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2.1　排列与排列数
2.2　排列数公式
基础巩固
1.下列问题属于排列问题的是(　　)
①从10个人中选2人分别去种树和扫地;
②从10个人中选2人去扫地;
③从班上30名男生中选出5人组成一支篮球队;
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.
A.①④ B.①②
C.③④ D.①③④
【解析】 A　①选出的2人有不同的劳动内容,相当于有顺序,①属于排列问题;
②选出的2人劳动内容相同,无顺序,②不属于排列问题;
③选出5人组成一支篮球队,无顺序,③不属于排列问题;
④选出的两个数作为底数或指数,其结果不同,有顺序,④属于排列问题;
所以属于排列问题的为①④.
故选A.
2.4个人排成一排,则甲不站两边的站法有(　　)
A.8种 B.10种
C.12种 D.24种
【解析】 C　甲不站两边的有·=2×3×2×1=12(种)方法.故选C.
3.等于(　　)
A.12 B.24
C.30 D.36
【解析】 D　=7×6,=6,所以==36.故选D.
4.开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊5名同学从左至右排成一排上台领奖,要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有(　　)
A.12种 B.16种
C.20种 D.24种
【解析】 C　①若甲与丙之间为乙,且三人相邻,共有=2(种)排法,将三人捆绑看成一个整体,与丁、戊两人全排列,共有=6(种)排法,则此时有2×6=12(种)排法;
②若甲与丙之间不是乙,先排甲与丙,再从丁、戊中选取1人,安排在甲与丙之间,有=4(种)排法,此时乙在甲的另一侧,将四人捆绑看成一个整体,将这个整体与剩下的1人全排列,有=2(种)排法,此时有4×2=8(种)排法.
综上,总共有12+8=20(种)排法.故选C.
5.正整数n的阶乘记为n!,它的值为所有小于或等于n的正整数的积,即n!=1×2×3×…×(n-1)×n.根据上述材料,以下说法错误的是(　　)
A.3!+3×3!=4!
B.8!=40 320
C.12!=12×11!
D.1!+++…+=n!
【解析】 D　3!+3×3!=(1+3)×3!=4!,故A说法正确;
8!=1×2×3×…×8=40 320,故B说法正确;
12!=1×2×3×…×11×12=11!×12,故C说法正确;
1!+++…+=1+2+3+…+n≠n!,故D说法错误.故选D.
6.有4名男生、3名女生和2个不同的道具(记作A和B)参与一个活动,活动要求:所有人(男生和女生)必须站成一排,女生必须站在一起,并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列(假设女生的身高各不相同);两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人(可以是男生,也可以是女生),但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有(　　)
A.2 400种 B.3 600种
C.2 880种 D.4 220种
【解析】 B　根据题意4名男生、3名女生的排列方法数为,然后在7人中选2人(不相邻)分配道具:-6,总方法数为(-6)=3 600.故选B.
7.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个无重复数字的七位数,要求在其偶数位上必须是偶数,奇数位上必须是奇数,则这样的七位数有　　　　个.
【答案】 144
【解析】 先排奇数位有种排法,再排偶数位有种排法,故这样的七位数共有=144(个).
8.A,B,C,D,E五人住进编号为1,2,3,4,5的五个房间,每个房间只住一人,则B不住2号房间,且B,C两人不住编号相邻房间的住法种数为　　　　.
【答案】 60
【解析】 由题意,B不住2号房间,且B,C两人不住编号相邻房间,则B可以住1,3,4,5号房间,
若B住在1号房间,则C可以住在3,4,5三个房间,有三种情况,剩下三人安排在其他三个房间,此时,有3×=18(种)情况;
若B住在3号房间,则C可以住在1,5两个房间,有2种情况,剩下三人安排在其他三个房间,此时,有2×=12(种)情况;
若B住在4号房间,则C可以住在1,2两个房间,有2种情况,剩下三人安排在其他三个房间,此时,有2×=12(种)情况;
若B住在5号房间,则C可以住在1,2,3三个房间,有3种情况,剩下三人安排在其他三个房间,此时,有3×=18(种)情况.
由分类加法计数原理得,共有18+12+12+18=60(种)不同的住法.
9.(1)求证:=(n+1).
(2)解不等式:3≤2+6.
(1)【证明】 因为=(n+1)n(n-1)·…·3×2×1,(n+1)=(n+1)·n!=(n+1)n·(n-1)·…·3×2×1,所以=(n+1).
(2)【解】 由题意可知,x∈N+且x≥3,因为=x(x-1)(x-2),=(x+1)x,
=x(x-1),
所以原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1),
整理得(3x-2)(x-5)≤0,
所以≤x≤5,又x∈N+且x≥3,
所以原不等式的解集为{3,4,5}.
10.某学校将要举行校园歌手大赛的小组赛,现有3名男生和3名女生参加,需要安排他们的出场顺序(结果用数字作答).
(1)如果3名女生都不相邻,那么有多少种不同的出场顺序
(2)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻),那么有多少种不同的出场顺序
(3)如果3名男生都相邻,且女生甲不在第一个出场,那么有多少种不同的出场顺序
【解】 (1)根据题意,分2步进行分析:
①先将3名男生排成一排,有种情况.
②男生排好后有4个空位,在4个空位中任选3个,安排3名女生,有种情况,
则有=144(种)不同的出场顺序.
(2)根据题意,将6人排成一排,有种情况,
其中女生甲在女生乙的前面,所以不用考虑两人的先后顺序,则有=360(种)不同的出场顺序.
