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1.1　分类加法计数原理
1.2　分步乘法计数原理
1.3　基本计数原理的简单应用
基础巩固
1.某商店共有A,B,C三个品牌的水杯,若甲、乙、丙每人买了一个水杯,且甲买的不是A品牌,乙买的不是C品牌,则这三人买水杯的情况共有(　　)
A.3种 B.7种
C.12种 D.24种
2.若m,n∈N,m>0,n>0,且m+n≤8,则平面上的点(m,n)共有(　　)
A.21个 B.20个
C.28个 D.30个
3.已知从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2,3,3,4条,若要从其中一面上山,从剩余三面中的任意一面下山,则不同的走法最多时应(　　)
A.从东面上山 B.从西面上山
C.从南面上山 D.从北面上山
4.用5种不同的颜色给如图所示的图形涂色,要求相邻两块涂不同的颜色,则不同的涂色方法有(　　)
A.180种 B.240种
C.280种 D.300种
5.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三名同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若每人所选的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有(　　)
A.90种 B.80种
C.60种 D.50种
6.(多选)现有不同的红球4个,黄球5个,绿球6个,则下列说法正确的是(　　)
A.从中任选1个球,有15种不同的选法
B.若每种颜色选出1个球,有120种不同的选法
C.若要选出不同颜色的2个球,有31种不同的选法
D.若要不放回地依次选出2个球,有210种不同的选法
7.在3×3的方格中放入1个白球和完全相同的2个黑球,每一行、每一列各只有1个球,每球占一格,则不同的放法共有　 种.
8.现有甲、乙、丙三种树苗可供选择,分别种在一排五个坑中,要求相同的树苗不能相邻,第一个和第五个坑内只能种甲种树苗,则不同的种法共有　　　　种.
9.某同学要从教学楼的一层到四层,已知从第一层到第二层有4个扶梯可走,从第二层到第三层有3个扶梯可走,从第三层到第四层有2个扶梯可走,那么该同学从第一层到第四层有多少种不同的走法
10.对于一个四位数,其各位数字至多有两个不相同,试求共有多少个这种四位数.
能力提升
11.(多选)现安排某高校A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是(　　)
A.所有可能的方法有34种
B.若甲工厂必须有同学去,则不同的安排方法有37种
C.若A同学必须去甲工厂,则不同的安排方法有12种
D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种
12.(多选)回文数是对称美的一种体现,它是从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3 443,94 249等.两位回文数有9个:11,22,33,…,99;三位回文数有90个:101,111,
121,…,191,202,…,999.下列说法正确的是(　　)
A.四位回文数有45个
B.四位回文数有90个
C.2n(n∈N+)位回文数有10n个
D.2n+1(n∈N+)位回文数有9×10n个
13.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一.它的形状可视为一个正四棱锥,将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法种数.
应用创新
14.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458),若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列,则第30个“渐升数”为　 　　　. 1.1　分类加法计数原理
1.2　分步乘法计数原理
1.3　基本计数原理的简单应用
基础巩固
1.某商店共有A,B,C三个品牌的水杯,若甲、乙、丙每人买了一个水杯,且甲买的不是A品牌,乙买的不是C品牌,则这三人买水杯的情况共有(　　)
A.3种 B.7种
C.12种 D.24种
【解析】 C　由分步乘法计数原理可得这三人买水杯的情况共有2×2×3=12(种).故选C.
2.若m,n∈N,m>0,n>0,且m+n≤8,则平面上的点(m,n)共有(　　)
A.21个 B.20个
C.28个 D.30个
【解析】 C　根据题意,m可取的值为1,2,3,4,5,6,7,
当m=1时,由题意可知n可取的值为1,2,3,4,5,6,7,共7种;
当m=2时,由题意可知n可取的值为1,2,3,4,5,6,共6种;
当m=3时,由题意可知n可取的值为1,2,3,4,5,共5种;
当m=4时,由题意可知n可取的值为1,2,3,4,共4种;
当m=5时,由题意可知n可取的值为1,2,3,共3种;
当m=6时,由题意可知n可取的值为1,2,共2种;
当m=7时,由题意可知n可取的值为1,共1种.则平面上的点(m,n)共有1+2+3+4+5+6+7=28(个).故选C.
