则实数λ的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(0,)
C.(,1) D.(,1)
【解析】 C　建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).设P(x,y,z),x,y,z∈(0,1).因为=λ,所以=λ,
即(x,y,z-1)=λ(1,1,-1),故P(λ,λ,1-λ),则·=(λ-1,λ,1-λ)·(λ,λ-1,1-λ)=3λ2-4λ+1<0,解得<λ<1,
此时,不共线,故<λ<1.故选C.
7.在空间中,已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0,a)(a>0),若平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=　　　　.
【答案】
【解析】 平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1).
设平面α的一个法向量为u=(x,y,z),又=(-3,4,0),=(-3,0,a),
则
取z=1,则u=(,,1).而|cos |==,又因为a>0,所以a=.
8.在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,1,t),B(2,2,4),P(0,0,5),若平面ABC的一个法向量为m=
(3,1,-1),则直线AB的一个方向向量的坐标为　　　　　　,直线AP与平面ABC的夹角的正弦值为 　　　　.
【答案】 (1,1,4)(答案不唯一)　
【解析】 依题意可得=(1,1,4-t),且·m=0,即3+1+t-4=0,解得t=0,所以=(1,1,4),即直线AB的一个方向向量的坐标为(1,1,4).由t=0,得=(-1,-1,5),则cos==-,故直线AP与平面ABC的夹角的正弦值为.
9.在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,|AC|=2|BC|,A1B⊥B1C,求B1C与侧面A1ABB1的夹角的余弦值.
【解】 以点C为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图.
设|BC|=2,|CC1|=a(a>0),
则C(0,0,0),A1(4,0,a),
B(0,2,0),B1(0,2,a),
=(-4,2,0),=(0,0,a),
=(4,-2,a),=(0,2,a).
由A1B⊥B1C,得·=a2-4=0,
所以a=2(负值已舍去).
设n=(x,y,z)是平面A1ABB1的一个法向量,则
令x=1,则n=(1,2,0).
又=(0,-2,-2),所以n·=-4.
又|n|=,||==2,
所以cos==-.
设B1C与侧面A1ABB1的夹角为φ,
则sin φ=|cos|=,
又φ∈[0,],所以cos φ=.
所以B1C与侧面A1ABB1的夹角的余弦值为.
10.条件①:图(a)中,tan B=2.条件②:图(a)中,3=2+.条件③:图(b)中,|CD|>|BD|,S△BCD=1.从以上三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并加以解答.
如图(a)所示,在△ABC中,∠ACB=45°,|BC|=3,过点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90°(如图(b)),点M为棱AC的中点.已知条件　　　　(填序号),在棱CD上取一点N,使得|CN|=3|DN|,求锐二面角 MBNC的平面角的余弦值.
【解】 方案一:选择条件①.
在题图(a)所示的△ABC中,设|AD|=|CD|=x(0所以|BD|=1.以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),M(0,1,1),
所以=(-1,1,1).由|CN|=3|DN|,可得N(0,,0),=(-1,,0).设平面BNM的一个法向量为n=(x,y,z),
由令x=1,则n=(1,2,-1).取平面BNC的一个法向量为m=(0,0,1),所以cos===-,
所以锐二面角MBNC的平面角的余弦值为.
方案二:选择条件②.
在题图(a)所示的△ABC中,由3=2+,得2(-)=-,即=2.
因为|BC|=3,|DC|=2|BD|,所以|CD|=2,|BD|=1.建系求解部分同方案一.
方案三:选择条件③.
在题图(b)中,设|BD|=x(0又因为|CD|>|BD|,
所以|CD|=2,|BD|=1.
建系求解部分同方案一.