(3)根据题意,分3步进行分析:
①将3名男生看成一个整体,考虑三人之间的顺序,有种情况;
②将除甲之外的2名女生和3名男生的整体全排列,有种情况,排好后有4个空位;
③女生甲不在第一个出场,则女生甲的安排方法有3种.
根据分步乘法计数原理,有3=108(种)不同的出场顺序.
能力提升
11.(多选)从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数组成一个三位数,则在所组成的数中(　　)
A.偶数有48个
B.比300大的奇数有48个
C.个位和百位数字之和为7的有24个
D.能被3整除的数有48个
【解析】 CD　对于A,其个位数字为2或4或6,有3种情况,在剩余5个数字中任选2个,安排在百位和十位,有=20(种)情况,则有3×20=60(个)三位偶数,A错误;
对于B,分2种情况讨论,若百位数字为3或5,有2×2×4=16(个)三位奇数,若百位数字为4或6,有2×3×4=24(个)三位奇数,则符合题意的三位数有16+24=40(个),B错误;
对于C,个位和百位数字之和为7,有(1,6),(2,5),(3,4),共3种情况,则符合题意的三位数有3=24(个),故C正确;
对于D,能被3整除,则三个数字之和为3的倍数,共有(1,2,3),(1,2,6),(1,3,5),(1,5,6),(2,3,4),
(2,4,6),(3,4,5),(4,5,6) 8种选择,故能被3整除的数有8=48(个),故D正确.故选CD.
12.从甲、乙、丙等6人中选取4人对4道生产程序进行检验,1人负责1道生产程序,若第
1道生产程序只能由甲或乙检测,第4道生产程序只能由甲或丙检测,则共有　　　种不同的安排方案.
【答案】 36
【解析】 分三类情况:①甲检验第1道生产程序,那么丙必须检验第4道生产程序,从剩余的4人中任意挑选2人检验第2,第3道生产程序,有种安排方案;②甲检验第4道生产程序,那么乙必须检验第1道生产程序,从剩余的4人中任意挑选2人检验第2,第3道生产程序,有种安排方案;③甲既不检验第1道生产程序,也不检验第4道生产程序,则乙检验第1道生产程序,丙检验第4道生产程序,从其余的4人中任意挑选2人检验第2,第3道生产程序,有种安排方案.综上所述,共有++=36(种)不同的安排方案.
13.一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站 现在有多少个车站
【解】 因为原有n个车站,所以原有客运车票种.又现有(n+m)个车站,所以现有客运车票种.由题设知,-=62,
所以(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,即2mn+m2-m=62,
所以n=-(m-1)>0,
所以>(m-1),
所以62>m(m-1),即m2-m-62<0.
又m>1,所以1所以1当m=2时,n=15.
当m=3,4,5,6,7,8时,n均不为整数.
故n=15,m=2,即原有车站15个,现有车站17个.
应用创新
14.8人围桌而坐,共有　　 　　种坐法.
【答案】 5 040
【解析】 围桌而坐与坐成一排不同,围桌而坐没有首尾之分,因此固定一人并从此位置把圆形展成直线,则其余7人共有(8-1)!=7!=5 040(种)坐法.2.1　排列与排列数
2.2　排列数公式
基础巩固
1.下列问题属于排列问题的是(　　)
①从10个人中选2人分别去种树和扫地;
②从10个人中选2人去扫地;
③从班上30名男生中选出5人组成一支篮球队;
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.
A.①④ B.①②
C.③④ D.①③④
2.4个人排成一排,则甲不站两边的站法有(　　)
A.8种 B.10种
C.12种 D.24种
3.等于(　　)
A.12 B.24
C.30 D.36
4.开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊5名同学从左至右排成一排上台领奖,要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有(　　)
A.12种 B.16种
C.20种 D.24种
5.正整数n的阶乘记为n!,它的值为所有小于或等于n的正整数的积,即n!=1×2×3×…×(n-1)×n.根据上述材料,以下说法错误的是(　　)
A.3!+3×3!=4!
B.8!=40 320
C.12!=12×11!
D.1!+++…+=n!
6.有4名男生、3名女生和2个不同的道具(记作A和B)参与一个活动,活动要求:所有人(男生和女生)必须站成一排,女生必须站在一起,并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列(假设女生的身高各不相同);两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人(可以是男生,也可以是女生),但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有(　　)
A.2 400种 B.3 600种
C.2 880种 D.4 220种
7.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个无重复数字的七位数,要求在其偶数位上必须是偶数,奇数位上必须是奇数,则这样的七位数有　　　　个.
8.A,B,C,D,E五人住进编号为1,2,3,4,5的五个房间,每个房间只住一人,则B不住2号房间,且B,C两人不住编号相邻房间的住法种数为　　　　.
9.(1)求证:=(n+1).
(2)解不等式:3≤2+6.
10.某学校将要举行校园歌手大赛的小组赛,现有3名男生和3名女生参加,需要安排他们的出场顺序(结果用数字作答).
(1)如果3名女生都不相邻,那么有多少种不同的出场顺序
(2)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻),那么有多少种不同的出场顺序
(3)如果3名男生都相邻,且女生甲不在第一个出场,那么有多少种不同的出场顺序
能力提升
11.(多选)从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数组成一个三位数,则在所组成的数中(　　)
A.偶数有48个
B.比300大的奇数有48个
C.个位和百位数字之和为7的有24个
D.能被3整除的数有48个
12.从甲、乙、丙等6人中选取4人对4道生产程序进行检验,1人负责1道生产程序,若第
1道生产程序只能由甲或乙检测,第4道生产程序只能由甲或丙检测,则共有　　　种不同的安排方案.
13.一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站 现在有多少个车站
应用创新
14.8人围桌而坐,共有　　 　　种坐法.

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