资源简介

3.1　组　合
3.2　组合数及其性质
基础巩固
1.给出下列问题:
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法
②有4张同场次的电影票,要在7人中确定 4人去观看,有多少种不同的选法
③某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种
其中属于组合问题的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.从4名男生和2名女生中选2人参加会议,至少有一名男生,不同的安排方法有(　　)
A.13种 B.14种 C.15种 D.16种
3.++++等于(　　)
A.84 B.120 C.126 D.210
4.某地区共有8个村庄,且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上,现要使任意两个村庄之间有一条公路,则共需建公路的条数为(　　)
A.4 B.8 C.28 D.64
5.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(　　)
A.120种 B.90种
C.60种 D.30种
6.马路上亮着一排编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10盏路灯.为节约用电,现要求把其中的两盏灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方法种数为(　　)
A.12 B.18 C.21 D.24
7.已知=,则正整数x的值为　　　　.
8.将7个人分成三组,其中一组由3人组成,另外两组都由2人组成,则不同的分组方法种数为
　　　　(用数字填写答案).
9.在100件产品中,有98件合格品、2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
(1)有多少种不同的抽法
(2)抽出的3件中恰有1件是次品的抽法有多少种
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种
10.某车间有11名工人,其中5名是钳工,4名是车工,另外2名既能做钳工又能做车工,从中选出4名钳工、4名车工,有多少种不同的选法
能力提升
11.(多选)从7名男生和5名女生中任选4人参加夏令营,规定男、女生至少各有1人参加,则不同的选法种数为(　　)
A. B.++
C.-- D.(++)
12.如图,假设夏老师家在M处,学校在N处,AB段正在修路要绕开,则夏老师从家到学校的最短路径有　　　　条.
13.4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中,现从中取出4个球.
(1)若取出的红球的个数不少于白球的个数,则有多少种不同的取法
(2)取出一个红球记2分,取出一个白球记1分,若取出4个球的总分不小于5分,则有多少种不同的取法
应用创新
14.方程x1+x2+x3+x4=9的非负整数解个数为(　　)
A.220 B.120 C.84 D.243.1　组　合
3.2　组合数及其性质
基础巩固
1.给出下列问题:
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法
②有4张同场次的电影票,要在7人中确定 4人去观看,有多少种不同的选法
③某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种
其中属于组合问题的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】 C　对于①,选出2名同学后,分配到两个乡镇涉及顺序问题,是排列问题;对于②,选出4人观看同场次的电影不涉及顺序问题,是组合问题;对于③,射击命中不涉及顺序问题,是组合问题.故选C.
2.从4名男生和2名女生中选2人参加会议,至少有一名男生,不同的安排方法有(　　)
A.13种 B.14种 C.15种 D.16种
【解析】 B　根据题意,从4名男生和2名女生中选2人参加会议,有=15(种)选法,其中没有男生,即全部为女生的选法有=1(种),则至少有一名男生的选法有15-1=14(种).故选B.
3.++++等于(　　)
A.84 B.120 C.126 D.210
【解析】 D　因为+=,
所以++++=+++=++=+==210.故选D.
4.某地区共有8个村庄,且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上,现要使任意两个村庄之间有一条公路,则共需建公路的条数为(　　)
A.4 B.8 C.28 D.64
【解析】 C　由于公路的修建是组合问题,故共需要建===28(条)公路.故选C.
5.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(　　)
A.120种 B.90种
C.60种 D.30种
【解析】 C　首先从6名同学中选1名去甲场馆,方法数为,然后从其余5名同学中选2名去乙场馆,方法数为,最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有·=6×10=60(种).故选C.
6.马路上亮着一排编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10盏路灯.为节约用电,现要求把其中的两盏灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方法种数为(　　)