能力提升
11.(多选)如图,在四棱锥 PABCD中,侧面PAD为等边三角形,平面PAD⊥平面ABCD,
AD∥BC,AB⊥AD,|AB|=|AD|=2|BC|=4,E,F分别为PD,AB的中点,则下列选项正确的是(　　)
A.直线PA与CD的夹角的余弦值为
B.直线PA与CD的夹角的余弦值为
C.直线PA与平面EFC的夹角的正弦值为
D.直线PA与平面EFC的夹角的正弦值为
【解析】 AD　如图,取AD的中点O,连接OC,OP.因为侧面PAD为等边三角形,所以OP⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,OP 平面PAD,所以OP⊥平面ABCD.因为OC 平面ABCD,所以OP⊥OC.由已知可得|BC|=|AO|,BC∥AO,AB⊥AD,所以四边形ABCO是矩形,可得CO⊥AD,则OC,OD,OP两两相互垂直.以O为坐标原点,分别以OC,OD,OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,2),A(0,-2,0),
C(4,0,0),D(0,2,0),F(2,-2,0),E(0,1,).设直线PA与CD的夹角为α.因为=(0,-2,-2),
=(-4,2,0),所以cos α===,即直线PA与CD的夹角的余弦值为,故选项A正确,选项B错误.
设直线PA与平面EFC的夹角为β,平面EFC的一个法向量为n=(x,y,z).
因为=(2,-3,-),=(2,2,0),所以令x=,得y=-,z=5,
所以n=(,-,5).因为=(0,-2,-2),
所以sin β=|cos<,n>|=,所以直线PA与平面EFC的夹角的正弦值为,故选项C错误,选项D正确.故选AD.
12.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,|PA|=|AB|=|BC|=|AD|=1,BC∥AD,已知Q是四边形ABCD内部一点(包括边界),且二面角QPDA的平面角为,则△ADQ面积的取值范围是　　　　.
【答案】 (0,]
【解析】 以A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图,设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q(0,t,0)(0≤t≤1).由题意可知t≠0,D(2,0,0),P(0,0,1),
所以=(-2,0,1),=(-2,t,0),平面APD的一个法向量为m=(0,1,0).
设平面PDQ的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令z=2,得 x=1,y=,所以n=(1,,2),
则二面角QPDA的平面角的余弦值为|cos|==,解得t=,所以△ADQ的面积的取值范围为(0,].
13.如图①,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,|AB|=|AC|=2,|BC|=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,如图②.
(1)求证:A1O⊥BD.
(2)线段A1C上是否存在点F,使得直线DF和BC夹角的余弦值为 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(1) 【证明】 因为|AB|=|AC|,D,E分别为AB,AC的中点,所以|AD|=|AE|,即|A1D|=|A1E|.因为O为DE的中点,所以A1O⊥DE.因为平面A1DE⊥平面BCED,平面A1DE∩平面BCED=DE,A1O 平面A1DE,所以A1O⊥平面BCED.又因为BD 平面BCED,所以A1O⊥BD.
(2) 【解】 存在.
在题图①中,取BC的中点G,连接AG(图略).在△ABC中,因为|AB|=|AC|,G为BC的中点,所以AG⊥BC,即OG⊥BC.所以|AG|==4.连接OG,由上述分析可知|A1O|=|OG|=2.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,2),D(0,-1,0),B(2,-2,0),C(2,2,0),所以=(2,2,-2),=(0,4,0),=(0,-1,-2).假设在线段A1C上存在点F,使得直线DF和BC夹角的余弦值为,设=λ(0≤λ≤1),则=(2λ,2λ,-2λ),所以=-=(2λ,2λ+1,-2λ+2),所以|cos<,>|===,整理可得16λ2-24λ+9=(4λ-3)2=0,解得λ=.所以存在满足题意的点F,此时=.
应用创新
14.在正三棱柱ABCA1B1C1中,|AB|=2,E,F分别为A1C1,A1B1的中点,当AE和BF夹角的余弦值为 时,AE与平面BCC1B1夹角的正弦值为　　　　.
【答案】
【解析】 设|AA1|=t(t>0).以B为坐标原点,过B且垂直于BC的直线为x轴,BC,BB1所在直线分别为y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(,1,0),E(,,t),B(0,0,0),F(,,t),
所以=(-,,t),=(,,t).因为AE和BF夹角的余弦值为,所以|cos<,>|==
=,解得t=2或t=-2(舍去),所以=(-,,2).易知平面BCC1B1的一个法向量为n=(1,0,0),所以AE与平面BCC1B1夹角的正弦值为|cos<,n>|==.

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