3.已知从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2,3,3,4条,若要从其中一面上山,从剩余三面中的任意一面下山,则不同的走法最多时应(　　)
A.从东面上山 B.从西面上山
C.从南面上山 D.从北面上山
【解析】 D　从东面上山,不同的走法共有2×(3+3+4)=20(种);从西面上山,不同的走法共有3×(2+3+4)=27(种);从南面上山,不同的走法共有3×(2+3+4)=27(种);从北面上山,不同的走法共有4×(2+3+3)=32(种).所以应从北面上山.故选D.
4.用5种不同的颜色给如图所示的图形涂色,要求相邻两块涂不同的颜色,则不同的涂色方法有(　　)
A.180种 B.240种
C.280种 D.300种
【解析】 A　如图,先涂A,有5种不同的涂色方法,再涂B,有4种不同的涂色方法,然后涂C,有3种不同的涂色方法,最后涂D,有3种不同的涂色方法,则不同的涂色方法有5×4×3×3=180(种).故选A.
5.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三名同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若每人所选的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有(　　)
A.90种 B.80种
C.60种 D.50种
【解析】 D　根据题意,分2类情况讨论:①若甲选择牛,此时乙的选择有2种,丙的选择有
10种,此时有2×10=20(种)不同的选法;②若甲选择马,此时乙的选择有3种,丙的选择有10种,此时有3×10=30(种)不同的选法,则共有20+30=50(种)不同的选法.故选D.
6.(多选)现有不同的红球4个,黄球5个,绿球6个,则下列说法正确的是(　　)
A.从中任选1个球,有15种不同的选法
B.若每种颜色选出1个球,有120种不同的选法
C.若要选出不同颜色的2个球,有31种不同的选法
D.若要不放回地依次选出2个球,有210种不同的选法
【解析】 ABD　从中任选1个球,有4+5+6=15(种)不同的选法,所以选项A正确;若每种颜色选出1个球,有4×5×6=120(种)不同的选法,所以选项B正确;若要选出不同颜色的2个球,有4×5+5×6+4×6=74(种)不同的选法,所以选项C错误;若要不放回地依次选出2个球,有15×14=210(种)不同的选法,所以选项D正确.故选ABD.
7.在3×3的方格中放入1个白球和完全相同的2个黑球,每一行、每一列各只有1个球,每球占一格,则不同的放法共有　 种.
【答案】 18
【解析】 先在3×3=9(个)方格中选一格放白球,方法有9种,
再放2个黑球,方法有2种,
所以不同的放法有9×2=18(种).
8.现有甲、乙、丙三种树苗可供选择,分别种在一排五个坑中,要求相同的树苗不能相邻,第一个和第五个坑内只能种甲种树苗,则不同的种法共有　　　　种.
【答案】 6
【解析】 因为同种树苗不相邻且第一个和第五个坑内只能种甲种树苗,所以只有中间三个坑需要选择树苗.①当中间一个坑种甲时,第二个和第四个坑都有两种选法,共有4种选法.②当中间一个坑不种甲时,则中间一个坑种乙或丙.当中间这个坑种乙时,第二个和第四个坑种丙;当中间这个坑种丙时,第二个和第四个坑种乙.故共有6种种法.
9.某同学要从教学楼的一层到四层,已知从第一层到第二层有4个扶梯可走,从第二层到第三层有3个扶梯可走,从第三层到第四层有2个扶梯可走,那么该同学从第一层到第四层有多少种不同的走法
【解】 第1步,从第一层到第二层有4种不同的走法;
第2步,从第二层到第三层有3种不同的走法;
第3步,从第三层到第四层有2种不同的走法,
根据分步乘法计数原理,该同学从教学楼的第一层到第四层的不同走法有4×3×2=24(种).