A.12 B.18 C.21 D.24
【解析】 C　根据题意,10盏路灯中要关掉不连续的两盏,所以利用插空法.
先将剩下的8盏灯排成一排,因两端的灯不能关掉,则有7个符合条件的空位,进而在这7个空位中,任取2个空位插入关掉的2盏灯,所以共有=21(种)关灯方法.故选C.
7.已知=,则正整数x的值为　　　　.
【答案】 4或2
【解析】 由=,可得2x-1=x+3或2x-1+x+3=8,解得x=4或x=2,经检验均符合题意,故正整数x的值为4或2.
8.将7个人分成三组,其中一组由3人组成,另外两组都由2人组成,则不同的分组方法种数为
　　　　(用数字填写答案).
【答案】 105
【解析】 由题意可知,不同的分组方法种数为=105.
9.在100件产品中,有98件合格品、2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
(1)有多少种不同的抽法
(2)抽出的3件中恰有1件是次品的抽法有多少种
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种
【解】 (1)求的不同抽法的种数,就是从100件产品中抽出3件的组合数,所以共有==161 700(种).
(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有种,从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种,因此,抽出的3件中恰有1件是次品的抽法有=9 506(种).
(3)法一　抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品两种情况.在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有种,因此,根据分类加法计数原理,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有+=9 604(种).
法二　抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数,也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法种数,即-=161 700-152 096=9 604(种).
10.某车间有11名工人,其中5名是钳工,4名是车工,另外2名既能做钳工又能做车工,从中选出4名钳工、4名车工,有多少种不同的选法
【解】 法一　以“既能做钳工又能做车工”的2人(记为A,B)来考虑分类,A,B都不在内,有=5(种)选法;A,B都在内时又分“都做钳工”“都做车工”“一个做钳工,一个做车工”三类,共有++=120(种)选法;A,B仅有一人在内,又有“做钳工”和“做车工”两种选择,此时有+=60(种)选法.由分类加法计数原理得,共有5+120+60=185(种)不同的选法.
法二　从“只会做钳工”的5人入选情况来考虑,
5人中选4人,有=75(种)选法;
5人中选3人,有=100(种)选法;
5人中选2人,有=10(种)选法.
所以共有75+100+10=185(种)不同的选法.
能力提升
11.(多选)从7名男生和5名女生中任选4人参加夏令营,规定男、女生至少各有1人参加,则不同的选法种数为(　　)
A. B.++
C.-- D.(++)
【解析】 BC　(1)分三类:3男1女,2男2女,1男3女,
所以男、女生至少各有1人参加的选法种数为++.
(2)任选4人的方法种数为,其中全部为男生或全部为女生的方法种数为+,所以男、女生至少各有1人参加的选法种数为
--.故选BC.
12.如图,假设夏老师家在M处,学校在N处,AB段正在修路要绕开,则夏老师从家到学校的最短路径有　　　　条.
【答案】 26
【解析】 M到N的最短路径需要向右走四段路,向上走三段路,所以不考虑修路的情况有条路径;由M到A的最短路径需要向右走两段路,向上走一段路,所以由M到A的最短路径有条;由B到N的最短路径需要向右走一段路,向上走两段路,所以由B到N的最短路径有条.所以由M到N不经过AB的最短路径有-=26(条).
13.4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中,现从中取出4个球.
(1)若取出的红球的个数不少于白球的个数,则有多少种不同的取法
(2)取出一个红球记2分,取出一个白球记1分,若取出4个球的总分不小于5分,则有多少种不同的取法
【解】 (1)依题意可知,取出的4个球中至少有2个红球,可分为三类:
①全取出红球,有种不同的取法;②取出的4个球中有3个红球1个白球,有×种取法;③取出的4个球中有2个红球2个白球,有×种不同的取法.由分类加法计数原理知,共有+×+×=115(种)不同的取法.
(2)依题意可知,取出的4个球中至少要有1个红球,从红白10个球中取出4个球有种不同的取法,而全是白球有种不同的取法,从而满足题意的有-=195(种)不同的取法.
应用创新
14.方程x1+x2+x3+x4=9的非负整数解个数为(　　)
A.220 B.120 C.84 D.24
【解析】 A　依题意,可知x1,x2,x3,x4为非负整数,因为x1+x2+x3+x4=9,所以(x1+1)+(x2+1)+(x3+1)+(x4+1)=13,从而将问题转化为:将排成一列的13个完全相同的小球分成4部分,每部分至少一个球,一共有12个间隔,利用4个隔板插入即可,
故共有==220(种).故选A.

展开更多......

收起↑