10.对于一个四位数,其各位数字至多有两个不相同,试求共有多少个这种四位数.
【解】 显然四位数字全部相同的四位数恰有9个,下面考虑四位数字中恰有两个不同数字的四位数,分三步考虑:
第一步,先考虑千位上的数字,有9种选法:1,2,3,…,9;
第二步,考虑百位、十位、个位上的数字,由于恰有两个不同数字,故除了千位上的数字外,再从0,1,2,3,…,9(与千位上的数字不相同)中选出1个数字,有9种选法;
第三步,前两步确定两个数字后,再对个位、十位、百位上的数字进一步确定,这三个位置上分别各有2种选择,但要去掉一种情况,即选出的个位、十位、百位上的数字都和千位上的数字完全相同,故有2×2×2-1=7(种)选法.
综上所述,共有这种四位数9+9×9×7=576(种)选法.
所以,共有576个这种四位数.
能力提升
11.(多选)现安排某高校A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是(　　)
A.所有可能的方法有34种
B.若甲工厂必须有同学去,则不同的安排方法有37种
C.若A同学必须去甲工厂,则不同的安排方法有12种
D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种
【解析】 BD　三名同学依次选择都有4种方法,根据分步乘法计数原理有4×4×4=64(种)方法,故A错误;所有选法是64种,甲工厂没有同学去有3×3×3=27(种)安排方法,故甲工厂必须有同学去有64-27=37(种)安排方法,故B正确;A同学必须去甲工厂,另外两名同学各有4种安排方法,故有4×4=16(种),故C错误;三名同学所选工厂各不相同,不同的安排方法有4×3×2=24(种),故D正确.故选BD.
12.(多选)回文数是对称美的一种体现,它是从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3 443,94 249等.两位回文数有9个:11,22,33,…,99;三位回文数有90个:101,111,
121,…,191,202,…,999.下列说法正确的是(　　)
A.四位回文数有45个
B.四位回文数有90个
C.2n(n∈N+)位回文数有10n个
D.2n+1(n∈N+)位回文数有9×10n个
【解析】 BD　据题意,对于四位回文数,有1 001,1 111,1 221,…,1 991,2 002,2 112,2 222,…,
2 992,…,9 009,9 119,9 229,…,9 999,共90个,故A错误,B正确;对于2n位回文数,首位和个位数字有9种选法,第二位和倒数第二位数字有10种选法,…,第n和第n+1位数字也有10种选法,则共有9×10×10×…×10=9×10n-1种选法,故C错误;对于2n+1位回文数,首位和个位数字有9种选法,第二位和倒数第二位数字有10种选法,…,第n+1位数字,即最中间的数字有10种选法,则共有9×10×10×…×10=9×10n种选法,即2n+1(n∈N+)位回文数有9×10n个,故D正确.故
选BD.
13.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一.它的形状可视为一个正四棱锥,将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法种数.
【解】 由题设,四棱锥SABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60(种)染色方法;
当S,A,B染好时,不妨设所染颜色依次为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;
若C染4,则D可染3或5,有2种染法;
若C染5,则D可染3或4,有2种染法,即当S,A,B染好时,C,D还有7种染法.
故不同的染色方法有60×7=420(种).
应用创新
14.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458),若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列,则第30个“渐升数”为　 　　　.
【答案】 1 359
【解析】 “渐升数”由小到大排列,
则1在首位,2在百位的“渐升数”有6+5+4+3+2+1=21(个);
1在首位,3在百位,4在十位的“渐升数”有5个;
1在首位,3在百位,5在十位的“渐升数”有4个,此时“渐升数”有21+5+4=30(个),因此按从小到大的顺序排列,第30个“渐升数”为1 359.

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